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Thermodynamische Temperatur

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aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Physikalische Größe

Name

Thermodynamische Temperatur
(Absolute Temperatur)

Formelzeichen

$T {\displaystyle T}$

Größen- und Einheitensystem	Einheit	Dimension
SI	K	Θ
Planck	Planck-Temperatur	ħ^1/2·c^1/2·G^−1/2·k^−1/2

Thermodynamische Temperatur ist dieTemperaturskala, die sich auf denabsoluten Nullpunkt bezieht und dort den Wert null hat. Sie wird auch alsabsolute Temperatur bezeichnet. ImInternationalen Einheitensystem (SI) wird sie in der EinheitKelvin gemessen; in den USA wird auch dieRankine-Skala verwendet.

Anders als die Alltag gebräuchlicheCelsius-Temperatur hat die thermodynamische Temperatur keinen willkürlich festgelegten, sondern einen physikalisch begründeten Nullpunkt. Die thermodynamische Temperatur ist bei einem klassischen idealen Gas proportional zu seinerinneren Energie.

Wenn in grundlegenden physikalischen Formeln die „Temperatur“ vorkommt, handelt es sich um die thermodynamische Temperatur.

Bezeichnung

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Für „thermodynamische Temperatur“ ist auch dasSynonym „absolute Temperatur“ in Gebrauch, normgerecht ist aber nur „thermodynamische Temperatur“:

DasInternationale Büro für Maß und Gewicht (BIPM), das dasInternationale Einheitensystem (SI) definiert, verwendet nur den Begriff „thermodynamische Temperatur“.^[1]
Die EU-Gesetzgebung folgt dem SI.^[2]
DieInternational Electrotechnical Commission und dieDeutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik verwenden ebenfalls den Begriff „thermodynamische Temperatur“; die Bezeichnung „absolute Temperatur“ wird abgelehnt.^[3]^[4]
Die Norm DIN EN ISO 80000-5:2020-0 „Größen und Einheiten – Teil 5: Thermodynamik“ kennt ebenfalls nur „thermodynamische Temperatur“

Thermodynamische Definition der Temperatur

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Die thermodynamische Temperatur eines physikalischen Systems im Zustand desthermischen Gleichgewichts wird mit Hilfe desWirkungsgrades einer idealenWärmekraftmaschine definiert. Die folgenden zwei Forderungen definieren die thermodynamische Temperatur.

Zunächst definiert man denQuotienten von Temperaturen wie folgt: Man betrachtet einereversibel undperiodisch arbeitende Wärmekraftmaschine, die in einerPeriode einemReservoir A eine (infinitesimal kleine)Wärmemenge $Q_{A}$ entnimmt, einen Teil davon inmechanische Arbeit $W {\displaystyle W}$ umwandelt, und den Rest $Q_{B}=Q_{A}-W$ alsAbwärme an ein Reservoir B abgibt. Die beiden Reservoirs A und B sollen sich dabei jeweils in unterschiedlichen thermischen Gleichgewichtszuständen befinden. (Dabei sind sowohl negative als auch positiveVorzeichen für $W {\displaystyle W}$ zugelassen, je nachdem, ob A kälter oder wärmer als B ist.) Das Verhältnis der Temperaturen $T_{A}$ und $T_{B}$ von A bzw. B wird dann so definiert:

{\frac {T_{A}}{T_{B}}}={\frac {Q_{A}}{Q_{B}}}

Durch die Festlegung eines weiteren Temperaturwerts wird dann die thermodynamische Temperatur vollständig definiert. DieKelvin-Skala wurde beispielsweise imSI-Einheitensystem dadurch festgelegt, dass demTripelpunkt von Wasser definitionsgemäß die thermodynamische Temperatur 273,16 K zugeordnet wurde. Seit 2019 gilt eineneue Definition über dieBoltzmann-Konstante.

Die hinter dieser Temperaturdefinition stehendeempirische Beobachtung ist, dass zwei Wärmekraftmaschinen, die im Wettbewerb um den besten Wirkungsgrad zwischen zwei gegebenen Wärmebädern jeweils konstanter Temperatur arbeiten, einen ähnlichen Wirkungsgrad aufweisen. Je mehr sich beide Parteien bemühen, Energieverluste ihrer Maschine zu minimieren, desto geringer fallen die noch möglichen Steigerungen des Wirkungsgrades aus und desto geringer die Unterschiede zwischen den Konkurrenten. Bemerkenswert daran ist, dass das auch gilt, wenn die Arbeitsweise der konkurrierenden Maschinen so verschieden sind wieDampfturbine,Stirlingmotor undPeltier-Element. Diese Definition hat also den Vorteil der Universalität. Zu jedem gegebenen Temperaturbereich kann ein physikalischer Prozess mit dort hohem Wirkungsgrad ausgewählt werden, bei tiefen Temperaturen etwa magnetische Effekte, sieheMagnetische Kühlung.

Herleitung aus dem allgemeinen Gasgesetz

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Auch aus der Zustandsgleichung

p\cdot v=R\cdot T\qquad

desidealen Gases kann auf die thermodynamische Temperatur geschlossen werden, wennDruck $p {\displaystyle p}$ undmolares Volumen $v {\displaystyle v}$ bekannt sind. $R {\displaystyle R}$ bezeichnet dieGaskonstante. Auch für reale Gase gilt, dass beim Grenzwert $p\to 0$ für das molare Volumen $v\to \infty$ gilt, so dass die Abstände zwischen den Gasteilchen beliebig groß werden und zwischen ihnen keine Wechselwirkung mehr zu berücksichtigen ist. Daher nähern sich reale Gase dem idealen Gas an, so dass die thermodynamische Temperatur auch alsGrenzwert der für reale Gase gemessenen Größen dargestellt werden kann:

T=\lim _{p\to 0}{\frac {p\cdot v}{R}}

Dies ist seit 2019 die imInternationalen Einheitensystem vereinbarte Definition der thermodynamischen Temperatur.

Logische Konsistenz der Temperaturdefinition

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Die logischeKonsistenz dieser Temperaturdefinition ist eine Folge deszweiten Hauptsatzes der Thermodynamik. Es gilt nämlich:

Zwei reversibel und periodisch arbeitende Wärmekraftmaschinen zwischen den gleichen Reservoirs A und B haben genau den gleichen Wirkungsgrad. Andernfalls könnte man nämlich die Wärmekraftmaschine mit dem geringeren Wirkungsgrad „rückwärts“ als Wärmepumpe betreiben, die Maschine mit dem höheren Wirkungsgrad jedoch vorwärts, und zwar so, dass in derBilanz dem Reservoir B gleich viel Wärme zugeführt wie entnommen wird. Dann hätte man insgesamt eine periodisch arbeitende Maschine, die nur dem Reservoir A Wärme entnimmt, daraus mechanische Arbeit gewinnt, jedoch Reservoir B unverändert lässt. Das wäre einPerpetuum mobile zweiter Art, das nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik nicht existiert.
Betrachten wir drei Reservoirs A, B und C, jedes für sich im thermischen Gleichgewicht. Obige Definition liefert dann drei Temperaturquotienten $T_{A}/T_{B}$ , $T_{B}/T_{C}$ und $T_{A}/T_{C}$ . Damit die Temperaturdefinition widerspruchsfrei ist, muss die folgende Konsistenzbedingung gelten:

{\frac {T_{A}}{T_{B}}}\cdot {\frac {T_{B}}{T_{C}}}={\frac {T_{A}}{T_{C}}}

Lassen wir nun eine erste Wärmekraftmaschine zwischen A und B und eine zweite Wärmekraftmaschine zwischen B und C operieren. Die erste Maschine entnehme dem Reservoir A eine Wärmemenge

Q_{A}

und führe dem Reservoir B die Abwärme

Q_{B}

zu. Die zweite Maschine entnehme dem Reservoir B genau die gleiche Wärmemenge

Q_{B}

und führe dem Reservoir C die Abwärme

Q_{C}

zu. In der Bilanz wird also dem Reservoir B gleich viel Wärme zugeführt wie entnommen. Das System aus beiden Maschinen kann damit als eine Wärmekraftmaschine zwischen A und C aufgefasst werden. Aus der Gleichung

{\frac {Q_{A}}{Q_{B}}}\cdot {\frac {Q_{B}}{Q_{C}}}={\frac {Q_{A}}{Q_{C}}}

folgt mit Hilfe der Definition der Temperaturquotienten die obige Konsistenzbedingung.

Statistische Definition und Entropie

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Die statistische Definition der Temperatur nach Boltzmann setzt die thermodynamische Temperatur in einen Zusammenhang mit der Entropie $S {\displaystyle S}$ , die ein logarithmisches Maß für die Anzahl der einem isolierten System zugänglichen Mikrozustände $\Omega$ (also dasPhasenraumvolumen) bei vorgegebenem Makrozustand angibt:

S=k_{\mathrm {B} }\ln(\Omega )

wobei der Proportionalitätsfaktor $k_{\mathrm {B} }$ dieBoltzmann-Konstante bezeichnet.Die thermodynamische Temperatur ist dann der Kehrwert der partiellen Ableitung der Entropie $S {\displaystyle S}$ nach der inneren Energie $U {\displaystyle U}$ :