In derMathematik ist dieSupremumseigenschaft eine grundlegende Eigenschaft derreellen Zahlen, genauer ihrerAnordnung, und bestimmter anderergeordneter Mengen. Die Eigenschaft besagt, dass jede nichtleere und nach obenbeschränkteMenge reeller Zahlen eine kleinste obere Schranke, einSupremum, besitzt.

Die Supremumseigenschaft ist eine Form desVollständigkeitsaxioms für die reellen Zahlen und wird manchmal alsDedekind-Vollständigkeit bezeichnet. Sie kann verwendet werden, um viele grundlegende Resultate derreellen Analysis zu zeigen, etwa denZwischenwertsatz, denSatz von Bolzano-Weierstraß, denExtremwertsatz oder denSatz von Heine-Borel. Für die synthetische Konstruktion der reellen Zahlen wird sie üblicherweise als Axiom vorausgesetzt. Mit der Konstruktion der reellen Zahlen mittels desDedekindschen Schnittes ist sie ebenso eng verbunden.

In derOrdnungstheorie kann die Supremumseigenschaft zu einemVollständigkeitsbegriff für jedepartiell geordnete Menge verallgemeinert werden. Einedichte,total geordnete Menge, welche die Supremumseigenschaft erfüllt, nennt manlineares Kontinuum.

Sei${\displaystyle S}$ eine nichtleere Menge reeller Zahlen.

• Eine reelle Zahl${\displaystyle x}$ heißtobere Schranke für${\displaystyle S}$, wenn${\displaystyle x\ge s}$ für alle${\displaystyle s\in S}$.
• Eine reelle Zahl${\displaystyle x}$ ist diekleinste obere Schranke (oder dasSupremum) für${\displaystyle S}$, wenn${\displaystyle x}$ eine obere Schranke für${\displaystyle S}$ ist und${\displaystyle x\le y}$ für jede obere Schranke${\displaystyle y}$ von${\displaystyle S}$.

DieSupremumseigenschaft besagt, dass jede nichtleere Menge reeller Zahlen, die nach oben beschränkt ist, eine kleinste obere Schranke besitzen muss.

Man kann für jedeTeilmenge einer partiell geordneten Menge${\displaystyle X}$ eine obere Schranke und eine kleinste obere Schranke definieren, wenn man „reelle Zahl“ gegen „Element von${\displaystyle X}$“ ersetzt. In diesem Fall sagt man,${\displaystyle X}$ habe die Supremumseigenschaft, wenn jede nach oben beschränkte nichtleere Teilmenge von${\displaystyle X}$ eine kleinste obere Schranke hat.

Beispielsweise erfüllt die Menge${\displaystyle \mathbb{Q}}$ derrationalen Zahlen die Supremumseigenschaft nicht, wenn man die übliche Ordnung der rationalen Zahlen voraussetzt. So hat die Menge

eine obere Schranke in${\displaystyle \mathbb{Q}}$, jedoch keine kleinste obere Schranke in${\displaystyle \mathbb{Q}}$, denn die Quadratwurzel von zwei istirrational. Die Konstruktion der reellen Zahlen mittels des Dedekindschen Schnittes nutzt diese Tatsache, indem die irrationalen Zahlen als die Suprema bestimmter Teilmengen der rationalen Zahlen definiert werden.

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