DieSummennorm,Betragssummennorm oder1-Norm ist in derMathematik eineVektornorm. Sie ist definiert als die Summe derBeträge der Vektorkomponenten und ist eine speziellep-Norm für die Wahl von${\displaystyle p=1}$. DieEinheitssphäre der reellen Summennorm ist einKreuzpolytop mit minimalem Volumen über allep-Normen. Daher ergibt die Summennorm für einen gegebenen Vektor den größten Wert allerp-Normen. Die von der Summennorm abgeleitete Metrik ist dieManhattan-Metrik.

Ist${\displaystyle x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)}$ einn-dimensionalerVektor mitreellen oderkomplexen Einträgen${\displaystyle x_i}$ für${\displaystyle i=1,\dots ,n}$, dann ist die Summennorm${\displaystyle \Vert \cdot {\Vert }_1}$ des Vektors definiert als

${\displaystyle \Vert x{\Vert }_1:=\sum _{i=1}^n|x_i|}$.

Die Summennorm entspricht damit der Summe derBeträge der Komponenten des Vektors und wird daher auch etwas genauer Betragssummennorm genannt.^[1] Sie ist eine speziellep-Norm für die Wahl von${\displaystyle p=1}$ und heißt deswegen auch 1-Norm.

Reeller Vektor

Die Summennorm des reellen Vektors${\displaystyle x=(3,-2,6)\in {\mathbb{R}}^3}$ ist gegeben als

${\displaystyle \Vert x{\Vert }_1=|3|+|-2|+|6|=11}$.

Komplexer Vektor

Die Summennorm des komplexen Vektors${\displaystyle x=(3-4i,-2i)\in {\mathbb{C}}^2}$ ist gegeben als

${\displaystyle \Vert x{\Vert }_1=|3-4i|+|-2i|=5+2=7}$.

Die Summennorm erfüllt wie allep-Normen die dreiNormaxiome, die hier besonders leicht zu zeigen sind. DieDefinitheit folgt aus der Eindeutigkeit der Nullstelle derBetragsfunktion durch

${\displaystyle \Vert x{\Vert }_1=0\iff \sum _{i=1}^n|x_i|=0\Rightarrow x=(0,\dots ,0)=0}$,

dieabsolute Homogenität folgt aus der Homogenität derBetragsnorm über

${\displaystyle \Vert \alpha \cdot x{\Vert }_1=\sum _{i=1}^n|\alpha \cdot x_i|=\sum _{i=1}^n|\alpha |\cdot |x_i|=|\alpha |\cdot \sum _{i=1}^n|x_i|=|\alpha |\cdot \Vert x{\Vert }_1}$

und die Subadditivität folgt direkt aus derDreiecksungleichung für reelle oder komplexe Zahlen

${\displaystyle \Vert x+y{\Vert }_1=\sum _{i=1}^n|x_i+y_i|\le \sum _{i=1}^n|x_i|+|y_i|=\sum _{i=1}^n|x_i|+\sum _{i=1}^n|y_i|=\Vert x{\Vert }_1+\Vert y{\Vert }_1}$.

DieEinheitssphäre der reellen Summennorm, also die Menge

${\displaystyle \{x\in {\mathbb{R}}^n:\Vert x{\Vert }_1=1\}}$

hat in zwei Dimensionen die Form einesQuadrats, in drei Dimensionen die Form einesOktaeders und in allgemeinen Dimensionen die Form einesKreuzpolytops. DasVolumen der Einheitskugel der Summennorm ist dabei minimal über allep-Normen; es beträgt${\displaystyle \frac{2^n}{n!}}$.

Die Summennorm ist von allenp-Normen die größte, das heißt für einen gegebenen Vektor${\displaystyle x}$ und gilt

${\displaystyle \Vert x{\Vert }_1\ge \Vert x{\Vert }_p}$,

wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn der Vektor derNullvektor oder ein Vielfaches einesEinheitsvektors ist. Umgekehrt kann die Summennorm aufgrund derÄquivalenz von Normen in endlichdimensionalen Vektorräumen nach oben gegen jedep-Norm durch

${\displaystyle \Vert x{\Vert }_1\le n^{1-\frac{1}{p}}\cdot \Vert x{\Vert }_p}$

abgeschätzt werden, wobei Gleichheit für einen konstanten Vektor gilt. Die Äquivalenzkonstante bezüglich derMaximumsnorm${\displaystyle (p=\mathrm{\infty })}$ ist dabei gleich${\displaystyle n}$, was maximal zwischen allenp-Normen ist.

Die Summennorm ist im Gegensatz zureuklidischen Norm (2-Norm) nicht von einem Skalarproduktinduziert. Die von der Summennorm abgeleiteteMetrik ist dieManhattan-Metrik oder Taxi-Metrik

${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^n|x_i-y_i|}$.

Im reellen zweidimensionalen Raum misst sie den Abstand zweier Punkte wie die Fahrtstrecke auf einem gitterförmigen Stadtplan, auf dem man sich nur in senkrechten und waagerechten Abschnitten bewegen kann. Die von der Summennorminduzierte Matrixnorm ist dieSpaltensummennorm.

Die Summennorm wird häufig als Betrag einesMultiindex${\displaystyle \alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)}$ mit nichtnegativen Einträgen verwendet. Beispielsweise kann einepartielle Ableitung einerFunktion mehrerer Veränderlicher${\displaystyle f(x_1,\dots ,x_n)}$ als

${\displaystyle f^{(\alpha )}=\frac{{\mathrm{\partial }}^{|\alpha |}f}{\mathrm{\partial }{x}_1^{{\alpha }_1}\dots \mathrm{\partial }{x}_n^{{\alpha }_n}}=\frac{{\mathrm{\partial }}^{{\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_n}f}{\mathrm{\partial }{x}_1^{{\alpha }_1}\dots \mathrm{\partial }{x}_n^{{\alpha }_n}}}$

geschrieben werden, wobei dann${\displaystyle |\alpha |=\Vert \alpha {\Vert }_1}$ die Ordnung der Ableitung ist.

Die Summennorm kann auch auf unendlichdimensionale Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen verallgemeinert werden und hat dann eigene Namen.

Dieℓ¹-Norm ist die Verallgemeinerung der Summennorm auf denFolgenraum${\displaystyle {\ell }^1}$ der betragsweise summierbarenFolgen${\displaystyle (a_n{)}_n\in {\mathbb{K}}^{\mathbb{N}}}$. Hierbei wird lediglich die endliche Summe durch eine unendliche ersetzt und dieℓ¹-Norm ist dann gegeben als

${\displaystyle \Vert (a_n){\Vert }_{{\ell }^1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|}$.

Weiter kann die Summennorm auf denFunktionenraum${\displaystyle L^1(\mathrm{\Omega })}$ der auf einerMenge${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ betragsweise integrierbarenFunktionen verallgemeinert werden, was in zwei Schritten geschieht. Zunächst wird die${\displaystyle {\mathcal{L}}^1}$-Norm einer betragsweiseLebesgue-integrierbaren Funktion${\displaystyle f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{K}}$ als

${\displaystyle \Vert f{\Vert }_{{\mathcal{L}}^1(\mathrm{\Omega })}={\int }_{\mathrm{\Omega }}|f(x)|dx}$,

definiert, wobei im Vergleich zurℓ¹-Norm lediglich die Summe durch ein Integral ersetzt wurde. Dies ist zunächst nur eineHalbnorm, da nicht nur dieNullfunktion, sondern auch alle Funktionen, die sich nur an einer Menge mit Lebesgue-Maß Null von der Nullfunktion unterscheiden, zu Null integriert werden. Daher betrachtet man die Menge derÄquivalenzklassen von Funktionen${\displaystyle [f]\in L^1(\mathrm{\Omega })}$, die fast überall gleich sind, und erhält auf diesemL¹-Raum dieL¹-Norm durch

${\displaystyle \Vert [f]{\Vert }_{L^1(\mathrm{\Omega })}=\Vert f{\Vert }_{{\mathcal{L}}^1(\mathrm{\Omega })}}$.

• Hans Wilhelm Alt:Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2008,ISBN 3-540-34186-2. 
• Rolf Walter:Einführung in die Analysis 2. de Gruyter, 2007,ISBN 978-3-11-019540-8. 

• Eric W. Weisstein:L^1-Norm. In:MathWorld (englisch).

1. ↑Rolf Walter:Einführung in die Analysis 2.S. 37. 

• Lineare Algebra
• Norm (Mathematik)