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Teilmenge

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Diemathematischen BegriffeTeilmenge undObermenge beschreiben eine Beziehung zwischen zweiMengen. Ein anderes Wort für Teilmenge istUntermenge.

Für die mathematische Abbildung der Einbettung einer Teilmenge in ihreGrundmenge, diemathematische Funktion derTeilmengenbeziehung, wird dieInklusionsabbildung verwendet. $A {\displaystyle A}$ ist eine Teilmenge von $B {\displaystyle B}$ und $B {\displaystyle B}$ ist eine Obermenge von $A {\displaystyle A}$ , wenn jedesElement von $A {\displaystyle A}$ auch in $B {\displaystyle B}$ enthalten ist. Wenn $B {\displaystyle B}$ zudem weitere Elemente enthält, die nicht in $A {\displaystyle A}$ enthalten sind, so ist $A {\displaystyle A}$ eineechte Teilmenge von $B {\displaystyle B}$ und $B {\displaystyle B}$ ist eineechte Obermenge von $A {\displaystyle A}$ .Die Mengealler Teilmengen einer gegebenen Menge $A {\displaystyle A}$ heißt diePotenzmenge von $A {\displaystyle A}$ .

Den BegriffTeilmenge prägteGeorg Cantor – der „Erfinder“ derMengenlehre – ab 1884; das Symbol der Teilmengenrelation wurde vonErnst Schröder 1890 in seiner „Algebra derLogik“ eingeführt.^[1]

Definition

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Wenn $A {\displaystyle A}$ und $B {\displaystyle B}$ Mengen sind und jedes Element von $A {\displaystyle A}$ auch ein Element von $B {\displaystyle B}$ ist, nennt man $A {\displaystyle A}$ eine Teilmenge oder Untermenge von $B {\displaystyle B}$ :^[2]

A\subseteq B:\Longleftrightarrow \forall x\in A\colon x\in B

Umgekehrt nennt man $B {\displaystyle B}$ die Obermenge von $A {\displaystyle A}$ genau dann, wenn $A {\displaystyle A}$ Teilmenge von $B {\displaystyle B}$ ist:

B\supseteq A:\Longleftrightarrow A\subseteq B

Weiterhin gibt es den Begriff der echten Teilmenge. $A {\displaystyle A}$ ist eine echte Teilmenge von $B {\displaystyle B}$ genau dann, wenn $A {\displaystyle A}$ eine Teilmenge von $B {\displaystyle B}$ und $A {\displaystyle A}$ nicht identisch mit $B {\displaystyle B}$ ist.

A\subsetneq B:\Longleftrightarrow A\subseteq B\land A\neq B

Wieder schreibt man auch $B\supsetneq A$ , wenn $A\subsetneq B$ .

Weitere Notationen

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⊂⊊⊆
⊇⊋⊃

Einige Autoren benutzen auch die Zeichen $\subset$ und $\supset$ für Teilmenge und Obermenge anstatt $\subseteq$ und $\supseteq$ .^[3]^[4] Meistens definiert der Autor dann den Begriff „echte Teilmenge“ nicht.

Andere Autoren bevorzugen die Zeichen $\subset$ und $\supset$ fürechte Teilmenge und Obermenge also statt $\subsetneq$ und $\supsetneq$ .^[1] Dieser Gebrauch erinnert passenderweise an die Zeichen fürUngleichheit $\leq$ und $<$ . Da diese Notation meistens benutzt wird, wenn der Unterschied zwischen echter und nicht echter Teilmenge wichtig ist, werden die Zeichen $\subsetneq$ und $\supsetneq$ eher selten benutzt.

Varianten des Zeichens $\subsetneq$ sind außerdem $\varsubsetneq$ , $\subsetneqq$ und $\varsubsetneqq$ . Falls $A {\displaystyle A}$ keine Teilmenge von $B {\displaystyle B}$ ist, kann auch $A\nsubseteq B:\Longleftrightarrow \lnot \left(A\subseteq B\right)$ benutzt werden. Entsprechende Schreibweisen sind $\varsupsetneq$ für $\supsetneq$ , $\supsetneqq$ und $\varsupsetneqq$ für $\supsetneq$ , sowie $A\nsupseteq B$ (keine Obermenge).

Die entsprechendenUnicode-Symbole sind: ⊂, ⊃, ⊆, ⊇, ⊄, ⊅, ⊈, ⊉, ⊊, ⊋ (siehe:Unicode-Block Mathematische Operatoren).

Sprechweisen

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Statt „ $A {\displaystyle A}$ ist eine Teilmenge von $B {\displaystyle B}$ “ wird auch „Die Menge $A {\displaystyle A}$ ist in der Menge $B {\displaystyle B}$ enthalten“ oder „Die Menge $A {\displaystyle A}$ wird von $B {\displaystyle B}$ umfasst“ gesagt. Genauso wird statt „ $B {\displaystyle B}$ ist eine Obermenge von $A {\displaystyle A}$ “ auch „Die Menge $B {\displaystyle B}$ enthält die Menge $A {\displaystyle A}$ “ oder „Die Menge $B {\displaystyle B}$ umfasst die Menge $A {\displaystyle A}$ “ gesagt. Wenn es nicht zu Missverständnissen kommen kann, wird auch „ $B {\displaystyle B}$ enthält $A {\displaystyle A}$ “ usw. gesagt. Missverständnisse können insbesondere mit „Die Menge $B {\displaystyle B}$ enthält dasElement $A {\displaystyle A}$ “ entstehen.

Beispiele

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Die regulären Polygone bilden eine Teilmenge der Menge aller Polygone.

{1, 2} ist eine(echte) Teilmenge von {1, 2, 3}.
{1, 2, 3} ist eine(unechte) Teilmenge von {1, 2, 3}.
{1, 2, 3, 4} ist keine Teilmenge von {1, 2, 3}.
{1, 2, 3} ist keine Teilmenge von {2, 3, 4}.
{} ist eine(echte) Teilmenge von {1, 2}.
{1, 2, 3} ist eine(echte) Obermenge von {1, 2}.
{1, 2} ist eine(unechte) Obermenge von {1, 2}.
{1} ist keine Obermenge von {1, 2}.
Die Menge derPrimzahlen ist eine echte Teilmenge der Menge dernatürlichen Zahlen.
Die Menge derrationalen Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge derreellen Zahlen.

Weitere Beispiele als Mengendiagramme:

A ist eine echte Teilmenge von B
C ist zwar eine Teilmenge von B, aber keine echte Teilmenge von B

Eigenschaften

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Dieleere Menge ist Teilmenge jeder Menge:
$\varnothing \subseteq A$
Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst:
$A\subseteq A$
Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe derVereinigung:
$A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B$
Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe desDurchschnitts:
$A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B=A$
Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe derDifferenzmenge:
$A\subseteq B\Leftrightarrow A\setminus B=\varnothing$
Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe dercharakteristischen Funktion:
$A\subseteq B\Leftrightarrow \chi _{A}\leq \chi _{B}$
Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn jede eine Teilmenge der anderen ist:
$A=B\Leftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq A$
Diese Regel wird oft beim Nachweis der Gleichheit zweier Mengen verwendet, indem man die gegenseitige Inklusion (in zwei Arbeitsschritten) zeigt.
Beim Übergang zumKomplement dreht sich die Richtung der Inklusion um:
$A\subseteq B\Rightarrow A^{\rm {c}}\supseteq B^{\rm {c}}$
Bei der Bildung der Schnittmenge erhält man stets eine Teilmenge:
$A\cap B\subseteq A$
Bei der Bildung der Vereinigungsmenge erhält man stets eine Obermenge:
$A\cup B\supseteq A$

Inklusion als Ordnungsrelation

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Wenn A ⊆ B und B ⊆ C ist, dann ist auch A ⊆ C

Die Inklusion als Beziehung zwischen Mengen erfüllt die drei Eigenschaften einerpartiellen Ordnungsrelation, sie ist nämlichreflexiv,antisymmetrisch undtransitiv:

A\subseteq A

A\subseteq B\subseteq A\Rightarrow A=B

A\subseteq B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C

(Dabei ist $A\subseteq B\subseteq C$ eine Kurzschreibweise für $A\subseteq B$ und $B\subseteq C$ .)

Ist also $M {\displaystyle M}$ eine Menge von Mengen (einMengensystem), dann ist $(M,\subseteq )$ eineHalbordnung. Insbesondere gilt dies für diePotenzmenge ${\mathcal {P}}(X)$ einer gegebenen Menge $X {\displaystyle X}$ .

Inklusionsketten

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Ist $M {\displaystyle M}$ einMengensystem, so dass von je zwei der in $M {\displaystyle M}$ vorkommenden Mengen die eine die andere umfasst oder von der anderen umfasst wird, so nennt man ein solches Mengensystem eineInklusionskette. Ein Beispiel hierfür liefert das System $\{{]{-\infty ,x}[}\mid x\in \mathbb {R} \}$ derlinksseitig unbeschränkten offenen Intervalle von $\mathbb {R}$ .

Ein spezieller Fall einer Inklusionskette liegt vor, wenn eine (endliche oder unendliche)Mengenfolge gegeben ist, welche vermöge $\subseteq$ aufsteigend oder vermöge $\supseteq$ absteigend angeordnet ist. Man schreibt dann kurz:

A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \ \dots

A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \ \dots

Größe und Anzahl von Teilmengen

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Jede Teilmenge einerendlichen Menge ist endlich und für dieMächtigkeiten gilt:
$A\subseteq B\Rightarrow \left|A\right|\leq \left|B\right|$
$A\subsetneq B\Rightarrow \left|A\right|<\left|B\right|$
Jede Obermenge einerunendlichen Menge ist unendlich.
Auch bei unendlichen Mengen gilt für die Mächtigkeiten:
$A\subseteq B\Rightarrow \left|A\right|\leq \left|B\right|$
Bei unendlichen Mengen ist es aber möglich, dass eine echte Teilmenge dieselbe Mächtigkeit hat wie ihreGrundmenge. Zum Beispiel sind dienatürlichen Zahlen eine echte Teilmenge derganzen Zahlen, aber die beiden Mengen sind gleich mächtig (nämlichabzählbar unendlich).
Nach demSatz von Cantor ist diePotenzmenge einer Menge $A {\displaystyle A}$ stets mächtiger als die Menge $A {\displaystyle A}$ selbst: $|A|<{\bigl |}{\mathcal {P}}(A){\bigr |}$ .
Eine endliche Menge mit $n {\displaystyle n}$ Elementen hat genau $2^{n}$ Teilmengen.
Die Anzahl der $k {\displaystyle k}$ -elementigen Teilmengen einer $n {\displaystyle n}$ -elementigen (endlichen) Menge ist durch denBinomialkoeffizienten ${\tbinom {n}{k}}$ gegeben.

Literatur

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Oliver Deiser:Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004,ISBN 978-3-540-20401-5.
John L. Kelley:General Topology. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1975,ISBN 3-540-90125-6 (Reprint der Edition bei Van Nostrand aus dem Jahre 1955).

Weblinks

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Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Teilmenge und echte Teilmenge – Lern- und Lehrmaterialien

Wiktionary: Teilmenge – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

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↑^a^bOliver Deiser:Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004,ISBN 978-3-540-20401-5, S. 33 (Auszug (Google)).
↑Adolf Fraenkel:Einleitung in die Mengenlehre: Eine Elementare Einführung in das Reich des Unendlichgrossen. 2. Auflage. Springer, 2013,ISBN 9783662259009,S. 15.
↑Set theory. In:Encyclopedia of Mathematics.
↑Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller:Vieweg Mathematik Lexikon. Vieweg, 1988,ISBN 3-528-06308-4, S. 190.

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Kategorie:

Mengenlehre

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