In der mathematischenGruppentheorie ist dieSymmetriegruppe eines geometrischen Objektes dieGruppe, die aus derMenge allerKongruenzabbildungen besteht, die das Objekt auf sich selbst abbilden, zusammen mit derVerkettung vonAbbildungen alsGruppenverknüpfung.

Die Grafik zeigt sechs zweidimensionale symmetrische Objekte, und zwar vierhomogenereguläre Polygone und zwei weiteregeometrische Figuren, wobei jeweils alle ihre Symmetrieelemente gekennzeichnet worden sind. Die Symmetrieelemente sindEigenschaften der Figuren. Die Gesamtheit der Symmetrieelemente einer Figur bildet ihre spezielle Symmetriegruppe.

Untersucht man eine geometrische Figur auf ihre Symmetrien, so kommt man zunächst ganz ohne den mathematischen BegriffGruppe aus. Es ist vielleicht günstig, wenn sich Einsteiger in das GebietSymmetriegruppen an die Herangehensweise des Mathematikers, Physikers und PhilosophenHermann Weyl halten. Weyl, einer der Pioniere der Gruppentheorie, beginnt das Vorwort seines berühmten BuchsSymmetrie^[1] so:

Beginnend mit der etwas vagen Vorstellung von Symmetrie als Harmonie der Proportionen entwickeln diese vier Vorträge stufenweise zuerst den Begriff dergeometrischen Symmetrie in ihren verschiedenen Formen als bilaterale,^[2] translative, rotative, ornamentale und kristallographische Symmetrie und steigen schließlich zu der allgemeinen, all diesen Formen zugrunde liegenden Idee auf, nämlich der Idee der Invarianz eines Gebildes gegenüber einer Gruppe automorpher Transformationen.

Eine Figur ist rotationssymmetrisch, wenn sie vonder Figur nicht zu unterscheiden ist, die sich ergibt, wenn sie um einen zentralen Punkt um den Winkel${\displaystyle \phi }$ gedreht wird. EinKreis oder einKreisring sind rotationssymmetrisch im engeren Sinne. Eine Drehung um jeden beliebigen Winkel bildet sie auf sich selbst ab.

Rotationssymmetrisch (oder auch drehsymmetrisch^[3]) wird eine Figur auch dann genannt, wenn sie auf sich abgebildet werden kann, indem sie um einen festen Winkel${\displaystyle \phi }$ mit 0°<${\displaystyle \phi }$< 360° um den zentralen Punkt gedreht wird. Der Drehwinkel kann nur durch Division desvollen Winkels durch eine natürliche Zahl${\displaystyle n}$>1 entstehen, also${\displaystyle \phi =\frac{{360}^{\circ }}{n}}$. Diese Zahl${\displaystyle n}$ ist eine Kennzahl der Rotationssymmetrie und wird auch „Zähligkeit“ genannt.^[4] Entsprechend heißt diese Symmetrie auch${\displaystyle n}$-zählige oder${\displaystyle n}$-fache Rotationssymmetrie/Drehsymmetrie, im Englischen „${\displaystyle n}$-fold rotational symmetry“. Dabei wird dieneutrale Symmetrieoperation stets mitgezählt. Damit bezeichnet man „keine Operation“, also die „Operation“, die die Figur in ihrer Ausgangsstellung belässt. Sie unterscheidet sich nicht von der einer Drehung der Figur um${\displaystyle \phi ={360}^{\circ }}$.

Reguläre Polygone sind typische rotationssymmetrische Figuren. Die Grafik zeigt die ersten vier, wobei die jeweils größtmögliche Kennzahl${\displaystyle n}$ der Rotationssymmetrie zentral eingezeichnet worden ist. Außerdem sind zwei weitere Figuren dargestellt, und zwar eine ohne und eine mit 2-facher Rotationssymmetrie. Im Trivialfall${\displaystyle n=1}$ liegt keine Rotationssymmetrie/Drehsymmetrie vor und die Kennzahl 1 wird im mathematischen Kontext nicht verwendet, es sei denn, man möchte die trivialezyklische Gruppe${\displaystyle C_1}$ kennzeichnen, die nur aus deridentischen Abbildung besteht.

Eine Figur ist dann spiegelsymmetrisch, wenn sie an einer der Spiegelsymmetrieachsen gespiegelt wird und wenn sie von ihrem Abbild, das so entsteht, nicht zu unterscheiden ist. Alle abgebildeten Figuren sind spiegelsymmetrisch. Sie besitzen 3, 4, 5, 6, 1 bzw. 2 Spiegelsymmetrieachsen. Homogene reguläre Polygone besitzen so viele Spiegelsymmetrieachsen, wie sie Rotationssymmetrieelemente besitzen (wenn man dieneutrale Symmetrieoperation zu den Rotationssymmetrieelementen zählt). Der Umkehrschluss gilt nicht: Eine Figur mit n-facher Rotationssymmetrie braucht nicht unbedingt Spiegelsymmetrieachsen zu besitzen. Auch gilt: Besitzt eine Figur eine Spiegelsymmetrieachse, muss sie nicht unbedingt auch rotationssymmetrisch sein, wie die Figur in der linken unteren Ecke der Grafik zeigt.

Zur Symmetriegruppe der jeweiligen Figur kommt man, indem man die Symmetrien der jeweiligen Figur, des jeweiligen Objekts systematisiert.

Die nachfolgenden Begriffe beschreiben mögliche Eigenschaften eines Objekts, anhand derer festgestellt werden kann, welcher Symmetriegruppe das Objekt angehört.

Eine Symmetriegruppe weist dann einediskrete Topologie auf, wenn es so etwas wie „kleinste Schritte“ gibt. Beispielsweise ist eine Gruppe von Drehungen um einen Punkt genau dann diskret, wenn alle möglichen Drehwinkel Vielfache eines kleinsten Winkels sind. Sind hingegen auch beliebig kleine Drehwinkel in der Gruppe enthalten, so ist diese Gruppe nicht diskret. Allgemein hat jede Gruppe mit endlich vielen Elementen eine diskrete Topologie. Eine diskrete Gruppe lässt sich aus endlich vielen Symmetrieoperationen durchKompositionerzeugen. Der Umkehrschluss gilt jeweils nicht.

Praktisch gesehen ist eine Symmetriegruppe genau dann diskret, wenn es eineuntere Schranke gibt, sowohl für dieLängen aller (von Null verschiedenen) Verschiebungen als auch für dieDrehwinkel aller Drehsymmetrien.

Man betrachtet die Menge aller in der Gruppe enthaltenen (von Null verschiedenen) Verschiebungen (Translationen) und bestimmt, wie viele dieser Vektorenlinear unabhängig voneinander sind, man bestimmt also dieDimension derlinearen Hülle dieser Verschiebungsvektoren.

Enthält die Gruppe überhaupt keine Verschiebungen, so gibt es mindestens einen Punkt, derFixpunkt aller Abbildungen ist. Man spricht in diesem Fall von einerPunktgruppe. Punktgruppen sind genau dann endlich, wenn sie diskret sind.

Sobald die Gruppe mindestens eine Verschiebung enthält, enthält sie zumindest ineuklidischer Geometrie automatisch unendlich viele Elemente.

Entspricht die Zahl der linear unabhängigen Verschiebungsvektoren der Dimension des Raumes, in den das Objekt eingebettet ist, so gibt es einenbeschränkten Teil des Objekts (eineZelle), derenBilder den gesamten Raum ausfüllen. Ist die Gruppe zusätzlich auch noch diskret, so spricht man von einerRaumgruppe und nennt das Musterperiodisch. In diesem Fall gibt es einen beschränktenFundamentalbereich von gleicher Dimension wie der Raum, also beispielsweise in der Ebene eine entsprechende von Null verschiedeneFläche.

Die Symmetriegruppen in der euklidischen Ebene lassen sich wie folgt klassifizieren:

• Diskret
  • Ohne Verschiebungen
    • OhneAchsenspiegelungen

      Familie der endlichenzyklischen Gruppen${\displaystyle C_n}$ (für${\displaystyle n=1,2,\dots }$), das sind alle Drehungen um einen Punkt um Vielfache von${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{n}}$

      ${\displaystyle C_1}$: Symmetriegruppe eines komplett unsymmetrischen Objektes, mit derIdentität als einzigem Element

      ${\displaystyle C_2}$: Symmetriegruppe einerPunktspiegelung

      ${\displaystyle C_3}$: Symmetriegruppe einerTriskele

      ${\displaystyle C_4}$: Symmetriegruppe einerSwastika

    • Mit Achsenspiegelungen

      Familie derDiedergruppen${\displaystyle D_n}$ (für${\displaystyle n=1,2,\dots }$), das sind Drehungen wie${\displaystyle C_n}$ zusammen mit${\displaystyle n}$ Spiegelachsen durch den Mittelpunkt

      ${\displaystyle D_1}$: Einzelne Achsenspiegelung

      ${\displaystyle D_2}$: Symmetriegruppe eines nicht quadratischenRechtecks, einer nicht quadratischenRaute (D2 istisomorph zurKleinschen Vierergruppe)

      ${\displaystyle D_n}$: Symmetriegruppe einesregelmäßigenn-Ecks

  • Mit Verschiebungen, die allekollinear sind (Span der Translationen hat Rang 1)

    7Friesgruppen

  • Mit mindestens zweilinear unabhängigen Verschiebungen

    17ebene kristallographische Gruppen

• Nicht diskret
  • Ohne Verschiebungen

    Orthogonale Gruppe${\displaystyle O(2)}$, das sind alle Symmetrien eines Kreises, also alle Drehungen und alle Spiegelungen an Achsen, die durch den Mittelpunkt gehen

  • Mit Verschiebungen

    Dieser Fall muss noch weiter aufgeschlüsselt werden.

• DreidimensionalePunktgruppen werden in einem eigenen Artikel ausführlich klassifiziert.
• Der Artikel überRaumgruppen geht auch auf verschiedene Dimensionen ein.

• Willard Miller, Jr.:Symmetry Groups and Their Applications. Academic Press, New York, London 1972,ISBN 0-12-497460-0 (x, 432,archive.org – In diesem einführenden Lehrbuch werden diejenigen Aspekte der Gruppentheorie behandelt, die in den Naturwissenschaften nützlich sind, ohne dass dabei auf mathematische Strenge verzichtet wird). 
• M. S. Dresselhaus:Group Theory – Application to the Physics of Condensated Matter. Springer Verlag, Heidelberg 2008,ISBN 978-3-540-32897-1.
• Michael Tinkham:Group Theory and Quantum Mechanics. Dover Pubn Inc – 1. Januar 2004,ISBN 0-486-43247-5.

1. ↑Hermann Weyl:Symmetrie: Ergänzt durch den Text „Symmetry and Congruence'“ aus dem Nachlass und mit Kommentaren von Domenico Giulini, Erhard Scholz und Klaus Volkert. Übersetzerin Lulu Hofmann Bechtolsheim. 3. Auflage. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2017,ISBN 978-3-662-52711-5 (VII, 232,eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 23. Juli 2019]).  Reprint des Originals von 1952 in Hermann Weyl:Symmetry. Princeton University Press, Princeton, NJ 2015 (176 S.,eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 23. Juli 2019]). 
2. ↑Weyl nennt dieSpiegelsymmetrie auchbilaterale Symmetrie (s.Bilateralität), also einezweiseitige Symmetrie, weil eine Spiegelsymmetrieebene eine Figur in zwei gleiche oder ein Tier in zwei äußerlich gleich aussehende spiegelbildliche Hälften teilt. Im Tierreich ist Bilateralität die typische Symmetrieform desKörpers. Rund 95 Prozent dervielzelligen Tierarten gehören zu denBilateria, den „Zweiseitentieren“.
3. ↑Drehsymmetrie. Abgerufen am 26. April 2023. 
4. ↑Symmetrie. Abgerufen am 20. Juni 2019. 

• Symmetrie (Geometrie)
• Symmetrische Gruppe aller Permutationen mit${\displaystyle n}$ Elementen
• Kristallographie
• Symmetrie (Physik)

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