EinVerband ist in derMathematik eineStruktur, die sowohl alsOrdnungsstruktur als auch alsalgebraische Struktur vollständig beschrieben werden kann.Als Ordnungsstruktur ist ein Verband dadurch gekennzeichnet, dass es zu je zwei Elementen${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$ einSupremum${\displaystyle a\vee b}$ gibt, d. h. ein eindeutig bestimmtes kleinstes Element, das größer oder gleich${\displaystyle a}$ und${\displaystyle b}$ ist, und umgekehrt einInfimum${\displaystyle a\wedge b}$, ein größtes Element, das kleiner oder gleich${\displaystyle a}$ und${\displaystyle b}$ ist.Als algebraische Struktur ist ein Verband dadurch gekennzeichnet, dass es zweiassoziative undkommutative Operationen gibt, für die dieAbsorptionsgesetze kennzeichnend sind: Für beliebige Elemente gilt

${\displaystyle u\vee (u\wedge v)=u}$   und  ${\displaystyle u\wedge (u\vee v)=u}$.

Für jede in der Verbandstheorie vorkommende algebraische Aussage gibt es eine direkte Übersetzung in eine Ordnungsaussage und umgekehrt. Diese Übersetzung ist in den meisten Fällen auch anschaulich nachzuvollziehen.Die Möglichkeit, Ergebnisse doppelt zu interpretieren und dadurch besser zu verstehen, macht die Untersuchung und die Verwendung von Aussagen aus der Verbandstheorie so interessant. Der Begriff Verband wurde im hier beschriebenen Sinne von Fritz Klein-Barmen geprägt.^[1]

Obwohl diese doppelte Charakterisierung auf den ersten Blick sehr speziell aussieht, treten Verbände häufig auf:

• Die z. B. in der Mengenlehre, der Logik und als Schaltalgebren auftretendenBooleschen Algebren sind Verbände.
• Totale Ordnungen, die z. B. in den verschiedenenZahlbereichen wie${\displaystyle \mathbb{N}}$ (natürliche Zahlen),${\displaystyle \mathbb{Z}}$ (ganze Zahlen),${\displaystyle \mathbb{Q}}$ (rationale Zahlen) oder${\displaystyle \mathbb{R}}$ (reelle Zahlen) auftreten, sind Verbände.
• Für jede beliebige natürliche Zahl ist die Menge derTeiler (durch dieTeilbarkeit geordnet) ein Verband.
• DieUnterstrukturen einer beliebigen algebraischen oder sonstigen Struktur bilden einen Verband mit der Teilmengenrelation als Ordnung.

In der Literatur sind auch die Symbole${\displaystyle \bigsqcup }$ und${\displaystyle \sqcap }$ anstelle von${\displaystyle \vee }$ und${\displaystyle \wedge }$ verbreitet. Diese Notation wird hier aufgrund von technischen Einschränkungen allerdings nicht verwendet.

In einer früher üblichenTerminologie wurde ein Verband (nachRichard Dedekind) auch alsDualgruppe bezeichnet.

Ein Verband${\displaystyle (V,\vee ,\wedge )}$ ist eine Menge${\displaystyle V}$ mit zweiinneren binären Verknüpfungen${\displaystyle \vee }$ (Vereinigung, engl.join) und${\displaystyle \wedge }$ (Durchschnitt, engl.meet), die folgenden Bedingungen für alle${\displaystyle u}$,${\displaystyle v}$,${\displaystyle w}$ aus${\displaystyle V}$ genügen:

Assoziativgesetze:

• ${\displaystyle u\vee (v\vee w)=(u\vee v)\vee w}$,
• ${\displaystyle u\wedge (v\wedge w)=(u\wedge v)\wedge w}$.

Kommutativgesetze:

• ${\displaystyle u\vee v=v\vee u}$,
• ${\displaystyle u\wedge v=v\wedge u}$.

Absorptionsgesetze:

• ${\displaystyle u\vee (u\wedge v)=u}$,
• ${\displaystyle u\wedge (u\vee v)=u}$.

Aus diesen Bedingungen folgt dieIdempotenz beider Verknüpfungen:

• ${\displaystyle u\vee u=u}$,
• ${\displaystyle u\wedge u=u}$.

${\displaystyle V}$ ist also bezüglich jeder einzelnen Verknüpfung einHalbverband, d. h. eine kommutativeHalbgruppe, in der jedes Element idempotent ist. Die Verknüpfungen treten bei den Absorptionsgesetzen in Wechselwirkung.

Man kann nach einer Idee vonLeibniz auf${\displaystyle V}$ eineHalbordnung definieren durch:

${\displaystyle v\le w⟺v\wedge w=v.}$

Mit dem Absorptionsgesetz erkennt man die Gültigkeit der Äquivalenzen

${\displaystyle v\le w⟺v\wedge w=v⟺v\vee w=w.}$

Bezüglich dieser Halbordnung hat jede zweielementige Teilmenge${\displaystyle \{v,w\}}$ einSupremum (obere Grenze)${\displaystyle s=v\vee w}$ und einInfimum (untere Grenze)${\displaystyle i=v\wedge w}$. Dabei ist ein Element${\displaystyle s}$ ein Supremum von${\displaystyle \{v,w\}}$, wenn gilt:

• ${\displaystyle v\le s}$ und${\displaystyle w\le s}$ (d. h.${\displaystyle s}$ ist obere Schranke).
• Aus${\displaystyle v\le t}$ und${\displaystyle w\le t}$ folgt${\displaystyle s\le t}$ (d. h.${\displaystyle s}$ ist die kleinste obere Schranke).

Analoges gilt für das Infimum${\displaystyle i}$. Man kann perInduktion zeigen, dass jede nichtleere endliche Teilmenge ein Supremum und ein Infimum hat.Man schreibt allgemein das Supremum einer Menge${\displaystyle M}$ als${\displaystyle \bigvee M}$, und das Infimum von${\displaystyle M}$ als${\displaystyle \bigwedge M}$, falls diese existieren.

Umgekehrt kann man für eine halbgeordnete Menge, bei der jede zweielementige Teilmenge ein Infimum und ein Supremum hat, definieren:

${\displaystyle v\wedge w=inf\{v,w\}}$   und  ${\displaystyle v\vee w=sup\{v,w\}}$.

Die beiden Verknüpfungen erfüllen dann die Verbandsaxiome, wie man leicht nachrechnet.

Eine endliche halbgeordnete Menge${\displaystyle (M,\le )}$ kann man durch einen gerichtetenGraphen darstellen, den manHasse-Diagramm nennt.

Wenn man den Graph so anordnet, dass alle Kanten von unten nach oben gerichtet sind, dann kann man die Ordnung leicht sehen:

ist dann gleichwertig mit:${\displaystyle a}$ ist durch einen (nach oben führenden) Kantenzug mit${\displaystyle b}$ verbunden.

Hasse-Diagramme für einige Verbände

Verband der Teilmengen von {x,y,z} (eineBoolesche Algebra)

Verband der Teiler von 60

Partitionen der Menge {1,2,3,4}, durch „ist feiner als“ geordnet

Verband, der nicht distributiv, aberorthokomplementierbar ist

Die Menge der natürlichen Zahlen:Total geordnete Mengen sind Verbände

Diagramme, die keine Verbände darstellen

kein Verband, da c⊔d nicht existiert

kein Verband, da b⊔c nicht existiert (d und e sind zwar beide minimal größer, aber keins von beiden ist kleinstes der größeren Elemente)

Falls die Verknüpfung${\displaystyle \vee }$ einneutrales Element${\displaystyle 0}$ hat,

${\displaystyle 0\vee a=a,}$

dann ist es eindeutig bestimmt und man nennt es dasNullelement des Verbandes. Bzgl.${\displaystyle \wedge }$ ist${\displaystyle 0}$absorbierend und bzgl. der Ordnung das kleinste Element:

${\displaystyle 0\wedge a=0}$ und${\displaystyle 0=}$${\displaystyle \bigwedge V.}$

Man nennt den Verband dannnach unten beschränkt.

Falls die Verknüpfung${\displaystyle \wedge }$ ein neutrales Element${\displaystyle 1}$ hat,

${\displaystyle 1\wedge a=a,}$

dann ist es eindeutig bestimmt und man nennt es dasEinselement des Verbandes. Bzgl.${\displaystyle \vee }$ ist${\displaystyle 1}$ absorbierend und bzgl. der Ordnung das größte Element:

${\displaystyle 1\vee a=1}$ und${\displaystyle 1=}$${\displaystyle \bigvee V.}$

Man nennt den Verband dannnach oben beschränkt.

Ein Verband heißtbeschränkt, wenn er nach unten und nach oben beschränkt ist, also für beide Verknüpfungen ein neutrales Element hat.

Für ein gegebenes Element${\displaystyle a}$ eines beschränkten Verbandes nennt man ein Element${\displaystyle b}$ mit der Eigenschaft

• ${\displaystyle a\wedge b=0}$ und${\displaystyle a\vee b=1}$

einKomplement von${\displaystyle a}$.

Ein beschränkter Verband, in dem jedes Element (mindestens) ein Komplement hat, heißtkomplementärer Verband.

Im Allgemeinen kann es zu einem Element mehrere komplementäre Elemente geben.

Es gilt aber: In einemdistributiven beschränkten Verband ist das Komplement eines Elements${\displaystyle a}$ im Falle seiner Existenz eindeutig bestimmt. Man schreibt es oft als${\displaystyle a^c}$ (vor allem bei Teilmengenverbänden),${\displaystyle \mathrm{\neg }a}$ (vor allem bei Anwendungen in der Logik) oder${\displaystyle \overline{a}}$.

In jedem beschränkten Verband gilt

• ${\displaystyle \mathrm{\neg }0=1,\mathrm{\neg }1=0}$.

In einem distributiven beschränkten Verband gilt:Falls${\displaystyle a}$ ein Komplement${\displaystyle \mathrm{\neg }a}$ hat, dann hat auch${\displaystyle \mathrm{\neg }a}$ ein Komplement, nämlich:

• ${\displaystyle \mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }a)=a}$.

Ein Verband${\displaystyle V}$ heißtmodular, falls gilt:

• ${\displaystyle u\le w⟹u\vee (v\wedge w)=(u\vee v)\wedge w}$ für alle${\displaystyle u,v,w\in V}$.

Für einen Verband${\displaystyle V}$ sind wiederum jeweils äquivalent:

• ${\displaystyle V}$ ist modular.
• ${\displaystyle u\ge w⟹u\wedge (v\vee w)=(u\wedge v)\vee w}$ für alle${\displaystyle u,v,w\in V}$.
• ${\displaystyle u\vee (v\wedge (u\vee w))=(u\vee v)\wedge (u\vee w)}$ für alle${\displaystyle u,v,w\in V}$.
• ${\displaystyle u\wedge (v\vee (u\wedge w))=(u\wedge v)\vee (u\wedge w)}$ für alle${\displaystyle u,v,w\in V}$.

Ein nicht modularer Verband enthält immer den Verband${\displaystyle N_5}$ als Unterverband.^[2]

Im Folgenden meinen wir mit dem Verband${\displaystyle V}$ stets den Verband${\displaystyle (V,\vee ,\wedge )}$.

Ein Verband${\displaystyle V}$ heißtdistributiv, wenn die Verknüpfungen in doppelter Hinsichtdistributiv sind:

• ${\displaystyle u\vee (v\wedge w)=(u\vee v)\wedge (u\vee w)}$ für alle${\displaystyle u,v,w\in V}$ und
• ${\displaystyle u\wedge (v\vee w)=(u\wedge v)\vee (u\wedge w)}$ für alle${\displaystyle u,v,w\in V}$.

Da diese beiden Aussagen zueinander äquivalent sind, genügt es, die Gültigkeit eines dieser beiden Distributivgesetze zu verlangen.

Jeder distributive Verband ist modular, aber nicht umgekehrt.Ein modularer Verband, der nicht distributiv ist, enthält immer den Verband${\displaystyle M_3}$, den Verband der Untergruppen derKleinschen Vierergruppe als Unterverband.^[3]

Dies ergibt den Test: hat ein Verband weder einen Unterverband der Form${\displaystyle N_5}$ noch einen der Form${\displaystyle M_3}$, dann ist er distributiv.

Distributive Verbände sind auch anders zu charakterisieren, dennBirkhoff (1933) undStone (1936) haben gezeigt:

Ein Verband ist genau dann distributiv, wenn er isomorph zu einemMengenverband ist.^[4]

Ein distributiver komplementärer Verband heißtBoolesche Algebra oderBoolescher Verband.

Eine weitere Verallgemeinerung, bei der statt Komplementen nurrelative Pseudokomplemente gefordert werden, heißtHeyting-Algebra.

Ein Verband${\displaystyle V}$ heißtvollständig, wenn jede (auch die leere ebenso wie gegebenenfallsunendliche) Teilmenge ein Supremum und ein Infimum hat.

Es genügt, für jede Teilmenge${\displaystyle M}$ die Existenz des Supremums zu verlangen, denn es ist

• ${\displaystyle \bigwedge M=}$${\displaystyle \bigvee \{x\in V\mid \mathrm{\forall }y\in M:x\le y\}.}$

Jeder vollständige Verband${\displaystyle V}$ ist beschränkt mit

• ${\displaystyle 0=\bigwedge V=\bigvee \mathrm{\varnothing }}$   und  ${\displaystyle 1=\bigvee V=\bigwedge \mathrm{\varnothing }.}$

Jeder endliche, nichtleere Verband${\displaystyle V}$ ist vollständig, also auch beschränkt.

Eine minimalistische Definition ist: Ein vollständiger Verband ist eine halbgeordnete Menge${\displaystyle (V,\le )}$, in der jede Teilmenge${\displaystyle M\subseteq V}$ ein Supremum hat. So definiert, ist ein vollständiger Verband natürlich auch ein Verband, mit${\displaystyle x\vee y:=\bigvee \{x,y\}}$ und${\displaystyle x\wedge y:=\bigwedge \{x,y\}}$.

In einem vollständigen Verband${\displaystyle (V,\le )}$ besitzt jede ordnungserhaltende (d. h. monoton wachsende) Abbildung${\displaystyle f:V\to V}$ einen größten und einen kleinsten Fixpunkt aufgrund desFixpunktsatzes von Tarski.

Wenn jede bezüglich der Ordnungtotalgeordnete Teilmenge (Kette) endlich ist, nennt man den Verbandlängenendlich.^[5]Für viele Beweise innerhalb der Verbandstheorie muss ein Verband nicht endlich sein, sondern es reicht, wenn er längenendlich ist.

Man nennt ein Element${\displaystyle a}$ eines vollständigen Verbandes${\displaystyle V}$kompakt (nach der verwandten Eigenschaftkompakter Räume in derTopologie), wenn jede Teilmenge${\displaystyle M}$ von${\displaystyle V}$ mit

• ${\displaystyle a\le \bigvee M}$

eine endliche Teilmenge${\displaystyle E}$ enthält, für die gilt:

• ${\displaystyle a\le \bigvee E}$

Ein Verband${\displaystyle V}$ heißtalgebraisch, wenn er vollständig ist und wenn jedes Element von${\displaystyle V}$ das Supremum von kompakten Elementen ist.

Vertauscht man in einem Verband${\displaystyle V}$ die beiden Verknüpfungen${\displaystyle \wedge }$ und${\displaystyle \vee }$, erhält man eine neue Struktur${\displaystyle W}$.Man nennt${\displaystyle W}$ dieduale Struktur.

Ersetzt man in einer beliebigen Formel${\displaystyle \phi }$ der Sprache der Verbandstheorie und setzt überall die beiden Zeichen${\displaystyle \wedge }$ und${\displaystyle \vee }$ wechselseitig füreinander ein und ersetzt außerdem überall 0 durch 1 und umgekehrt, dann nennt man die entstandene Formel${\displaystyle \hat{\phi }}$ dieduale Formel von${\displaystyle \phi }$.

Offensichtlich gelten in dem zu${\displaystyle V}$ dualen Verband${\displaystyle W}$ die dualen zu den in${\displaystyle V}$ gültigen Formeln.Da in der Definition eines Verbands zu jeder Formel auch die duale Formel vorkommt, folgt, dass${\displaystyle W}$ ebenfalls ein Verband ist, der als der zu${\displaystyle V}$duale Verband bezeichnet wird.

Aus dieser Beobachtung folgt:

• Gilt eine Formel inallen Verbänden, dann gilt auch ihre duale Formel in allen Verbänden.

Das Modularitätsgesetz ist selbstdual und die beiden Distributiv-Gesetze sind zueinander dual und die beiden Komplementärgesetze sind zueinander dual. Daher gilt entsprechend:

• Gilt eine Formel inallen modularen oder in allen distributiven Verbänden oder in allen Booleschen Algebren, dann gilt auch die duale Formel in den entsprechenden Verbänden.

EinUnterverband von${\displaystyle V}$ ist eine Teilmenge${\displaystyle U}$, diemit den eingeschränkten Verknüpfungen von${\displaystyle V}$ ein Verband ist, d. h. es liegen

• ${\displaystyle a\vee b}$ und${\displaystyle a\wedge b}$ in${\displaystyle U}$ für alle${\displaystyle a,b}$ aus${\displaystyle U.}$

EinTeilverband von${\displaystyle V}$ ist eine Teilmenge${\displaystyle U}$, die ein Verband ist,d. h.${\displaystyle U}$ ist eine halbgeordnete Menge mit Supremum und Infimum für endliche Teilmengen.

Natürlich ist jeder Unterverband ein Teilverband, aber nicht umgekehrt.

Hier ist eine der wenigen Stellen, wo man den Unterschied in der Betrachtungsweise merkt: Für Verbände alsOrdnungsstrukturen sind alle Teilverbände Unterstrukturen, für Verbände alsalgebraische Strukturen sind nur die Unterverbände Unterstrukturen.

Man geht weder bei Teilverbänden noch bei Unterverbänden davon aus, dass dieneutralen Elemente in der Unterstruktur erhalten bleiben. Sonst muss man ausdrücklich von einem Verband mit${\displaystyle 0}$ und${\displaystyle 1}$ reden.

EinIdeal${\displaystyle I}$ ist ein Unterverband eines Verbandes${\displaystyle V}$, der zusätzlich folgende Bedingung erfüllt:sind${\displaystyle a\in I}$ und${\displaystyle x\in V}$, dann ist${\displaystyle a\wedge x\in I}$.(Die Definition entspricht also formal der Definition, die man in einem Ring erwartet).

Bezüglich der Halbordnung auf${\displaystyle V}$ gilt aber${\displaystyle a\wedge x\le a}$. Daher kann man die Definition auch so interpretieren:

Ein Ideal ist ein Unterverband, der zusammen mit einem Element${\displaystyle a}$ auch alle Elemente von${\displaystyle V}$ enthält, die kleiner als${\displaystyle a}$ sind.

Filter werden dual zu Idealen definiert:

Ein Filter ist ein Unterverband, der zusammen mit einem Element${\displaystyle a}$ auch alle Elemente von${\displaystyle V}$ enthält, die größer als${\displaystyle a}$ sind.

Sind${\displaystyle (V,\vee ,\wedge )}$ und${\displaystyle (W,\vee ,\wedge )}$ zwei Verbände und${\displaystyle f:V\to W}$ eineFunktion, sodass für alle${\displaystyle a,b}$ aus${\displaystyle V}$ gilt

• ${\displaystyle f(a\vee b)=f(a)\vee f(b),}$
• ${\displaystyle f(a\wedge b)=f(a)\wedge f(b),}$

dann heißt${\displaystyle f}$Verbandshomomorphismus. Ist${\displaystyle f}$ zusätzlichbijektiv, dann heißt${\displaystyle f}$Verbandsisomorphismus und die Verbände${\displaystyle V}$ und${\displaystyle W}$ sindisomorph.

Falls${\displaystyle (V,\vee ,\wedge )}$ und${\displaystyle (W,\vee ,\wedge )}$ vollständig sind und${\displaystyle f:V\to W}$ sogar

• ${\displaystyle f\left(\bigvee T\right)=\bigvee \{f(a)\mid a\in T\},}$
• ${\displaystyle f\left(\bigwedge T\right)=\bigwedge \{f(a)\mid a\in T\}}$

für alle${\displaystyle T\subseteq V}$ erfüllt, nennt man${\displaystyle f}$ einenvollständigen Verbandshomomorphismus. Jeder vollständige Verbandshomomorphismus ist offensichtlich auch ein Verbandshomomorphismus.

DieKlasse aller Verbände bildet mit diesen Homomorphismen jeweils eineKategorie.

Ein Verbandshomomorphismus ist gleichzeitig ein Ordnungshomomorphismus, d. h. eineisotone Abbildung:

• aus${\displaystyle a\le b}$ folgt${\displaystyle f(a)\le f(b).}$

Jedoch ist nicht jede isotone Abbildung zwischen Verbänden ein Verbandshomomorphismus.

In beschränkten Verbänden gilt: Die Menge der Elemente von${\displaystyle V,}$ die durch einen Verbandshomomorphismus auf das Nullelement des Bildes abgebildet werden, bilden ein Ideal von${\displaystyle V}$ und dual, die Menge der Elemente, die auf das Einselement abgebildet werden, bilden einen Filter.

Jedetotal geordnete Menge${\displaystyle M}$ ist ein distributiver Verband mit den VerknüpfungenMaximum undMinimum. Insbesondere gilt für alle${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$,${\displaystyle c}$ aus${\displaystyle M}$:

• ${\displaystyle max(a,min(b,c))=min(max(a,b),max(a,c))}$,
• ${\displaystyle min(a,max(b,c))=max(min(a,b),min(a,c))}$.

Nur im Fall einer ein- oder zweielementigen Menge${\displaystyle M}$ ist der Verband komplementär.

Beispiele für die übrigen Eigenschaften:

• Das abgeschlossene reelleIntervall${\displaystyle [0,1]}$ und die erweiterte reelle Gerade (${\displaystyle \mathbb{R}}$ mit${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ und${\displaystyle -\mathrm{\infty }}$) sind jeweils vollständige distributive Verbände (und damit beschränkt).
• Das offene reelle Intervall${\displaystyle (0,1)}$, die Mengen${\displaystyle \mathbb{R}}$,${\displaystyle \mathbb{Q}}$ und${\displaystyle \mathbb{Z}}$ sind jeweils unvollständige unbeschränkte distributive Verbände.
• Dasrationale Intervall${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb{Q}}$ ist ein unvollständiger beschränkter distributiver Verband.
• Die Menge${\displaystyle {\mathbb{N}}_0}$ ist ein unvollständiger distributiver Verband mit Nullelement${\displaystyle 0}$.

Betrachtet man für eine natürliche Zahl${\displaystyle n}$ die Menge${\displaystyle T}$ aller positivenTeiler von${\displaystyle n}$, dann ist${\displaystyle (T,\mathrm{kgV},\mathrm{ggT})}$ ein vollständiger distributiver Verband mit Einselement${\displaystyle n}$ (neutralem Element fürggT) und Nullelement${\displaystyle 1}$ (neutralem Element fürkgV). Er heißt Teilerverband von${\displaystyle n}$. Die Absorptionsgesetze und Distributivgesetze für ggT und kgV folgen dabei z. B. mit derPrimfaktorzerlegung aus den Eigenschaften von max und min, man kann sie aber auch durch Teilbarkeitsbetrachtungen herleiten.

Für die Halbordnung${\displaystyle {\le }_T}$ des Verbandes${\displaystyle (T,\mathrm{kgV},\mathrm{ggT})}$ ergibt sich dieTeilt-Relation${\displaystyle \mid }$. Denn für${\displaystyle a,b\in T}$ gilt

${\displaystyle a{\le }_{T}b⟺\mathrm{ggT}(a,b)=a⟺a\mid b.}$

Der Verband ist genau dann komplementär (und damitboolesch), wenn${\displaystyle n}$ quadratfrei ist, d. h. wenn${\displaystyle n}$ keine Quadratzahl${\displaystyle \ne 1}$ als Teiler hat.

Beispiele für Teilerverbände

T₂ ist Boolesche Algebra (und lineare Ordnung)

T₄ ist lineare Ordnung

T₆ ist eine Boolesche Algebra

T₁₂ ist nicht komplementär

T₃₀ ist eine Boolesche Algebra

Für eine Menge${\displaystyle M}$ bildet diePotenzmenge${\displaystyle \mathcal{P}(M)}$ mit den Verknüpfungen Vereinigung${\displaystyle \cup }$ und Durchschnitt${\displaystyle \cap }$ einen algebraischen booleschen Verband mit Nullelement${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ (neutrales Element bezüglich${\displaystyle \cup }$) und Einselement${\displaystyle M}$ (neutrales Element bezüglich${\displaystyle \cap }$) sowie Komplement${\displaystyle A^c=M\setminus A}$ für alle${\displaystyle A\in \mathcal{P}(M)}$. Er heißt Potenzmengen- oder Teilmengenverband von${\displaystyle M}$.Die Halbordnung auf${\displaystyle (\mathcal{P}(M),\cup ,\cap )}$ ist die Mengeninklusion:

• ${\displaystyle A\le B,}$ falls${\displaystyle A\subseteq B}$ (oderäquivalent dazu${\displaystyle A\cap B=A}$)

(Trägermengen von) Unterverbände(n) von${\displaystyle (\mathcal{P}(M),\cup ,\cap )}$ heißenMengenverbände (zwischen den Verbänden und ihren Trägermengen wird oft nicht unterschieden). Diese Verbände sind immer distributiv, müssen jedoch weder vollständig sein, noch neutrale Elemente oder Komplemente haben. (Ein Beispiel dafür ist der Verband der rechts-unendlichen reellen Intervalle${\displaystyle [a,\mathrm{\infty })}$ mit${\displaystyle a}$ aus${\displaystyle \mathbb{R}}$, der isomorph zum Verband der reellen Zahlen ist.)

Für eineGruppe${\displaystyle (G,\ast )}$ bildet die Menge${\displaystyle A}$ allerUntergruppen von${\displaystyle G}$ einen algebraischen (im Allgemeinen nicht modularen und damit auch nicht distributiven) Verband mit den VerknüpfungenErzeugnis der Vereinigung undDurchschnitt. Er heißt Untergruppenverband von${\displaystyle G}$.

Beispielsweise ist der Untergruppenverband derkleinschen Vierergruppe, der gerade dem Verband${\displaystyle M_3}$ entspricht, nicht-distributiv, aber modular.

Ebenso bilden

• dienormalen Untergruppen einer Gruppe,
• die Untergruppen einerabelschen Gruppe,
• die Unterringe einesRinges,
• die Unterkörper einesKörpers,
• die Untermoduln einesModuls,
• dieIdeale eines Ringes

mit analogen Verknüpfungen einen modularen algebraischen Verband. Die Untergruppen einer beliebigen Gruppe und die Unterverbände eines beliebigen Verbands ergeben zwar immer einen algebraischen Verband, dieser muss aber nicht modular sein.

Ganz allgemein bilden dieUnterstrukturen eineralgebraischen Struktur stets einen algebraischen Verband (wobei auch die leere Menge als Unterstruktur betrachtet wird, falls der mengentheoretische Durchschnitt – also das Infimum bezüglich der Mengeninklusion – von der Menge aller Unterstrukturen leer ist).

Insbesondere ist ein Verband genau dann algebraisch, wenn er isomorph ist zum Verband der Unterstrukturen einer algebraischen Struktur (daher auch der Name algebraischer Verband).

Schränkt man die Menge der Untergruppen auf Obergruppen einer festen Untergruppe${\displaystyle U}$ ein, so bilden alle diese Zwischengruppen${\displaystyle \{V:U\le V\le G\}}$ auch einen beschränkten Verband. Analog dazu gibt es Verbände von Zwischenringen, Zwischenkörpern, Zwischenmoduln, Zwischenidealen.

Besonderes Interesse hat man am Untergruppenverband der Galoisgruppe einer galoisschenKörpererweiterung${\displaystyle L/K}$, denn er ist isomorph zum dualen Zwischenkörperverband von${\displaystyle L/K}$.

• Rudolf Berghammer:Ordnungen, Verbände und Relationen mit Anwendungen. 2. Auflage. Springer+Vieweg, Wiesbaden 2012,ISBN 978-3-658-00618-1. 
• Garrett Birkhoff:Lattice Theory. 3. Auflage. AMS, Providence RI 1973,ISBN 0-8218-1025-1. 
• Hilda Draškovičová:Ordered Sets and Lattices. AMS, 1992,ISBN 0-8218-3121-6. 
• Hans Hermes:Einführung in die Verbandstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1967. 
• Heinz Liermann:Verbandsstrukturen im Mathematikunterricht. Diesterweg Salle, Frankfurt a. M. 1971,ISBN 3-425-05317-5. 
• Gábor Szász:Einführung in die Verbandstheorie. Akademiai Kiado, Budapest 1962. 

Wikiversity: Eine Vorlesung über Verbände im Rahmen eines Kurses zur Diskreten Mathematik – Kursmaterialien

Commons: Verband – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

1. ↑Leo Corry:Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures, Springer, 2004,ISBN 3-7643-7002-5, S. 267
2. ↑H.Gericke,Theorie der Verbände. 2. Auflage. Mannheim 1967, S. 76 (Figur dazu auf S. 70)
3. ↑H.Gericke,Theorie der Verbände. 2. Auflage. Mannheim 1967, S. 111
4. ↑G.Grätzer,Lattice Theory, 1971, S. 75
5. ↑Helmuth Gericke:Theorie der Verbände. Bibliographisches Institut, Mannheim 1963, § 6.2

• Mathematischer Grundbegriff
• Verband (Mathematik)
• Ordnungstheorie
• Verbandstheorie