Einetrigonometrische Gleichung (auchgoniometrische Gleichung) ist eineGleichung, in der die zu bestimmende Variable im Argument vontrigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) vorkommt. Bei der Lösung dieser Gleichungen sind dieBeziehung zwischen den Winkelfunktionen hilfreich, insbesondere die Additionstheoreme.^[1]

Wegen derPeriodizität der Winkelfunktionen haben trigonometrische Gleichungen im Allgemeinen unendlich vieleLösungen. Durch Beschränkung derGrundmenge auf ein „Basisintervall“ (zum Beispiel [0,2·π] oder [0,π]) reduziert man die Zahl der Lösungen auf eine endliche Anzahl oder man beschreibt die Lösungen durch einen Periodizitätssummanden (wiek·2·π oderk·π).

Die trigonometrische Gleichung

${\displaystyle \sin x=\cos x}$

kann man unter Verwendung der Beziehung${\displaystyle \cos x=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}}$ umformen zu

${\displaystyle \sin x=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}.}$

Durch Quadrieren erhält man

${\displaystyle {\sin }^{2}x=1-{\sin }^{2}x}$

und daraus

${\displaystyle 2\cdot {\sin }^{2}x=1,}$

also

${\displaystyle \sin x=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}}$

mit den Lösungen

${\displaystyle x={45}^{\circ }\pm k\cdot {90}^{\circ }(k=0,1,2,...)}$

beziehungsweise im Bogenmaß

${\displaystyle x=\frac{\pi }{4}\pm k\cdot \frac{\pi }{2}(k=0,1,2,...).}$

Da das Quadrieren keineÄquivalenzumformung ist, muss man diese Lösungen an der Ausgangsgleichungverifizieren. Dadurch erhält man als gültige Lösungen der Ausgangsgleichung

${\displaystyle x=\frac{\pi }{4}\pm 2k\cdot \frac{\pi }{2}(k=0,1,2,...).}$

1. ↑Arnfried Kemnitz:Mathematik zum Studienbeginn. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011,ISBN 978-3-8348-1741-9,S. 75. 

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