Windung oderTorsion ist in derDifferentialgeometrie einMaß für die Abweichung einerKurve vom ebenen Verlauf. Die Windung beschreibt zusammen mit derKrümmung das lokale Verhalten der Kurve und kommt wie die Krümmung als Koeffizient in denfrenetschen Formeln vor.

Es wird eine Kurve betrachtet, die durch dieBogenlänge${\displaystyle s}$ parametrisiert wird:

${\displaystyle \overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(s).}$

Für einen Kurvenpunkt${\displaystyle \overrightarrow{r}(s)}$ erhält mandurchAbleiten nach${\displaystyle s}$ denTangenteneinheitsvektor ('Richtung der Kurve')

${\displaystyle \overrightarrow{t}(s)=\overrightarrow{r}{}^{\prime }(s).}$

Die Krümmungsrichtung der Kurve erhält man durch erneutes Ableiten und Normieren als Hauptnormaleneinheitsvektor

${\displaystyle \overrightarrow{n}(s)=\frac{\overrightarrow{t}{}^{\prime }(s)}{|\overrightarrow{t}{}^{\prime }(s)|}=\frac{\overrightarrow{r}{}^{″}(s)}{|\overrightarrow{r}{}^{″}(s)|}.}$

Um ein Maß für die 'Drehgeschwindigkeit' von${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ um${\displaystyle \overrightarrow{t}}$ zu erhalten, wird mit Hilfe desVektorprodukts derBinormaleneinheitsvektor

${\displaystyle \overrightarrow{b}(s)=\overrightarrow{t}(s)\times \overrightarrow{n}(s)}$

festgelegt. Die Windung (Torsion)${\displaystyle \tau (s)}$ der Kurvean der Stelle s ergibt sich nun als dessen Richtungsänderung, projiziert auf${\displaystyle \overrightarrow{n}}$, also durch dasSkalarprodukt

${\displaystyle \tau (s)=-\overrightarrow{b}{}^{\prime }(s)\cdot \overrightarrow{n}(s).}$

Geometrische Bedeutung: Die Torsion${\displaystyle {\displaystyle \tau (s)}}$ ist ein Maß für die Richtungsänderung des Binormaleneinheitsvektors. Je größer die Torsion, desto schneller dreht sich der Binormaleneinheitsvektor${\displaystyle \overrightarrow{b}(s)}$ in Abhängigkeit von${\displaystyle {\displaystyle s}}$ um die durch den Tangentialvektor gegebene Achse. Dafür gibt es einige (zum Teil animierte) grafische Illustrationen (siehe Weblinks unten).

Für die praktische Berechnung eignet sich die oben gegebene Definitionder Windung nicht besonders gut, da eine Parametrisierung durch die Bogenlängevorausgesetzt wird. Die folgende Formel bezieht sich auf eine Kurve imdreidimensionalen Raum (${\displaystyle {\mathbb{R}}^3}$), die alsFunktion${\displaystyle \overrightarrow{r}}$ eines beliebigen Parameters${\displaystyle t}$ (in der Praxis üblicherweise die Zeit) in der Form

${\displaystyle \overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(t)}$

gegeben ist:

${\displaystyle \tau (t)=\frac{\left(\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)\times \overrightarrow{r}{}^{″}(t)\right)\cdot \overrightarrow{r}{}^{‴}(t)}{{\left|\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)\times \overrightarrow{r}{}^{″}(t)\right|}^2}}$

Im Falle einer ebenen Kurve gibt es nichts zu berechnen, da dieWindung den Wert 0 hat.Man beachte, dass dasVorzeichen für praktische Berechnungen der Torsion reine Konventionssache ist. So gibt beispielsweise do Carmo^[1] die Torsion mit negativem Vorzeichen an.

Mit der Vorzeichenkonvention obiger Definition nennt man eine Kurve mitlinksgewunden oderlinkswendig, ist${\displaystyle \tau >0}$, so spricht manrechtsgewundenen oderrechtswendigen Kurven. In der älteren Literatur nennt man linkswendige Kurven auchhopfenwendig, rechtswendige auchweinwendig, weil dieRanken vonWeinrebengewächsen bzw.Hopfen längs solcher Kurven wachsen.^[2]

1. ↑Manfredo P. do Carmo:Differentialgeometrie von Kurven und Flächen (=Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 55). Vieweg & Sohn, Braunschweig u. a. 1983,ISBN 3-528-07255-5.
2. ↑Wolfgang Kühnel:Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 4. überarbeitete Auflage. Friedr. Vieweg & Sohn Verlag, Wiesbaden 2008,ISBN 978-3-8348-0411-2, Absatz 2.8:Raumkurven

Commons: Grafische Illustrationen der Windung (Torsion) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Animierte Illustrationen der Torsion selbst erstellen (Maple-Worksheet)

• Elementare Differentialgeometrie