EineZufallsmatrix bezeichnet in derStochastik einematrixwertigeZufallsvariable (englischRandom Matrix). Ihre Verteilung nennt man zur Abgrenzung von denmultivariaten Verteilungen einematrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Zufallsmatrizen spielen eine wichtige Rolle in derstatistischen sowiemathematischen Physik, insbesondere in derstatistischen Mechanik. Aus historischer Sicht hat sich die Theorie aus dem Versuch entwickelt, Systeme mit vielen stochastischen aber miteinander agierenden Teilchen zu beschreiben. Viele der Grundlagen der Theorie stammen deshalb von mathematischen Physikern und viele Modelle haben eine physikalische Interpretation. Die ersten Arbeiten zum Thema Zufallsmatrizen stammen allerdings von dem StatistikerJohn Wishart.

Die Theorie der Zufallsmatrizen ist in dermultivariaten Statistik relevant, wo man sie zur Analyse vonKovarianzmatrizen benötigt. Insbesondere im Zusammenhang mit hoch-dimensionalen Daten und spektralstatistischen Verfahren wie derHauptkomponentenanalyse (PCA).

Zufallsmatrizen sind zu unterscheiden von derstochastischen Matrix.

Auf jederLie-Gruppe${\displaystyle G}$ existiert ein eindeutiges, links-invariantesMaß${\displaystyle {\mu }_L}$, d. h. für jedes${\displaystyle g\in G}$ und jedeBorel-messbare Menge${\displaystyle S\subseteq G}$ gilt${\displaystyle {\mu }_L(Sg)={\mu }_L(g)}$. Dieses Maß nennt manlinkes Haarsches Maß und es ist eindeutig bis auf Multiplikation mit einerKonstanten.

Betrachtet man nun einekompakte Lie-Gruppe${\displaystyle G}$, so existiert ein eindeutiges, linkes Haarsches Maß${\displaystyle {\mu }_H}$, welches zugleich auch rechts-invariant und normalisiert ist, genannt das HaarscheWahrscheinlichkeitsmaß auf${\displaystyle G}$. Das heißt für jedes${\displaystyle g\in G}$ und jedeBorel-messbare Menge${\displaystyle B\subseteq G}$ gilt${\displaystyle {\mu }_H(Bg)={\mu }_H(gB)={\mu }_H(g)}$.

Für kompakte Lie-Gruppen lässt sich mit Hilfe derIntegralformel von Weyl eine Formel für dieWahrscheinlichkeitsdichte bezüglich derEigenwerte finden. Als Beispiel sei${\displaystyle G=\mathbb{U}(n)}$ dieunitäre Gruppe, die Eigenwerte sind von der Form${\displaystyle e^{i{\varphi }_1},\dots ,e^{i{\varphi }_n}}$ mit${\displaystyle {\varphi }_1,\dots ,{\varphi }_n\in \mathbb{R}}$. Weiter sei${\displaystyle f}$ eineKlassenfunktion und${\displaystyle T}$ dermaximale Torus allerDiagonalmatrizen${\displaystyle t=\mathrm{diag}(e^{i{\varphi }_1},\dots ,e^{i{\varphi }_n})}$ von${\displaystyle \mathbb{U}(n)}$,${\displaystyle \mathrm{Ad}}$ bezeichnet dieadjungierte Darstellung und${\displaystyle R}$ bezeichne dasWurzelsystem, dann gilt:^[1]

,

und somit erhält man mit Hilfe von Weyl’s Integralformel ein Integral über den maximalen Torus${\displaystyle T}$

.

Eine formale mathematische Definition lautet:^[2]

Sei${\displaystyle {\mathcal{M}}_n}$ der Raum der${\displaystyle n\times n}$-Matrizen über demKörper${\displaystyle K}$ mit einerσ-Algebra${\displaystyle \mathcal{A}}$ und${\displaystyle (\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathbb{P})}$ einWahrscheinlichkeitsraum. Eine${\displaystyle (\mathcal{F},\mathcal{A})}$-messbare Funktion${\displaystyle A:\mathrm{\Omega }\to {\mathcal{M}}_n}$ heißtZufallsmatrix.

Als${\displaystyle \sigma }$-Algebra kann dieborelsche σ-Algebra des euklidischen Umgebungsraumes der Mannigfaltigkeit${\displaystyle {\mathcal{M}}_n}$ verwendet werden.Eine Zufallsmatrix ist somit das matrixwertige Analogon zu einerskalaren Zufallsvariablen.

Sei${\displaystyle \mathcal{E}}$ ein Matrix-Raum (z. B. derhermiteschen${\displaystyle n\times n}$-Matrizen${\displaystyle {\mathcal{H}}_n(\mathbb{C}):=\{X\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C}):X^{\ast }=X\}}$) und sei${\displaystyle \mu (\mathrm{d}M)}$ ein komplexes Maß auf diesem Raum, welches in der Regel nicht normalisiert ist. Dann nennt man das Integral

${\displaystyle Z:={\int }_{\mathcal{E}}\mu (\mathrm{d}M)}$

Partitionsfunktion und man erhält einen Erwartungswert zur Funktion${\displaystyle f:\mathcal{E}\to \mathbb{C}}$

${\displaystyle \mathbb{E}[f(M)]:=\frac{1}{Z}{\int }_{\mathcal{E}}f(M)\mu (\mathrm{d}M)}$

Seien und${\displaystyle (Y_{i,i}{)}_{1\le i}\in \mathbb{R}}$i.i.d Zufallsvariablen mit gleichemErwartungswert${\displaystyle 0}$ sowie${\displaystyle \mathbb{E}[X_{i,j}^2]=0}$ und${\displaystyle \mathbb{E}[|X_{i,j}{|}^2]=1}$. Man nennt eine Zufallsmatrix${\displaystyle H_n=(h_{i,j}{)}_{1\le i,j\le n}}$ eine (komplexe)Wignersche-Matrix wenn siehermitesch ist und folgendes gilt.

Die Matrix wird oft mit${\displaystyle {\sqrt{n}}^{-1}}$ skaliert. Manche Autoren definieren sie aber auch ohne Skalierung.

Sie ist ein wichtiger Typ von Zufallsmatrizen und benannt nachEugene Wigner.

Wignersche Matrizen mit einer zugrundeliegendenNormalverteilung führen zu dem Begriff dergaußschen invarianten Ensembles. Allgemeine Wignersche Matrizen sind nicht invariant.

DasGUE erhält man, wenn zusätzlich${\displaystyle \mathbb{E}[Y_{i,i}^2]=1}$ gilt und die Einträge normalverteilt sind. DasGOE erhält man wenn alle Einträge reell und normalverteilt sind und zusätzlich${\displaystyle \mathbb{E}[Y_{i,i}^2]=2}$ gilt.

Zentrale Studienobjekte sind die invarianten Ensembles, welche durch die folgenden Maße auf dem entsprechenden Raum der Matrizen induziert werden:

${\displaystyle P_{\beta }^n(\mathrm{d}A):=\frac{1}{Z_{\beta ,n}}{e}^{-\frac{\beta }{2}n\mathrm{Tr}(Q(A))}\mathrm{d}A}$

wobei${\displaystyle \beta }$ der Dyson-Index ist und${\displaystyle Q(A)}$ dasPotential. Man setzt an${\displaystyle Q}$ voraus, dass${\displaystyle Q(x)\to \mathrm{\infty }}$ genügend schnell, wenn${\displaystyle x\to \pm \mathrm{\infty }}$, damit alle Momente existieren. In der Regel ist${\displaystyle Q}$ ein Polynom. Man erhält für

• ${\displaystyle \beta =1}$ dasorthogonale Ensemble (OE) auf dem Raum der${\displaystyle n\times n}$ reellen symmetrischen Matrizen.
• ${\displaystyle \beta =2}$ dasunitäre Ensemble (UE) auf dem Raum der${\displaystyle n\times n}$ hermiteschen Matrizen
• ${\displaystyle \beta =4}$ dassymplektische Ensemble (SE) auf dem Raum der${\displaystyle n\times n}$ hermiteschenquaternionen Matrizen.

Diefreie Energie der unitären Ensembles ist^[3]

${\displaystyle F_n^0=-n^{-2}\ln Z_{2,n}=-n^{-2}\ln {\int }_{{\mathcal{H}}_n}{e}^{-n\mathrm{Tr}Q(M)}\mathrm{d}M}$

wobei${\displaystyle {\mathcal{H}}_n}$ den Raum der hermiteschen Matrizen bezeichnet.

Mit Hilfe der weylschen Integralformel lässt sich zeigen, dass das kanonische (unnormalisierte)Haarsche Maß${\displaystyle \mathrm{d}{U}_h}$ auf der entsprechenden kompaktenLie-Gruppe${\displaystyle \mathbb{O}(n),\mathbb{U}(n)/{\mathbb{T}}^n}$ oder${\displaystyle \mathbb{U}\mathbb{S}\mathbb{p}(n)/{\mathbb{T}}^n}$ folgende Darstellung zulässt

wobei${\displaystyle \mathrm{d}\mathrm{\Lambda }}$ dasLebesgue-Maß der Eigenwerte ist. Für skalierte Einträge des Gaußschen Ensembles erhält man eine geschlossene Form des Wahrscheinlichkeitsmaßes über derWeyl-Kammer mit${\displaystyle {\lambda }_n\ge \cdots \ge {\lambda }_1}$

Das Wahrscheinlichkeitsmaß enthält denBoltzmann-Faktor${\displaystyle e^{-\beta n\mathcal{E}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)}}$ wobei${\displaystyle \mathcal{E}}$ die totale potentielle Energie bezeichnet

Die Konstante

lässt sich mit Hilfe desSelberg-Integrals berechnen.

Wichtige Spezialfälle der invariante Ensembles sind dieGaußschen Ensembles, welche durch das Potential${\displaystyle Q(A):=\frac{1}{2}{A}^2}$ mit${\displaystyle Q({\lambda }_k):=\frac{1}{2}{\lambda }_k^2}$ und die folgendenGaußschen Maße erzeugt werden

${\displaystyle P_{\beta }^n(\mathrm{d}A):=\frac{1}{Z_{\beta ,n}}{e}^{-\frac{\beta }{4}n\mathrm{Tr}(A^2)}\mathrm{d}A.}$

Man erhält für

• ${\displaystyle \beta =1}$ dasGaußsches Orthogonales Ensemble (GOE) auf dem Raum der${\displaystyle n\times n}$ reellen symmetrischen Matrizen.
• ${\displaystyle \beta =2}$ dasGaußsches Unitäres Ensemble (GUE) auf dem Raum der${\displaystyle n\times n}$ hermiteschen Matrizen.
• ${\displaystyle \beta =4}$ dasGaußsches Symplektisches Ensemble (GSE) auf dem Raum der${\displaystyle n\times n}$ hermiteschenquaternionen Matrizen.

Die Bezeichnungorthogonal/unitär/symplektisch bezeichnet, unter welcher Matrix Konjugation die Verteilung invariant ist.

Beispielsweise gilt für eine Matrix${\displaystyle M_n}$ aus dem GOE und einer Matrix${\displaystyle O}$ aus derorthogonalen Gruppe${\displaystyle {\mathbb{O}}_n}$, dass${\displaystyle M_n\sim O^T{M}_{n}O}$.

In derQuantenmechanik werden sie verwendet, umHamiltonoperatoren zu modellieren.

Man betrachte das Systemstochastischer Differentialgleichungen derOrnstein-Uhlenbeck-Prozesse

wobei${\displaystyle \{W_i,W_{ij}^{(1)},W_{ij}^{(2)}\}}$ unabhängigebrownsche Bewegungen sind mit

${\displaystyle \mathbb{E}[{\dot{W}}_i(t_1){\dot{W}}_j(t_2)]=2D{\delta }_{ij}\delta (t_1-t_2),\mathbb{E}[{\dot{W}}_{ij}^{({\sigma }_1)}(t_1){\dot{W}}_{st}^{({\sigma }_2)}(t_2)]=D{\delta }_{{\sigma }_1{\sigma }_2}{\delta }_{st}{\delta }_{ij}\delta (t_1-t_2)}$

und die Initialwerte${\displaystyle X_i(0),X_{ij}(0),Y_{ij}(0)}$ beliebig sind.

Definiert man nun eine hermitesche Zufallsmatrix${\displaystyle H=(h_{ij}(t)/\sqrt{n}{)}_{1\le i,j\le n}}$ für${\displaystyle t\ge 0}$ mit

und bezeichnet mit${\displaystyle f_t(\mathrm{d}H)}$ das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß, dann gilt für${\displaystyle D=2}$ und${\displaystyle t\to \mathrm{\infty }}$

${\displaystyle f_t(\mathrm{d}H)\propto P_2^n(\mathrm{d}H)}$

wobei${\displaystyle P_2^n(\mathrm{d}H)}$ das GUE bezeichnet.^[4]

Man erhält dasZirkulare Unitäre Ensemble (ZUE) durch das haarsche Maß auf dem Raum derunitären Matrizen. DasZirkulare Orthogonale Ensemble (ZOE) erhält man durch das haarsche Maß auf dem Raum der symmetrischen unitären Matrizen. DasZirkulare Symplektische Ensemble (ZSE) erhält man durch das haarsche Maß auf dem Raum der selbst-dualen unitären Quaternionen-Matrizen. Die Dichte der Eigenwerte${\displaystyle {\lambda }_j=e^{i{\theta }_j}}$ der Zirkularen Ensembles ist

wobei${\displaystyle \beta =1}$ für das ZOE,${\displaystyle \beta =2}$ für das ZUE und${\displaystyle \beta =4}$ für das ZSE gilt.^[5]

Man spricht vonDysons${\displaystyle \beta }$-Ensemble, daFreeman Dyson in seiner wissenschaftlichen SchriftThe Threefolded Way^[6] diese${\displaystyle \beta =\{1,2,4\}}$ Klassifizierungen der Zufallsmatrizen herleitete, basierend auf physikalisch möglichenZeitumkehr-Eigenschaften derQuantenmechanik (orthogonal, unitär, symplektisch). Der Fall${\displaystyle \beta =3}$ ist aufgrund desSatzes von Frobenius nicht möglich. Neben den Gaußschen Ensembles spielen auch die${\displaystyle \beta }$-Wishart-Laguerre-Ensembles und die${\displaystyle \beta }$-Jacobi-Manova-Ensembles eine zentrale Rolle in der Theorie der Zufallsmatrizen.

Es ist üblich, nur vonLaguerre-Ensembles bzw.Jacobi-Ensembles zu sprechen, statt vonWishart- bzw.Manova-Ensembles

Allgemeine${\displaystyle \beta }$ spielen in der klassischen Theorie der Zufallsmatrizen eine untergeordnete Rolle.

Die Theorie der Zufallsmatrizen befasst sich weniger mit einer konkreten Zufallsmatrix, sondern mit dem Matrizenraum dahinter. Konkret geht es um Wahrscheinlichkeitsmaße auf Matrixräumen und Lie-Gruppen, dies erklärt den Begriff desEnsembles. Ein klassisches Problem der Theorie der Zufallsmatrizen ist das Finden einer multivariaten Wahrscheinlichkeitsdichte für die Eigenwerte unterschiedlicher Matrix-Ensembles. Eine der frühesten Arbeiten stammt vonDyson, welcher eine geschlossene Form für eine große Menge von Matrizen fand, abhängig von der zugrundeliegenden Symmetrie der Matrizen und Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Die Spektraleigenschaften großer Zufallsmatrizen habenuniverselle Eigenschaften und man kann beim Studium komplizierter deterministischerOperatoren, wie zum Beispiel demDirac-Operator aus der Physik, diese Operatoren mit Zufallsmatrizen ersetzen und die Theorie der Zufallsmatrizen anwenden.

Beim Studium von Integralen über Matrix-Räume verwendet man zum Teil Resultate aus der Theorie derLie-Gruppen undLie-Algebren. Auch diefreie Wahrscheinlichkeitstheorie vonVoiculescu ist von Relevanz für große Zufallsmatrizen.

Generell untersucht man Matrizen mit bestimmten Symmetrie-Eigenschaften (z. B.hermitesche) und hat bestimmte stochastische Anforderungen an die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Raum jener Matrizen (z. B. obere Dreiecksmatrix unabhängig). Des Weiteren interessiert man sich vor allem für dieSpektraltheorie und dessenasymptotisches Verhalten, wenn die Dimension${\displaystyle N\to \mathrm{\infty }}$. Die Spektraltheorie ist engverbunden mit der Theorie derPunktprozesse, da die Eigenwerte einen (zufälligen) Punktprozess formen. Bei vielen Ensembles taucht in der gleichen Region derselbe Punktprozess in unendlicher Dimension auf (Universalität). Matrix-wertige Funktionen wie dieDeterminante oder dieSpur können nicht einfach auf unendlich-dimensionale Matrizen übertragen werden. Für bestimmteOperatoren lässt sich aber mit derabstrakten Fredholmtheorie eine Erweiterung auf unendlich-dimensionaleseparableHilberträume über dieäußere Algebra finden. Es lassen sich Determinanten für Operatoren aus denSchatten-von Neumann-Klassen definieren.

Definiert man die Einträge der Matrix alsBrownsche Bewegungen, so lässt sich auch das matrixwertige Analogon eines stochastischen Prozesses bilden und die Theorie derstochastischen Analysis und dieMartingal-Theorie ist anwendbar, sieheDysons brownsche Bewegung undWishart-Prozess.

Sind die Einträge einer hermiteschen Zufallsmatrix${\displaystyle M_n}$ von der Größe${\displaystyle \mathcal{O}(\sqrt{n})}$, so konvergiert dasempirische Spektralmaß

${\displaystyle {\nu }_n(\lambda ;M_n):=n^{-1}\sum _{j=0}^n\delta (\lambda -{\lambda }_j(M_n)),}$

wobei${\displaystyle \delta }$ dasDirac-Delta bezeichnet.

Da die zufälligen EnsemblesPunktprozesse sind, kann man die${\displaystyle n}$-Punkt Korrelationsfunktion für die Eigenwerte${\displaystyle {\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_N}$ herleiten. Sei${\displaystyle \phi }$ eineTestfunktion und definiere das Funktional

${\displaystyle E_N[\phi ]:=\sum _{n=0}^N(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})\mathbb{E}\left[\phi ({\lambda }_1)\cdots \phi ({\lambda }_n)\right]}$

Dann ist die${\displaystyle n}$-Punkt Korrelationsfunktion folgende ausgewerteteFunktionalableitung^[7]

${\displaystyle (-1{)}^n\frac{{\delta }^n}{\delta \phi ({\lambda }_1)\cdots \delta \phi ({\lambda }_n)}{E}_N[\phi ]{|}_{\phi =0}=R_N^{(n)}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n).}$

Mit demDarstellungssatz von Fréchet-Riesz lässt sich Konvergenz im Erwartungswert für${\displaystyle \phi \in C_c(\mathbb{R})}$ definieren

${\displaystyle \int \phi \mathrm{d}\mathbb{E}{\nu }_n(\lambda ;M_n):=\mathbb{E}\int \phi \mathrm{d}{\nu }_n(\lambda ;M_n).}$

Eines der wichtigsten Ergebnisse ist das sogenannteWignersche Halbkreisgesetz (sieheEugen Wigner): Es besagt, dass das (skalierte) empirische Spektralmaß${\displaystyle {\nu }_n}$ einer Wignerischen Zufallsmatrix (in der Physik bekannt als die sogenannteZustandsdichte) einer charakteristischen Halbkreis-Verteilung genügt.

Allgemeiner handelt es sich bei der Grenzwertverteilung der Eigenwerte um die Lösung einesVariationsproblem. Definiere den Raum der Maße

${\displaystyle M_1(\mathbb{R})=\left\{\nu :\nu \ge 0,{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{d}\nu =1\right\}}$

und betrachte das Funktional

${\displaystyle E_Q=\underset{\nu \in M_1(\mathbb{R})}{inf}-\int {\int }_{x\ne y}\ln |x-y|\mathrm{d}\nu (x)\mathrm{d}\nu (y)+\int Q(x)\mathrm{d}\nu (x).}$

Das Funktional erklärt sich durch die Integralschreibweise der totalen potentiellen Energie

${\displaystyle \sum _{x\ne y}\ln |x-y{|}^{-1}+n\sum _{i=1}^{n}Q(x)}$

bezüglich des empirischen Spektralmaßes${\displaystyle {\nu }_n}$. Für${\displaystyle E_Q}$ wird ein eindeutigesEquilibriummaß${\displaystyle {\nu }_Q}$ durch die Euler-Lagrange-Variationsbedingung für eine reelle Konstante${\displaystyle l}$^[3]

${\displaystyle 2{\int }_{\mathbb{R}}\log |x-y|\mathrm{d}\nu (y)-Q(x)=l,x\in J}$

${\displaystyle 2{\int }_{\mathbb{R}}\log |x-y|\mathrm{d}\nu (y)-Q(x)\le l,x\in \mathbb{R}\setminus J}$

definiert, wobei${\displaystyle J=\bigcup _{j=1}^q[a_j,b_j]}$ der Träger des Maßes ist und definiere das Polynom

${\displaystyle q(x)=-{\left(\frac{Q^{\prime }(x)}{2}\right)}^2+\int \frac{Q^{\prime }(x)-Q^{\prime }(y)}{x-y}\mathrm{d}{\nu }_Q(y)}$.

Das Equilibirummaß${\displaystyle {\nu }_Q}$ besitzt folgende Radon-Nikodym-Dichte

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}{\nu }_Q(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\pi }\sqrt{q(x)}.}$

Im Fall des GUE konvergiert daszufällige Maßschwach inWahrscheinlichkeit gegen die deterministische Verteilung

${\displaystyle \sigma (\mathrm{d}x):=\frac{1}{2\pi }\sqrt{(4-x^2{)}_{+}}\mathrm{d}x}$

Es gilt für eine Funktion${\displaystyle f\in C_b(\mathbb{R})}$ und${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P(|⟨{\nu }_n,f⟩-⟨\sigma ,f⟩|>\epsilon )=0}$

Der Satz kann mit Mitteln derKombinatorik und der Momentmethode bewiesen werden. Für eine Zufallsvariable${\displaystyle X\sim \sigma (\mathrm{d}x)}$ gilt, dass${\displaystyle \mathbb{E}\left[X^k\right]={\delta }_{k/2\in \mathbb{Z}}{C}_{k/2}}$ wobei${\displaystyle C_n}$ dieCatalan-Zahlen sind.

Durch die oben erwähnteEquilibriummaß-Methode der statistischen Mechanik gibt es eine Verbindung zurTheorie der großen Abweichungen. Einen analytischen konstruktiven Beweis ergibt sich über dieStieltjes-Transformation.

Für Wishart- bzw.Laguerre-Matrizen konvergiert das empirische Spektralmaß${\displaystyle {\nu }_n}$ gegen dieMartschenko-Pastur-Verteilung und fürMANOVA bzw.Jacobi-Matrizen gegen dieKesten-Mckey-Verteilung.

Für quadratische Zufallsmatrizen${\displaystyle A_n}$ miti.i.d. komplexen Einträgen${\displaystyle (a{)}_{ij}}$ mit${\displaystyle \mathbb{E}[(a{)}_{ij}]=0}$ und${\displaystyle \mathrm{Var}[(a{)}_{ij}]=1}$ gilt das Kreisgesetz (Tao-Vu^[8]) welches besagt, dass${\displaystyle {\nu }_n}$ gegen

${\displaystyle \theta (\mathrm{d}x):=\frac{1}{\pi }{1}_{|x{|}^2+|y{|}^2\le 1}\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$

konvergiert.

Man spricht vonUniversalität, weil die Sätze unabhängig von der zugrundeliegenden Verteilung sind.

Limitverhalten

Lokal ergibt sich bei Skalierung einPunktprozess für die Eigenwerte. Der Fall${\displaystyle \beta =2}$ von hermiteschen Matrizen ist signifikant einfacher. Man kann mittels der Theorie derorthogonale Polynome eine determinantale Form für die Korrelationsfunktion finden, welche dann zuFredholm-Determinanten vonIntegraloperatoren führen. Die Fälle${\displaystyle \beta =1}$ und${\displaystyle \beta =4}$lassen sich mitQuaternionen-Determinanten undschief-orthogonalen Polynome lösen.^[9]

Es gilt für die${\displaystyle n}$-Punkt Korrelationsfunktion

${\displaystyle R_N^{(n)}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)=\frac{N!}{(N-n)!}{\int }_{\mathbb{R}({\lambda }_{n+1})}\cdots {\int }_{\mathbb{R}({\lambda }_N)}{p}_{\beta }({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_N)\prod _{j=n+1}^N\mathrm{d}{\lambda }_j}$

wobei${\displaystyle p_{\beta }({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)}$ die multivariate Dichte der Eigenwerte ist.

Für dasGUE erhält man einendeterminantal point process, eineinfacher Punktprozess mitKern bezüglich eines Maßes${\displaystyle \mu }$, dessen${\displaystyle R_N^{(n)}}$ existiert, so dass für alle${\displaystyle n\ge 1}$ gilt

${\displaystyle R_N^{(n)}(\mathrm{d}{x}_1,\dots ,\mathrm{d}{x}_n)=\det [K(x_i,x_j){]}_{1\le i,j\le n}\mu (\mathrm{d}{x}_1,\dots ,\mathrm{d}{x}_n)}$.

Skaliert man denIntegralkern konvergiert dieser entweder zu demSinus- oderAiry-Kern. Die benötigten asymptotischen Entwicklungen können mittels der nicht-trivialenMethode des steilsten Anstiegs gezeigt werden (asymptotische Entwicklungen vom Plancherel-Rotach-Typ).

${\displaystyle K_{\text{Sine}}(x,y)=\frac{\sin (\pi (x-y))}{\pi (x-y)}}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass einekompakte Menge${\displaystyle V\subset \mathbb{R}}$ keine (unskalierte) Eigenwerte${\displaystyle ({\lambda }_i{)}_{i\le n}}$ enthält, lässt sich als Fredholm-Determinante formulieren (Gaudin-Mehta)

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P(\sqrt{n}{\lambda }_1,\dots ,\sqrt{n}{\lambda }_n\notin V)=1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k!}{\int }_V\cdots {\int }_V\det [K_{\text{Sine}}(x_i,x_j){]}_{i,j=1}^k\prod _{j=1}^k\mathrm{d}{x}_j}$.

Universalität im Hauptteil

2010 zeigtenErdős-Ramírez-Schlein-Tao-Vu-Yau für wignerische Matrizen mit subexponentialer Abnahme Universalität des Sinus-Kern.^[10]

Rand

Betrachtet man den Rand des Spektrums, so erhält man einenAiry-Prozess und bekommt dieTracy-Widom-Verteilung mit Kern

${\displaystyle K_{\text{Airy}}(x,y)=\frac{\mathrm{Ai}(x){\mathrm{Ai}}^{\prime }(y)-{\mathrm{Ai}}^{\prime }(x)\mathrm{Ai}(y)}{x-y}}$

wobei${\displaystyle \mathrm{Ai}}$ dieAiry-Funktion bezeichnet.

Für dasGSE undGOE erhält man eine Verallgemeinerung, ein sogenannterpfaffian point processes.

Im Falle des Laguerre-Ensembles ergibt sich bei demhard edge (harten Rand) einBessel-Prozess und bei demsoft edge (weichen Rand) ein Airy-Prozess.

Bereits 1928 untersuchteJohn Wishart als einer der ersten die Zufallsmatrizen, die bei einer standard-multivariaten normalverteilten Stichprobe entstehen (dieKovarianzmatrix). Dies führte zu derWishart-Verteilung, diematrixvariate Verallgemeinerung derχ²-Verteilung bzw.Gamma-Verteilung.

In den 1950er untersuchteEugene Wigner die Verteilung zwischen benachbartenEnergieniveaus von schweren Atomkernen. Das Energieniveau wird durch die Eigenwerte desHamiltonian der (zeitunabhängigen)Schrödingergleichung beschrieben

${\displaystyle \hat{\mathrm{H}}|\mathrm{\Psi }⟩=E|\mathrm{\Psi }⟩}$

Für schwere Atomkerne ist dieses Problem zu komplex um es theoretisch zu lösen, deshalb kam Wigner auf die Idee, dieses Problem als statistisches Problem zu lösen und stattdessen die Spektraldichte von großen endlichen Zufallsmatrizen zu untersuchen.

Empirische Daten aus Experimenten zeigten, dass die Verteilung von der Form

${\displaystyle \omega (\mathrm{d}x)=C_{\beta }{x}^{\beta }{e}^{-k_{\beta }{x}^2}\mathrm{d}x}$

sein musste und somit das Energieniveau korreliert ist, da sonst einePoisson-Verteilung zugrunde liegen sollte und es erklärte auch das Phänomen, dass sich die Energieniveaus gegenseitig abstiessen. Dieses Resultat wird alsWigners Vermutung (englischWigner's surmise) bezeichnet. Die Konstanten${\displaystyle C_{\beta },k_{\beta }}$ sind von${\displaystyle \beta \in \{1,2,4\}}$ abhängig und${\displaystyle \beta }$ beschreibt die zugrundeliegendeSymmetrie der Atomkerne unterZeitumkehr undSpinrotation. Wigner postulierte, dass die Abstände zwischen den Linien des Spektrums den Abständen der Eigenwerte einer Zufallsmatrix gleichen.

Aus den 1960ern stammen bedeutende Arbeiten zur mathematischen Theorie der Zufallsmatrizen vonGaudin,Mehta undDyson. Parallel dazu entwickelte sich auch wichtige Arbeiten zu den Kovarianzmatrizen.

Die traditionelle Ausgangslage derStatistik hat eine (kleine) fixe Anzahl${\displaystyle p}$ von Parametern und${\displaystyle n\to \mathrm{\infty }}$ Observationen. Die Theorie der Zufallsmatrizen hat sich aus der Situation entwickelt, wenn${\displaystyle p}$ sehr groß ist und man interessiert sich auch für die Fälle wenn${\displaystyle n,p\to \mathrm{\infty }}$.

In den 1970ern entdeckteMontgomery und Dyson eine Verbindung zwischen den Zufallsmatrizen und derZahlentheorie respektive zwischen schweren Atomkernen und den kritischen Nullstellen derriemannschen Zeta-Funktion.

• In derMultivariaten Statistik, insbesondere dieWishart-Verteilung ist zentraler Untersuchungsgegenstand.
• Bei der Analyse von hoch-dimensionalen Daten, bei der Auswahl vonstatistischen Modellen, derHauptkomponentenanalyse (PCA). Untersuchungsgegenstand sind somit insbesondere Probleme der multivariaten Statistik bei großen Daten mit vielen Parametern.
• ImMaschinellen Lernen undDeep Learning gibt es auch Anwendungen.^[11] Neue Forschungsergebnisse haben Equilibriumsmaße für einigekünstliche neuronale Netze gezeigt, welche für die Beschleunigung von neuronalen Netzwerken genützt werden können.

• Im Fall einesungeordneten physikalischen Systems (z. B. bei sog.amorphem Material) sind die betreffenden Matrix-Elemente Zufallsgrößen. Die Physik dieser Systeme kann im Wesentlichen durch die Kenngrößen der jeweiligen Matrizen erfasst werden, z. B. durch Mittelwert und Schwankung der jeweiligen Größe. Beispielsweise kann dieWärmeleitfähigkeit eineskristallinenFestkörpers direkt aus der sogenanntendynamischen Matrix der Teilchen-Teilchen-Wechselwirkung des Kristallgitters berechnet werden.
• Anwendungen u. a. bei magnetischen Systemen, z. B. bei Multilagensystemen magnetischerDünnschicht-Systeme,^[12] demQuanten-Hall-Effekt,^[13][14] sogenannterQuanten-Dots^[15] und beiSupraleitern.^[16]
• Anwendungen in derKernphysik betreffen u. a. das oben erwähnte Gauß’sche orthogonale, das unitäre und das symplektische Ensemble:Energiespektrum undWirkungsquerschnitt einesAtomkerns sind zwar extrem komplex, aber gerade deshalb der Theorie des sogenanntenchaotischen Verhaltens zugänglich.
• sowie das sogenannteQuantenchaos und diemesoskopische Physik.^[17]
• Ferner gibt es Anwendungen in der sogenanntenQuantengravitation bei zweidimensionalen Systemen.^[18]

• In derMathematik: dieL-Funktionen von Dirichlet und andere. Ferner gibt es zahlreiche Anwendungen in deranalytischen Zahlentheorie, in derOperatoralgebra,^[19] und in der sogenanntenfreien Wahrscheinlichkeitstheorie^[20][21]. Insbesondere liefert es durchMontgomerys Paar-Korrelation-Vermutung einen neuen Zugang zurRiemannschen Vermutung. Des Weiteren gibt es auch Anwendungen in derGraphentheorie und derKnotentheorie.
• In derPortfoliotheorie bei der Analyse derKovarianzmatrix von Portfolio Renditen.^[22]
• In derSignalverarbeitung und fürdrahtlose Netzwerke,^[23]
• In derGenetik zur Klassifizierung von RNA Strukturen wie denPseudoknoten.
• Aus aktuellen Untersuchungen ergibt sich als Vermutung, dass die Theorie der Zufallsmatrizen zu Verbesserungen beiSuchmaschinen im Web führen könnte.^[24]

• Greg Anderson,Alice Guionnet, Ofer Zeitouni:An Introduction to Random Matrices. Cambridge University Press, 2010.
• Alice Guionnet:Large Random Matrices: Lectures on Macroscopic Asymptotics. Springer Verlag, 2009.
• Persi Diaconis:Patterns in Eigenvalues: The 70th Josiah Willard Gibbs Lecture. In: American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 2003, S. 155–178,doi:10.1090/S0273-0979-03-00975-3.
• Persi Diaconis:What Is … a Random Matrix? In:Notices of the American Mathematical Society, 2005, S. 1348–1349,ISSN 0002-9920.
• M. L. Mehta:Random matrices. 3. Auflage. In:Pure and Applied Mathematics, 142. Elsevier/Academic Press, Amsterdam 2004. xviii+688 S.
• Guhr, Müller-Groening, Weidenmüller:Random Matrix Theories in Quantum Physics: Common Concepts. In:Physics Reports, Band 299, 1998, S. 189–425,arxiv:cond-mat/9707301.
• Alan Edelman, N. Raj Rao:Random Matrix Theory. (PDF) In:Acta Numerica, Band 14, 2005, S. 233–297.
• Terence Tao:Topics in Random Matrix Theory. American Mathematical Society, 2012

• Random Matrix at MathWorld
• RMToolA MATLAB based Random Matrix Calculator
• Vorlesung von Terence Tao
• Kriecherbauer:Eine kurze und selektive Einführung in die Theorie der Zufallsmatrizen (PDF; 402 kB), Uni Bochum 2008.

1. ↑Elizabeth Meckes:The Random Matrix Theory of the Classical Compact Groups. 1. Auflage. Cambridge University Press, 2019,ISBN 978-1-108-41952-9,doi:10.1017/9781108303453. 
2. ↑Greg W. Anderson, Alice Guionnet, Ofer Zeitouni:An Introduction to Random Matrices. Cambridge University Press, 2009. 
3. ↑^abJohn Harnad:Random Matrices, Random Processes and Integrable Systems. Hrsg.: Springer.ISBN 978-1-4614-2877-0. 
4. ↑Yan V. Fyodorov:Introduction to the Random Matrix Theory: Gaussian Unitary Ensemble and Beyond.doi:10.48550/ARXIV.MATH-PH/0412017. 
5. ↑Peter J. Forrester:Log-Gases and Random Matrices. In: Princeton University Press (Hrsg.):London Mathematical Society Monographs (LMS-34).Band 34. 
6. ↑Freeman Dyson: The Threefold Way. Algebraic Structure of Symmetry Groups and Ensembles in Quantum Mechanics. Abgerufen am 23. Mai 2021. 
7. ↑Leonid Pastur und Mariya Shcherbina:Eigenvalue distribution of large random matrices. Hrsg.: American Mathematical Society. 2011. 
8. ↑2010 gezeigt durchTerence Tao undVan H. Vu
9. ↑G. Mahoux und M.L. Mehta:A method of integration over matrix variables IV. In: EDP Sciences, (Hrsg.):Journal de Physique I.Nr. 1, 1991,S. 1093–1108. 
10. ↑Laszlo Erdos, Jose Ramirez and Benjamin Schlein and Terence Tao and Van Vu and Horng-Tzer Yau:Bulk universality for Wigner hermitian matrices with subexponential decay.arxiv:0906.4400 [math]. 
11. ↑https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02397287/document
12. ↑VS Rychkov, S Borlenghi, H Jaffres, A Fert, X Waintal:Spin Torque and Waviness in Magnetic Multilayers: A Bridge Between Valet-Fert Theory and Quantum Approaches. In:Phys. Rev. Lett. 103. Jahrgang,Nr. 6, August 2009,S. 066602,doi:10.1103/PhysRevLett.103.066602,PMID 19792592. 
13. ↑DJE Callaway:Random Matrices, Fractional Statistics, and the Quantum Hall Effect. In:Phys. Rev., B Condens. Matter. 43. Jahrgang,Nr. 10, April 1991,S. 8641–8643,doi:10.1103/PhysRevB.43.8641,PMID 9996505. 
14. ↑M Janssen, K Pracz:Correlated Random Band Matrices: Localization-delocalization Transitions. In:Phys Rev E Stat Phys Plasmas Fluids Relat Interdiscip Topics. 61. Jahrgang, 6 Pt A, Juni 2000,S. 6278–86,doi:10.1103/PhysRevE.61.6278,PMID 11088301. 
15. ↑DM Zumbühl, JB Miller, CM Marcus, K Campman, AC Gossard:Spin-orbit Coupling, Antilocalization, and Parallel Magnetic Fields in Quantum Dots. In:Phys. Rev. Lett. 89. Jahrgang,Nr. 27, Dezember 2002,S. 276803,doi:10.1103/PhysRevLett.89.276803,PMID 12513231. 
16. ↑SR Bahcall:Random Matrix Model for Superconductors in a Magnetic Field. In:Phys. Rev. Lett. 77. Jahrgang,Nr. 26, Dezember 1996,S. 5276–5279,doi:10.1103/PhysRevLett.77.5276,PMID 10062760. 
17. ↑D Sánchez, M Büttiker:Magnetic-field Asymmetry of Nonlinear Mesoscopic Transport. In:Phys. Rev. Lett. 93. Jahrgang,Nr. 10, September 2004,S. 106802,doi:10.1103/PhysRevLett.93.106802,PMID 15447435. 
18. ↑F Franchini, VE Kravtsov:Horizon in Random Matrix Theory, the Hawking Radiation, and Flow of Cold Atoms. In:Phys. Rev. Lett. 103. Jahrgang,Nr. 16, Oktober 2009,S. 166401,doi:10.1103/PhysRevLett.103.166401,PMID 19905710. 
19. ↑arxiv:math.OA/0412545
20. ↑James A. Mingo, Roland Speicher:Free Probability and Random Matrices. Fields Institute Monographs, Bd. 35, Springer Verlag, New York, 2017
21. ↑arxiv:math.OA/0501238
22. ↑http://web.mit.edu/sea06/agenda/talks/Harding.pdf
23. ↑Antonia M. Tulino, Sergio Verdú:Random Matrix Theory and Wireless Communications.Now, 2004. 
24. ↑newscientist.com

• Stochastik

• Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Cite journal/temporär
• Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Cite book/temporär