EinTorus (PluralTori, vonlateinischtorus)^[1][2] ist einmathematisches Objekt aus derGeometrie und derTopologie. Er ist eine wulstartig geformteFläche mit einem Loch, ähnlich der Gestalt einesRettungsrings,Fahrradschlauchs oderDonuts. Auch einO-Ring (französisch:Joint torique, wörtlich: torische Dichtung) hat die Form eines Torus.

Beispiele für imdreidimensionalenRaum eingebettete Tori sind die Rotationstori. Rotationstori sindRotationsflächen, die man erhält, indem man einenKreis um eine Achse rotieren lässt, die in der Kreisebene liegt und den Kreis nicht schneidet. Falls man nicht nur die Kreislinie, sondern die gesamteKreisfläche rotieren lässt, erhält man einenVolltorus.

Anders ausgedrückt wird ein Rotationstorus aus derjenigenMenge anPunkten gebildet, die von einerKreislinie mit Radius${\displaystyle R}$ den festen Abstand${\displaystyle r}$ mit haben.

Ein Torus kann auch durch Identifizieren der Seiten eines Parallelogramms konstruiert werden. Dabei wird die rechte Kante desParallelogramms mit seiner linken Kante und die obere mit der unteren Kante verheftet. DieseTopologie benutzen auch viele Computerspiele: Verlässt ein Spielobjekt auf einer Seite das Spielfeld, so taucht es auf der gegenüberliegenden Seite wieder auf.

Beide Konstruktionen sind Spezialfälle der allgemeinen mathematischen Definition, die einen Torus als dastopologische Produkt zweier Kreise definiert. Dieser Begriff spielt in zahlreichen Gebieten derMathematik eine Rolle, nebenTopologie undDifferentialgeometrie ist er unter anderem in derFourier-Analysis, der Theoriedynamischer Systeme (invariante Tori in derHimmelsmechanik), derFunktionentheorie und der Theorieelliptischer Kurven von Bedeutung.

Rotationstori liefern eine konkreterotationssymmetrische Realisierung dieser Fläche imdreidimensionaleneuklidischen Raum. Von besonderer Wichtigkeit für viele Anwendungen in theoretischerMathematik undPhysik sind sogenannte flache Tori und ihre Einbettung in denvierdimensionalenRaum. Diese haben dieKrümmung null und die maximal möglicheSymmetrie.

Der Torus ist einezweidimensionaleFläche. Allgemeiner betrachtet man in derMathematik auch den${\displaystyle n}$-Torus, eine den zweidimensionalen Torus verallgemeinernde${\displaystyle n}$-dimensionaleMannigfaltigkeit. Davon abweichend finden sich in der deutschsprachigen Literatur gelegentlich auch die Bezeichnungen Doppeltorus, Tripeltorus etc. für Flächen mit zwei, drei und mehr Löchern.

DasVolumen des Volltorus, der vom Torus ummantelt wird, lässt sich alsVolumenintegral über dieJacobi-Determinante (dieDeterminante der Funktionalmatrix) berechnen. DieJacobi-Matrix zur Parametrisierung des Torus lässt sich wie folgt angeben:

Daraus folgt:

${\displaystyle det(J_f)=r\cdot \left(r\cos (p)+R\right)}$

DieFunktionaldeterminante ist hier also gleich derNorm des Flächennormalenvektors.

${\displaystyle V={\int }_V\mathrm{d}V={\int }_{\mathrm{\Gamma }}det(J_f)\mathrm{d}\mathrm{\Gamma }={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^r\left(Rr+r^2\cos (p)\right)\mathrm{d}r\mathrm{d}p\mathrm{d}t=2{\pi }^2{r}^{2}R}$

Man erhält also für das Volumen des Volltorus${\displaystyle V=2{\pi }^2{r}^{2}R}$.

DieFormel für dasVolumen lässt sich so interpretieren, dass dieKreisfläche${\displaystyle A_r=\pi r^2}$ mit demUmfang${\displaystyle U_R=2\pi R}$multipliziert wird (sieheZweite Guldinsche Regel). Dies kann man zum Verständnis in Analogie zumZylindervolumen${\displaystyle V_{\text{zyl}}=\pi r^{2}l}$ setzen. Mit demFlächeninhalt der Oberfläche verhält es sich genauso, hier werden die Umfänge${\displaystyle U_r=2\pi r}$ und${\displaystyle U_R=2\pi R}$ miteinander multipliziert (sieheErste Guldinsche Regel). Dies steht ebenfalls in Analogie zurZylinderoberfläche${\displaystyle O_{\text{zyl}}=2\pi rl}$.

Betrachtet man nur den inneren Teil des Torus, der von der${\displaystyle z}$-Achse einenAbstand kleiner gleich${\displaystyle R}$ hat, ergibt sich dasVolumen

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{\int }_0^r\left(Rr+r^2\cos (p)\right)\mathrm{d}r\mathrm{d}p\mathrm{d}t=\pi r^2\left(\pi R-\frac{4r}{3}\right)}$

Der äußere Teil des Torus, der von der${\displaystyle z}$-Achse einenAbstand größer gleich${\displaystyle R}$ hat, hat dasVolumen

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\int }_{\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\int }_0^r\left(Rr+r^2\cos (p)\right)\mathrm{d}r\mathrm{d}p\mathrm{d}t=\pi r^2\left(\pi R+\frac{4r}{3}\right)}$

Die Oberfläche des Torus mit der obigenParameterdarstellung ist

${\displaystyle A_O=4{\pi }^{2}rR}$

DieseFormel lässt sich entweder mit derErsten Guldinschen Regel herleiten aus

${\displaystyle A_O=2\pi r\cdot 2\pi R}$

oder mit Hilfe desOberflächenintegrals

${\displaystyle A_O=\iint \mathrm{d}A={\int }_{t=0}^{2\pi }{\int }_{p=0}^{2\pi }r(R+r\cos (p))\mathrm{d}p\mathrm{d}t}$

berechnen. Dabei ist${\displaystyle \mathrm{d}A=r(R+r\cos (p))\mathrm{d}p\mathrm{d}t}$ dasOberflächenelement des Torus in der obigenParameterdarstellung.

Der Torusberandet einen 3-dimensionalenVolltorus. DasVolumen des Volltorus beträgt${\displaystyle V=2{\pi }^2{r}^{2}R}$ (sieheZweiten Guldinschen Regel).

Betrachtet man nur den inneren Teil des Torus, der von der${\displaystyle z}$-Achse einenAbstand kleiner gleich${\displaystyle R}$ hat, ergibt sich die Oberfläche

${\displaystyle {\int }_{t=0}^{2\pi }{\int }_{p=\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}r(R+r\cos (p))\mathrm{d}p\mathrm{d}t=2\pi r\left(\pi R-2r\right)}$

Der äußere Teil des Torus, der von der${\displaystyle z}$-Achse einenAbstand größer gleich${\displaystyle R}$ hat, hat die Oberfläche

${\displaystyle {\int }_{t=0}^{2\pi }{\int }_{p=\frac{3\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}r(R+r\cos (p))\mathrm{d}p\mathrm{d}t=2\pi r\left(\pi R+2r\right)}$

Ein Rotationstorus ist eineRotationsfläche, die durchRotation einesKreises um eine in der Kreisebene liegende und den Kreis nicht schneidendeRotationsachse erzeugt wird.^[3][4][5] Ein Rotationstorus kann alsMenge derPunkte beschrieben werden, die von einer Kreislinie mit Radius${\displaystyle R}$ den festenAbstand${\displaystyle r}$ haben, wobei ist. In kartesischenKoordinaten${\displaystyle x,y,z}$ mit der${\displaystyle z}$-Achse als Rotationsachse und denMittelpunkten des rotierenden Kreises in der${\displaystyle xy}$-Ebene wird er durch die Gleichung:${\displaystyle {\left(\sqrt{x^2+y^2}-R\right)}^2+z^2=r^2}$

beschrieben. Durch Beseitigen der Wurzel ergibt sich die Gleichung 4. Grades

${\displaystyle {\left(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2\right)}^2=4R^2\left(x^2+y^2\right).}$

Man kann in der Torusoberfläche eine toroidaleKoordinate${\displaystyle t}$ und eine dazu senkrechte poloidale Koordinate${\displaystyle p}$ einführen. Man denkt sich den Torus als durch einenKreis entstanden, der um eine in der Kreisebene liegende Achse rotiert wird. Den Radius des ursprünglichen Kreises nennen wir${\displaystyle r}$, dieser Kreis bildet auch gleichzeitig eineKoordinatenlinie von${\displaystyle p}$. Den Abstand desKreismittelpunkts von der Achse nennen wir${\displaystyle R,}$ die Koordinatenlinien von${\displaystyle t}$ sind Kreise um dieDrehachse. Beide Koordinaten sind Winkel und laufen von${\displaystyle 0}$ bis${\displaystyle 2\pi }$.

Die Umrechnung von Toruskoordinaten inkartesische Koordinaten erfolgt so:

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=R\cdot \left(\begin{array}{c}\cos (t)\\ \sin (t)\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}\cos (t)\cdot \cos (p)\\ \sin (t)\cdot \cos (p)\\ \sin (p)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(R+r\cdot \cos (p))\cos (t)\\ (R+r\cdot \cos (p))\sin (t)\\ r\cdot \sin (p)\end{array}\right)}$

Toruskoordinaten sind in der Kernfusionstechnologie von Bedeutung, sieheKernfusionsreaktor.

1. Schnitte mitEbenen, diedieRotationsachse enthalten, sind Kreispaare.
2. Schnitte mit Ebenen, diezur Rotationsachse senkrecht sind, sind Kreispaare oder einKreis oder leer.
3. Einezur Rotationsachse parallele Ebene schneidet aus einem Torus einespirische Kurve aus. In Sonderfällen kann dies eineCassinische Kurve sein.
4. Einegeneigte Ebene, die zwei Erzeugerkreise berührt, schneidetVillarceau-Kreise aus.

In derDarstellenden Geometrie verwendet man Teile eines Torus zur Konstruktion von Übergangsflächen zwischenZylindern. Die Darstellung eines Torus durch seinen Umriss findet man inUmrisskonstruktionen.

Mit${\displaystyle {\mathbb{S}}^1}$ werde derKreis (die1-Sphäre) bezeichnet. Der${\displaystyle n}$-Torus ist dann definiert durch

${\displaystyle {\mathbb{T}}^n:=\underset{n\text{mal}}{\underbrace{{\mathbb{S}}^1\times \cdots \times {\mathbb{S}}^1}}}$,

wobei${\displaystyle \times }$ dasProdukt topologischer Räume ist. Die im vorhergehenden Abschnitt beschriebeneRotationsfläche ist ein 2-Torus. Der 2-Torus wird meist einfach Torus genannt.^[6]

Der${\displaystyle n}$-Torus ist einetopologische Mannigfaltigkeit. Dies folgt aus der Tatsache, dass der${\displaystyle n}$-Torus dastopologische Produkt aus${\displaystyle n}$ 1-Sphären ist und die 1-Sphäre selbst eine topologische Mannigfaltigkeit ist. Die 1-Sphäre ist zusätzlich auch einedifferenzierbare Mannigfaltigkeit und, da dasProdukt differenzierbarer Mannigfaltigkeiten wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ergibt, ist der${\displaystyle n}$-Torus ebenfalls eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.^[7] DieDimension von${\displaystyle {\mathbb{T}}^n}$ ist gleich${\displaystyle n}$.

Ebenfalls direkt aus der Definition folgt, dass der${\displaystyle n}$-Toruskompakt ist. Außerdem ist erwegzusammenhängend. Im Gegensatz zur${\displaystyle n}$-Sphäre ist der${\displaystyle n}$-Torus für${\displaystyle n>1}$ nichteinfach zusammenhängend.

DieAbbildung${\displaystyle q:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{T}}^n}$, definiert durch${\displaystyle (x_j{)}_j\mapsto (\exp (2\pi \mathrm{i}{x}_j){)}_j}$, ist dieuniverselle Überlagerung des${\displaystyle n}$-Torus.^[8]

Die 1-Sphäre, aufgefasst alsKreisgruppe, ist außerdem eineLie-Gruppe. Da dasProdukt mehrerer Lie-Gruppen mit der komponentenweisenMultiplikation wieder eine Lie-Gruppe ist, ist auch der${\displaystyle n}$-Torus eine Lie-Gruppe.^[9]

Da die Kreislinie${\displaystyle {\mathbb{S}}^1}$ offensichtlich in den${\displaystyle {\mathbb{R}}^2}$eingebettet werden kann, kann der${\displaystyle n}$-Torus${\displaystyle {\mathbb{T}}^n:={\mathbb{S}}^1\times \cdots \times {\mathbb{S}}^1\subset {\mathbb{R}}^{2n}}$ alsTeilmenge deseuklidischen Raums${\displaystyle {\mathbb{R}}^{2n}}$ aufgefasst werden. Man betrachtet auf${\displaystyle {\mathbb{T}}^n}$ dieriemannsche Metrik${\displaystyle g}$, die durch dieeuklidische Metrik des Raums${\displaystyle {\mathbb{R}}^{2n}}$ auf dem${\displaystyle n}$-Torus induziert wird. DieseMetrik${\displaystyle g}$ istflach, das heißt, der${\displaystyle n}$-Torus ist lokalisometrisch zu einerUmgebung des${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$.^[10] Insbesondere ist daher seineSchnittkrümmung überall konstant null. Da der${\displaystyle n}$-Torus kompakt und somit auchvollständig ist, ist er eineflache Mannigfaltigkeit. Man spricht daher auch von einem flachen${\displaystyle n}$-Torus. Ein flacher2-Torus${\displaystyle {\mathbb{T}}^2={\mathbb{S}}^1\times {\mathbb{S}}^1}$ kann nicht längentreu auf einen Rotationstorus im${\displaystyle {\mathbb{R}}^3}$ abgebildet werden, denn die Schnittkrümmung des Rotationstorus ist nicht überall null wie beim flachen2-Torus.

Es gibt neben der oben beschriebenen noch weitere flacheMetriken auf dem Torus. Flache2-Tori können beschrieben werden durch einParallelogramm, dessen gegenüberliegende Seiten zusammengeklebt werden. Äquivalent dazu können flache Tori als topologischeFaktorgruppen${\displaystyle {\mathbb{R}}^2/(\mathbb{Z}\cdot v+\mathbb{Z}\cdot w)}$ für zweilinear unabhängigeVektoren${\displaystyle v,w\in {\mathbb{R}}^2}$ beschrieben werden. Im Spezialfall${\displaystyle v=(1,0)}$ und${\displaystyle w=(0,1)}$ erhält man denQuotienten${\displaystyle {\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2\cong (\mathbb{R}/\mathbb{Z}{)}^2}$.

Elliptische Kurven über denkomplexen Zahlen lassen sich mittels der Weierstraßschen Parametrisierung als${\displaystyle \mathbb{C}/L}$ für einGitter${\displaystyle L\subset \mathbb{C}}$ darstellen und sind dadurch (mit einertranslationsinvariantenMetrik) Beispiele für flache Tori. DerModulraum derelliptischen Kurven oder äquivalent der flachen2-Tori ist die sogenannteModulkurve.

Eine 2-mal differenzierbare Einbettung des Torus in dendreidimensionalenRaum kann nicht flach sein, weil die lokalenExtrema Punkte positiverKrümmung sein müssen. Nach demEinbettungssatz von Nash gibt es jedochfraktale (nur 1-maldifferenzierbare) Einbettungen des flachen Torus in den dreidimensionalenRaum. Diese können auch numerisch konstruiert werden.^[11][12]

Ein Rotationstorus ist ein im${\displaystyle {\mathbb{R}}^3}$ eingebetteter 2-Torus, der alsMenge derPunkte beschrieben werden kann, die von einer Kreislinie mitRadius${\displaystyle R}$ den festenAbstand${\displaystyle r}$ haben, wobei ist.

Ein Clifford-Torus ist ein spezieller in${\displaystyle S^3\subset {\mathbb{R}}^4}$ eingebetteter Torus. Nach der Identifizierung${\displaystyle {\mathbb{R}}^4={\mathbb{C}}^2}$ und${\displaystyle S^3=\left\{(z,w)\in {\mathbb{C}}^2:|z{|}^2+|w{|}^2=1\right\}}$ lässt sich der Standard-Cliffordtorus beschreiben als

${\displaystyle T:=\left\{(z,w)\in {\mathbb{C}}^2:|z|=|w|=\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}\subset S^3}$.

Weiters werden die Bilder von${\displaystyle T}$ unter Isometrien der Standard-Metrik${\displaystyle A\in O(3)=\mathrm{Isom}(S^3)}$ als Clifford-Tori bezeichnet.

Mittelsstereographischer Projektion kann man Clifford-Tori auch als in den${\displaystyle {\mathbb{R}}^3}$ eingebettete Tori auffassen.

Ein Clifford-Torus ist eineMinimalfläche bzgl. derStandardmetrik auf der${\displaystyle S^3}$. Die vonBrendle bewieseneLawson-Vermutung besagt, dass jeder als Minimalfläche in die${\displaystyle S^3}$ eingebettete Torus ein Clifford-Torus ist.

Im Gegensatz zur Oberfläche einerKugel kann der Torus ohneSingularitäten auf einer ebenen,rechteckigenFläche abgebildet werden.

Dabei wird die rechte Kante desRechtecks oderQuadrats mit seiner linken Kante verheftet und seine untere Kante wird mit seiner oberen Kante verheftet. Diese Konstruktion funktioniert auch mit einem beliebigenParallelogramm. DieseTopologie besitzen auch viele Computerspiele, zum BeispielAsteroids oderPac-Man: Verlässt ein Spielobjekt auf einer Seite das Spielfeld, so taucht es auf der gegenüberliegenden Seite wieder auf.

Beimdreidimensionalen Torus oder 3-Torus handelt es sich um einenQuader oderWürfel, dessen sechs gegenüberliegende Flächen paarweise miteinander verheftet sind.

Beimvierdimensionalen Torus oder 4-Torus handelt es sich um einenTesserakt, dessen acht gegenüberliegendeWürfel paarweise miteinander verheftet sind.

Allgemein ist der${\displaystyle n}$-dimensionale Torus ein${\displaystyle n}$-dimensionaler Würfel${\displaystyle [0,1{]}^n}$, dessen gegenüberliegende${\displaystyle (n-1)}$-Hyperwürfel paarweise miteinander identifiziert sind. Man kann ihn auch als${\displaystyle {\mathbb{R}}^n/{\mathbb{Z}}^n}$ darstellen.

Auch hier kann man statt eines${\displaystyle n}$-dimensionalenWürfels ein beliebiges${\displaystyle n}$-dimensionalesParallelepiped verwenden, um durch Identifizieren der Seiten einen${\displaystyle n}$-dimensionalen Torus zu konstruieren.

Der Sieben-Farben-Satz für den Torus besagt, dass 7 Farben immer ausreichen, eine beliebige Landkarte auf der Oberfläche eines Torus so einzufärben, dass keine zwei angrenzenden Länder die gleiche Farbe bekommen.

Das bedeutet, dass jederGraph, der in den Torus eingebettet werden kann, einechromatische Zahl von höchstens 7 hat (sieheKnotenfärbung). Weil dervollständige Graph${\displaystyle K_7}$ in den Torus eingebettet werden kann, ist die chromatische Zahl gleich 7.^[13][14]

In derEbene oder auf einerKugeloberfläche reichen weniger Farben. DerVier-Farben-Satz besagt, dass vier Farben immer ausreichen, eine beliebige Landkarte in dereuklidischen Ebene so einzufärben, dass keine zwei angrenzenden Länder die gleiche Farbe bekommen.^[15][16]

In der Theoriealgebraischer Gruppen wirdTorus in einem anderen Sinn verwendet. Dort ist damit eineGruppe gemeint, dieisomorph zu einem endlichenProdukt von Kopien dermultiplikativen Gruppe einesKörpers ist. Zur Abgrenzung spricht man dann von einemalgebraischen Torus im Gegensatz zu einemtopologischen Torus.

So ist zum Beispiel in der torischenGeometrie, dem Studiumtorischer Varietäten, einTorus üblicherweise einalgebraischer Torus.^[17]

• EinRettungsring mit demAußendurchmesser 76Zentimeter und demInnendurchmesser 44 Zentimeter hat die Form eines Torus. Er hat also den festenAbstand${\displaystyle r=(76\mathrm{c}\mathrm{m}-44\mathrm{c}\mathrm{m})/4=8\mathrm{c}\mathrm{m}}$ von einer Kreislinie mit demRadius${\displaystyle R=(76\mathrm{c}\mathrm{m}+44\mathrm{c}\mathrm{m})/4=30\mathrm{c}\mathrm{m}}$.

Daraus ergeben sich dasVolumen und dieOberfläche:

Volumen:${\displaystyle V=2\cdot {\pi }^2\cdot r^2\cdot R=2\cdot {\pi }^2\cdot (8\mathrm{c}\mathrm{m}{)}^2\cdot 30\mathrm{c}\mathrm{m}\approx 37899\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3=\mathrm{37,899}\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3=\mathrm{0,037}899{\mathrm{m}}^3}$

Oberfläche:${\displaystyle A_O=4\cdot {\pi }^2\cdot r\cdot R=4\cdot {\pi }^2\cdot 8\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 30\mathrm{c}\mathrm{m}\approx 9475\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=94,75\mathrm{d}{\mathrm{m}}^2=\mathrm{0,947}5{\mathrm{m}}^2}$

• Horntorus:^[18] Für dieWürfelverdoppelung fandArchytas von Tarent eine nach ihm benannte Kurve. Dazu verwendete er neben einem halben Zylinder und einem Kegelausschnitt auch einen Horntorus. Darin ist der Abstand${\displaystyle R}$ des Kreismittelpunkts von der Achse (siehe AbschnittTorus als Rotationsfläche) gleich dem Radius${\displaystyle r}$ des ursprünglichen Kreises.

• Punktierter Torus
• Torusknoten
• Stanford-Torus
• Torus-Antenne
• Spindeltorus
• Dupinsche Zyklide
• Spirische Kurve

• Marcel Berger:Geometry I. Translated from the 1977 French original by M. Cole and S. Levy. Universitext. Springer-Verlag, Berlin 2009,ISBN 978-3-540-11658-5.
• Anatole Katok, Vaughn Climenhaga:Lectures on surfaces. (Almost) everything you wanted to know about them. Student Mathematical Library, 46. American Mathematical Society, Providence, RI; Mathematics Advanced Study Semesters, University Park, PA 2008,ISBN 978-0-8218-4679-7.

Wiktionary: Torus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Commons: Torus – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein:Torus. In:MathWorld (englisch).
• Mathcurve: Torus
• Mathematische Basteleien: Torus

1. ↑Karl Ernst Georges:torus. [1]. In:Ausführliches lateinisch-deutsches Handwörterbuch. 8., verbesserte und vermehrte Auflage.Band 2. Hahnsche Buchhandlung, Hannover 1918,Sp. 3158–3159 (Digitalisat.zeno.org). 
2. ↑Es gibt einige andere heute nicht mehr gebräuchliche historische Verwendungen des BegriffsTorus:Torus. In:Herders Conversations-Lexikon. 1. Auflage.Band 5. Herder, Freiburg im Breisgau 1857,S. 500 (Digitalisat.zeno.org). Torus. In:Heinrich August Pierer, Julius Löbe (Hrsg.):Universal-Lexikon der Gegenwart und Vergangenheit. 4. Auflage.Band 17:Stückgießerei–Türkische Regenkugel. Altenburg 1863,S. 707 (Digitalisat.zeno.org). Torus. In:Meyers Großes Konversations-Lexikon. 6. Auflage.Band 19:Sternberg–Vector. Bibliographisches Institut, Leipzig / Wien 1909,S. 631 (Digitalisat.zeno.org). Torus. In:Brockhaus’ Kleines Konversations-Lexikon. 5. Auflage.Band 2. Brockhaus, Leipzig 1911,S. 851 (Digitalisat.zeno.org). Torus. In:Encyclopædia Britannica. 11. Auflage.Band 27:Tonalite – Vesuvius. London 1911,S. 79 (englisch,Volltext [Wikisource]). 
3. ↑Ilja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjajew:Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch Verlag, 1983,ISBN 3-87144-492-8, S. 253.
4. ↑Ulrich Graf,Martin Barner:Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961,ISBN 3-494-00488-9, S. 202, 209.
5. ↑C. Leopold:Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005,ISBN 3-17-018489-X, S. 123, 129.
6. ↑John M. Lee:Introduction to Smooth Manifolds (=Graduate Texts in Mathematics 218.) Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003,ISBN 0-387-95448-1, S. 8.
7. ↑John M. Lee:Introduction to Smooth Manifolds (=Graduate Texts in Mathematics 218.) Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003,ISBN 0-387-95448-1, S. 21.
8. ↑Tammo tom Dieck:Topologie. de Gruyter, Berlin 2000,ISBN 3-11-016236-9, S. 52.
9. ↑John M. Lee:Introduction to Smooth Manifolds (=Graduate Texts in Mathematics 218.) Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003,ISBN 0-387-95448-1, S. 39.
10. ↑John M. Lee:Introduction to Smooth Manifolds (=Graduate Texts in Mathematics 218.) Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003,ISBN 0-387-95448-1, S. 289.
11. ↑V. Borrelli, S. Jabrane, F. Lazarus, B. Thibert:Flat tori in three-dimensional space and convex integration. (Memento vom 1. Juli 2012 imInternet Archive; PDF) In:Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 2012, 109, no. 19, S. 7218–7223; abgerufen am 7. Juli 2022.
12. ↑Mathématiques: première image d’un tore plat en 3D.CNRS, Pressemitteilung, 20. April 2012, abgerufen am 7. Juli 2022.
13. ↑Eric W. Weisstein:Torus Coloring. In:MathWorld (englisch).
14. ↑Chelsey Poettker:Topology and the Four Color Theorem. (PDF; 0,4 MB) Southern Illinois University Edwardsville, 4. Mai 2010; abgerufen am 7. Juli 2022.
15. ↑Eric W. Weisstein:Four-Color Theorem. In:MathWorld (englisch).
16. ↑Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Paul Seymour, Robin Thomas, Georgia Institute of Technology:The Four Color Theorem. 13. November 1995, abgerufen am 7. Juli 2022.
17. ↑Oda:Lectures on Torus Embeddings and Applications. 1978,1.1 Algebraic tori.
18. ↑Eric W. Weisstein:Horn Torus. In:MathWorld (englisch).

• Fläche (Mathematik)
• Lie-Gruppe
• Kähler-Mannigfaltigkeit

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