EinSpannungstensor ist einTensor zweiter Stufe, der denSpannungszustand in einem bestimmten Punkt innerhalb der Materie beschreibt. Er ist eine wesentliche Größe derKontinuumsmechanik, in der er bei der Formulierungphysikalischer Gesetze auftritt. EineKraft wird überStoffschluss von Körpern durch ein sie ausfüllendes Spannungstensorfeldübertragen, das denKraftfluss im Körper darstellt. DieLeistung des Spannungstensors anVerzerrungsgeschwindigkeiten trägt zurEnergiebilanz bei.

Der Spannungstensor fasst die Normalspannungen inNormalenrichtung, sowietangential wirkende (transversale)Scherspannungen zu einem mathematischen Objekt zusammen. Die Komponenten des Spannungstensors haben dieDimension M L⁻¹ T ⁻² alsoKraft proFläche, für die in derFestkörpermechanik die EinheitenMegapascal (MPa) undNewton proQuadratmillimeter (N/mm²) üblich sind. Eingeführt wurde der Spannungstensor vonAugustin-Louis Cauchy.

Verwendet wird dieser Tensor vor allem in der Physik (Festkörperphysik,Strömungsmechanik undklassische Mechanik, teilweiseGeophysik) und in derElektrodynamik.

Spannungstensoren können in zwei Gruppen eingeteilt werden:

1. Spannungstensoren, die in derImpulsbilanz eingesetzt werden und
2. Spannungstensoren, die in der Materialtheorie eingesetzt werden.

Der Cauchy’sche Spannungstensor${\displaystyle \mathit{\sigma }}$ gehört beiden Gruppen an und ist das am meisten benutzte Spannungsmaß. Er wird oftmals ohne Namenszusatz einfach nur Spannungstensor genannt. Die Spannungstensoren können alle jederzeit und überall ineinander umgerechnet werden, weswegen alle Spannungstensoren physikalisch gleich relevant sind. Sie sind in verschiedenen Kontexten lediglich mehr oder weniger praktisch in der Anwendung. Die Formelzeichen für die Spannungstensoren sind in der Literatur nicht einheitlich.Beikleinen Verzerrungen braucht nicht zwischen diesen Spannungstensoren unterschieden zu werden.Die Spannungstensoren sindobjektive, bezugssysteminvariante Tensoren, d. h. zwei verschiedene Beobachter nehmen die Spannungstensoren immer in gleicher Weise wahr.

In einer gedachten Schnittfläche durch die Materie übt die in Gedanken weggeschnittene Materie demSchnittprinzip folgend auf die verbliebene Materie eine Spannung aus, die sich als Cauchy’scherSpannungsvektor (auchTraktionsvektor genannt)${\displaystyle {\overrightarrow{T}}^{(\hat{n})}={\sigma }_{nn}\hat{n}+{\tau }_{n{t}_1}{\hat{e}}_{t_1}+{\tau }_{n{t}_2}{\hat{e}}_{t_2}}$ aus einer Normalspannungskomponente${\displaystyle {\sigma }_{nn}}$ (rechtwinklig zur Schnittfläche wirkend) und zwei Schubspannungskomponenten${\displaystyle {\tau }_{n{t}_{1,2}}}$ (in der Schnittfläche wirkend) zusammensetzt, die von der Ausrichtung der Fläche abhängen, siehe Bilder.

Am jeweiligen Ort schneiden sich drei solche gedachten Schnittflächen mit den Basiseinheitsvektoren des Koordinatensystems${\displaystyle {\hat{e}}_{1,2,3}}$ als Normalen, siehe den freigeschnittenen Würfel im Bild. Die drei Spannungsvektoren in den drei Schnittflächen definieren den dortigenSpannungszustand vollständig und werden zeilenweise zum Spannungstensor zusammengefasst:

${\displaystyle {\overrightarrow{T}}^{({\hat{e}}_i)}=\sum _{j=1}^3\left({\sigma }_{ij}{\hat{e}}_j\right)\leftrightarrow \mathit{\sigma }=\sum _{i=1}^3\left({\hat{e}}_i\otimes {\overrightarrow{T}}^{({\hat{e}}_i)}\right)=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3\left({\sigma }_{ij}{\hat{e}}_i\otimes {\hat{e}}_j\right).}$

Dabei bezeichnet${\displaystyle \otimes }$ dasdyadische Produkt (Tensorprodukt zweier Vektoren). Die Wahl des Koordinatensystems ist dabei ohne Belang, denn als Tensor ist der Spannungstensor koordinatenunabhängig. Mit dem so definierten Spannungstensor berechnet man den Spannungsvektor an einer infinitesimalen Schnittfläche mit dem Normalenvektor${\displaystyle \hat{n}}$ gemäß:

${\displaystyle {\overrightarrow{T}}^{(\hat{n})}={\mathit{\sigma }}^{\mathrm{\top }}\cdot \hat{n}.}$

DieTransposition „( · )^T“ ist der Bedeutung der Indizes der Komponenten geschuldet. Zu Ehren seines Urhebers wird dieser Tensor auch Cauchy’scher Spannungstensor genannt, der sich aus den „wahren“ oder „aktuellen“ Spannungen zusammensetzt. Er ist auf Grund deszweiten Cauchy-Euler’schen Bewegungsgesetzes (Drehimpulsbilanz)symmetrisch und wird in derEuler’schen Betrachtungsweise benutzt.

Bei der Umrechnung der Spannungsvektoren von der räumlichen Euler’schen in die materielleLagrange’sche Darstellung muss die Änderung derOberflächenelemente${\displaystyle \hat{n}\mathrm{d}a=det({\mathbf{F}\mathbf{)}\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }-1}\cdot \hat{N}\mathrm{d}A}$ berücksichtigt werden. Darin istF derDeformationsgradient,F^T−1 dieInverse seinerTransponierten und det(F) seineDeterminante. Die Normaleneinheitsvektoren${\displaystyle \hat{n}}$ und${\displaystyle \hat{N}}$ sind genauso wie die Differentiale da und dA in der räumlichen bzw. der materiellen Darstellung definiert. Damit lautet ein „Oberflächenkraftelement“:

Darin istN der Nennspannungstensor (englischnominal stress), der die Spannungen bezogen auf die Ausgangsfläche repräsentiert, undP ist der erste Piola-Kirchhoff’sche Spannungstensor. Diese beiden Tensoren sind im Allgemeinen unsymmetrisch, aber die ProdukteF · N undP · F^T müssen symmetrisch sein, siehe#Drehimpulsbilanz oder zweites Cauchy-Euler’sches Bewegungsgesetz.

Beim Spannungstensor handelt es sich um einTensorfeld, das an jedem materiellen oder räumlichen Punkt innerhalb eines Körpers definiert ist. Erstere materielle Sichtweise entspricht derLagrange’schen Darstellung und letztere räumliche derEuler’schen Darstellung. Beide Betrachtungsweisen definieren mehrere Spannungstensoren:

• Den räumlichen Cauchy’schen Spannungstensor${\displaystyle \mathit{\sigma },}$
• Den räumlichen gewichteten Cauchy’schen oder Kirchhoff’schen Spannungstensor${\displaystyle \mathbf{S}=J\mathit{\sigma }}$, der in der Metall-Plastizität angewendet wird, wo die plastische InkompressibilitätJ konstant gehalten wird,
• Den materiellen zweitenPiola-Kirchhoff’schen Spannungstensor${\displaystyle \tilde{\mathbf{T}}={\mathbf{F}}^{-1}\cdot {\mathbf{S}\cdot \mathbf{F}}^{\mathrm{\top }-1}}$, der beispielsweise bei derCauchy-Elastizität angewendet wird,
• Den materiellen konvektiven Spannungstensor^[1]${\displaystyle \tilde{\mathbf{t}}={\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }}\cdot \mathbf{S}\cdot \mathbf{F}.}$
• Viskoser Spannungstensor in fließenden Medien

Darin istF derDeformationsgradient,F⁻¹ seineInverse,F^T−1 die Inverse der Transponierten undJ = det(F) seineDeterminante. Diese Spannungstensoren sind auf Grund der Drehimpulsbilanz symmetrisch. Die Benutzung dieser Tensoren wird im Abschnitt#Energiebilanz vorgestellt.

Die Tabelle fasst die Umrechnung der Tensoren zusammen.

	${\displaystyle \mathit{\sigma }}$	${\displaystyle \mathbf{S}}$	${\displaystyle \tilde{\mathbf{T}}}$	${\displaystyle \mathbf{P}}$	${\displaystyle \mathbf{N}}$	${\displaystyle \tilde{\mathbf{t}}}$
${\displaystyle \mathit{\sigma }=}$	${\displaystyle \mathit{\sigma }}$	${\displaystyle \frac{1}{J}\mathbf{S}}$	${\displaystyle \frac{1}{J}\mathbf{F}\cdot \tilde{\mathbf{T}}\cdot {\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }}}$	${\displaystyle \frac{1}{J}{\mathbf{P}\cdot \mathbf{F}}^{\mathrm{\top }}}$	${\displaystyle \frac{1}{J}\mathbf{F}\cdot \mathbf{N}}$	${\displaystyle \frac{1}{J}{\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }-1}\cdot \tilde{\mathbf{t}}\cdot {\mathbf{F}}^{-1}}$
${\displaystyle \mathbf{S}=}$	${\displaystyle J\mathit{\sigma }}$	${\displaystyle \mathbf{S}}$	${\displaystyle \mathbf{F}\cdot \tilde{\mathbf{T}}\cdot {\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }}}$	${\displaystyle {\mathbf{P}\cdot \mathbf{F}}^{\mathrm{\top }}}$	${\displaystyle \mathbf{F}\cdot \mathbf{N}}$	${\displaystyle {\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }-1}\cdot \tilde{\mathbf{t}}\cdot {\mathbf{F}}^{-1}}$
${\displaystyle \tilde{\mathbf{T}}=}$	${\displaystyle J{\mathbf{F}}^{-1}\cdot \mathit{\sigma }\cdot {\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }-1}}$	${\displaystyle {\mathbf{F}}^{-1}\cdot {\mathbf{S}\cdot \mathbf{F}}^{\mathrm{\top }-1}}$	${\displaystyle \tilde{\mathbf{T}}}$	${\displaystyle {\mathbf{F}}^{-1}\cdot \mathbf{P}}$	${\displaystyle {\mathbf{N}\cdot \mathbf{F}}^{\mathrm{\top }-1}}$	${\displaystyle {\mathbf{C}}^{-1}\cdot \tilde{\mathbf{t}}\cdot {\mathbf{C}}^{-1}}$
${\displaystyle \mathbf{P}=}$	${\displaystyle J\mathit{\sigma }\cdot {\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }-1}}$	${\displaystyle {\mathbf{S}\cdot \mathbf{F}}^{\mathrm{\top }-1}}$	${\displaystyle \mathbf{F}\cdot \tilde{\mathbf{T}}}$	${\displaystyle \mathbf{P}}$	${\displaystyle {\mathbf{N}}^{\mathrm{\top }}}$	${\displaystyle {\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }-1}\cdot \tilde{\mathbf{t}}\cdot {\mathbf{C}}^{-1}}$
${\displaystyle \mathbf{N}=}$	${\displaystyle J{\mathbf{F}}^{-1}\cdot \mathit{\sigma }}$	${\displaystyle {\mathbf{F}}^{-1}\cdot \mathbf{S}}$	${\displaystyle \tilde{\mathbf{T}}\cdot {\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }}}$	${\displaystyle {\mathbf{P}}^{\mathrm{\top }}}$	${\displaystyle \mathbf{N}}$	${\displaystyle {\mathbf{C}}^{-1}\cdot \tilde{\mathbf{t}}\cdot {\mathbf{F}}^{-1}}$
${\displaystyle \tilde{\mathbf{t}}=}$	${\displaystyle J{\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }}\cdot \mathit{\sigma }\cdot \mathbf{F}}$	${\displaystyle {\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }}\cdot \mathbf{S}\cdot \mathbf{F}}$	${\displaystyle \mathbf{C}\cdot \tilde{\mathbf{T}}\cdot \mathbf{C}}$	${\displaystyle {\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }}\cdot \mathbf{P}\cdot \mathbf{C}}$	${\displaystyle \mathbf{C}\cdot \mathbf{N}\cdot \mathbf{F}}$	${\displaystyle \tilde{\mathbf{t}}}$

Darin istF derDeformationsgradient,F⁻¹ seineInverse,F^T−1 seine transponiert Inverse,J = det(F) seineDeterminante undC =F^T ·F derrechte-Cauchy-Green-Tensor.

In Matrizenschreibweise wird ein Spannungstensor in folgenden, üblichen Formen angegeben:

Manchmal, wie in der linken Matrizenschreibweise, wird der Index der Normalspannungskomponente nur einfach notiert (wie inσ_x =σ_xx), denn bei ihr ist Normalen- und Wirkrichtung gleich. Es muss jedoch gewährleistet sein, dass eine Verwechselung mit den Hauptspannungen (σ_1,2,3 oderσ_I,II,III) ausgeschlossen ist.

Diesymmetrischen Spannungstensoren, insbesondere der Cauchy’sche Spannungstensor, bestehen nicht aus neun unabhängigen Größen, sondern nur aus sechs und können in derVoigt’schen Notation als ein 6×1-Vektor geschrieben werden, wodurch die Notation deutlich vereinfacht wird:

${\displaystyle \overrightarrow{\sigma }=\left(\begin{array}{c}{\sigma }_x\\ {\sigma }_y\\ {\sigma }_z\\ {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{xy}\end{array}\right)}$

Für Matrizen wie für Spannungstensoren sind Eigenwerteσ_i und Eigenvektoren${\displaystyle {\hat{v}}_i}$ bedeutsam, die dasEigenwertproblem

${\displaystyle \mathit{\sigma }\cdot {\hat{v}}_i={\sigma }_i{\hat{v}}_i}$

lösen. Die Eigenwerte sind bezugssysteminvariant, aber es gibt noch weitere Invarianten (die aus den drei Eigenwerten ableitbar sind), die für die Beurteilung des Spannungszustands geeignet sind.

Bei den symmetrischen Spannungstensoren sind die Eigenwerte sämtlich reell und die Eigenvektoren paarweise senkrecht oder orthogonalisierbar.

Die Eigenwerte werden Hauptspannungen und die (auf die Länge eins normierten und deshalb mit Hut geschriebenen) Eigenvektoren Hauptspannungsrichtungen genannt, sieheHauptspannung und Hauptspannungsrichtung. In den Hauptspannungsrichtungen gibt es nur Normalspannungen und keine Schubspannungen.

Die Eigenwerte ergeben sich aus dercharakteristischen Gleichung

${\displaystyle \det (\mathit{\sigma }-{\sigma }_i\mathbf{1})=-{\sigma }_i^3+{\mathrm{I}}_1(\mathit{\sigma }){\sigma }_i^2-{\mathrm{I}}_2(\mathit{\sigma }){\sigma }_i+{\mathrm{I}}_3(\mathit{\sigma })=0,}$

worin die Koeffizienten für dieHauptinvarianten

stehen und die Komponenten${\displaystyle {\sigma }_{ij}}$ die Spannungskomponenten im kartesischen xyz-System sind. Der Operator „Sp“ bildet dieSpur, „det“ dieDeterminante und1 ist derEinheitstensor.

DieHauptspannungsrichtungen${\displaystyle {\hat{v}}_i}$ sind paarweise senkrecht zueinander oder orthogonalisierbar und bilden somit eineOrthonormalbasis. In diesem Basissystem besitzt der SpannungstensorDiagonalgestalt:

Die Beträge der Schnittspannungsvektoren

${\displaystyle |{\overrightarrow{T}}^{(\hat{n})}|=\sqrt{({\mathit{\sigma }}^{\mathrm{\top }}\cdot \hat{n})\cdot ({\mathit{\sigma }}^{\mathrm{\top }}\cdot \hat{n})}=\sqrt{\hat{n}\cdot \mathit{\sigma }\cdot {\mathit{\sigma }}^{\mathrm{\top }}\cdot \hat{n}}}$

nehmen in zwei der drei Hauptspannungsrichtungen${\displaystyle \hat{n}={\hat{v}}_i}$ Extremwerte an.

Üblicherweise sind die Hauptspannungenσ_{I, II, III} so benannt, dassσ_I ≥σ_II ≥σ_III gilt. Dann liegt in der I-Richtung der betraglich größte und in III-Richtung der betraglich kleinste Schnittspannungsvektor.

Die maximalen Schubspannungen treten in einer Ebene e auf, die senkrecht zu einer Hauptspannungsrichtung ist. DerMohr’sche Spannungskreis zeigt, dass die maximale Schubspannung im 45°-Winkel zu den Hauptspannungsrichtungen in der Ebene e vorkommt und betraglich gleich der halben Differenz der entsprechenden Hauptspannungen ist. Damit resultiert für die maximale Schubspannung:

${\displaystyle {\sigma }_I\ge {\sigma }_{II}\ge {\sigma }_{III}\to {\tau }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{{\sigma }_I-{\sigma }_{III}}{2}.}$

Fallsσ_I =σ_III ist, befindet sich der materielle Punkt unter hydrostatischem Zug/Druck und inkeiner Ebene finden sich Schubspannungen.

Ist die 1-3-Ebene diexy-Ebene und in ihr ein ebener Spannungszustand (σ_x,σ_y,τ_xy) gegeben, dann lautet die maximale Schubspannung

${\displaystyle {\tau }_{max}=\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}.}$

Wenn der Spannungstensor bei einemWechsel des Basissystems wie in

${\displaystyle \mathit{\sigma }=\sum _{i,j=1}^3{\sigma }^{ij}{\hat{e}}_i\otimes {\hat{e}}_j=\sum _{i,j=1}^3{\sigma }^{\ast ij}{\hat{e}}_i^{\ast }\otimes {\hat{e}}_j^{\ast }}$

bezüglich eines anderen Basissystems${\displaystyle {\hat{e}}_{1,2,3}^{\ast }}$ ausgedrückt wird,dann ändern sich seine Komponenten von${\displaystyle {\sigma }^{ij}}$ nach${\displaystyle {\sigma }^{\ast ij}}$ in charakteristischer Weise, so wie sich auch die Komponenten eines geometrischen Vektors beim Wechsel des Basissystems ändern. Der Betrag des Vektors ändert sich dabei aber nicht und genauso gibt es beim Spannungstensor sogenannteInvarianten, die sich bei einem Basiswechsel nicht ändern. Solche invarianten oder objektiven Größen sind in der Materialtheorie von Interesse, denn jedwedes Material verhält sich bezugssysteminvariant. Invariant sind:

1. die Hauptinvarianten${\displaystyle {\mathrm{I}}_1(\mathit{\sigma })=\mathrm{Sp}(\mathit{\sigma }),{\mathrm{I}}_2(\mathit{\sigma }),{\mathrm{I}}_3(\mathit{\sigma })=\det (\mathit{\sigma }),}$
2. die Hauptspannungen${\displaystyle {\sigma }_I,{\sigma }_{II},{\sigma }_{III},}$
3. dieSpuren der Potenzen${\displaystyle {\mathrm{I}}_1(\mathit{\sigma }),{\mathrm{I}}_1({\mathit{\sigma }}^2),{\mathrm{I}}_1({\mathit{\sigma }}^3),\dots }$
4. der Betrag${\displaystyle \parallel \mathit{\sigma }\parallel :=\sqrt{\mathit{\sigma }:\mathit{\sigma }}=\sqrt{{\sigma }_{xx}^2+{\sigma }_{yy}^2+{\sigma }_{zz}^2+2{\sigma }_{xy}^2+2{\sigma }_{yz}^2+2{\sigma }_{xz}^2}=\sqrt{{\sigma }_I^2+{\sigma }_{II}^2+{\sigma }_{III}^2},}$
5. die Invarianten
   
   des Spannungsdeviators und
6. die Haigh–Westergaard-Koordinaten^[2]${\displaystyle \xi :=\frac{{\mathrm{I}}_1(\mathit{\sigma })}{\sqrt{3}},\rho =\sqrt{{\mathit{\sigma }}^{\mathrm{D}}:{\mathit{\sigma }}^{\mathrm{D}}},\cos (3\vartheta )=\sqrt{\frac{27}{4}}\frac{J_3}{\sqrt{J_2^3}}}$

siehe AbschnittEigensystem. Darin sind${\displaystyle {\mathit{\sigma }}^{\mathrm{D}}:=\mathit{\sigma }-\frac{1}{3}\mathrm{Sp}(\mathit{\sigma })\mathbf{1}}$ derSpannungsdeviator,${\displaystyle {\sigma }_m:=\frac{1}{3}\mathrm{Sp}(\mathit{\sigma })}$ die mittlere Normalspannung und${\displaystyle \vartheta }$ derLodewinkel. Der Doppelpunkt „:“ bildet dasFrobenius-Skalarprodukt zweier TensorenA undB mittels derSpurA :B := Sp(A^T ·B). Von diesen Invarianten sind aber nur drei voneinander unabhängig und aus denen können dann alle anderen abgeleitet werden. Insbesondere gilt nach demSatz von Vieta:

${\displaystyle \begin{array}{l}{\mathrm{I}}_1(\mathit{\sigma })={\sigma }_I+{\sigma }_{II}+{\sigma }_{III}\\ {\mathrm{I}}_2(\mathit{\sigma })={\sigma }_I{\sigma }_{II}+{\sigma }_{II}{\sigma }_{III}+{\sigma }_{III}{\sigma }_I\\ {\mathrm{I}}_3(\mathit{\sigma })={\sigma }_I{\sigma }_{II}{\sigma }_{III}.\end{array}}$

Dievon Mises Vergleichsspannung

ist eine Funktion der zweiten Hauptinvariante des Spannungsdeviators, weswegen sie auf hydrostatische Spannungen (gleich große Normalspannungen in allen drei Raumrichtungen) nicht reagiert.

Der Cauchy’sche Spannungstensor beinhaltet die „wahren“ oder „aktuellen“ Spannungen im deformierten Körper (in der Momentankonfiguration). Diese Spannungen stehen mit dem Druck im Körper, der auf ihn wirkenden Kraft und seinen Verformungen im Zusammenhang.

Der Maxwell’sche Spannungstensor aus der Elektrodynamik ist eineUntermatrix desEnergie-Impuls-Tensors.

DerDruck in einem Material ist der negative Mittelwert der Normalspannungen

${\displaystyle p:=-\frac{1}{3}({\sigma }_x+{\sigma }_y+{\sigma }_z)=-\frac{1}{3}\mathrm{Sp}(\mathit{\sigma })}$

und weil die Spur eine Invariante ist, ist der Druck bezugssysteminvariant. Für die mittlere Normalspannung sind noch die Formelzeichenσ_m undσ^H gebräuchlich. DerKugelanteil des Spannungstensors wird Drucktensor genannt:^[3]

${\displaystyle {\mathit{\sigma }}^P:=-p\mathbf{1}\to \mathrm{Sp}({\mathit{\sigma }}^P)=\mathrm{Sp}(\mathit{\sigma })}$

Für die Divergenz des Drucktensors gilt nach derProduktregel:

${\displaystyle \mathrm{div}({\mathit{\sigma }}^P)=-\mathrm{grad}(p)\cdot \mathbf{1}-p\mathrm{div}(\mathbf{1})=-\mathrm{grad}p}$

Darin bildet grad denGradienten.

Insbesondere bei Flüssigkeiten und Gasen ist der Druck und der Drucktensor bedeutsam.

Bei Flüssigkeiten liegt oftmals (in guter Näherung)Inkompressibilität vor. Hier ist der Druck eine „Zwangsspannung“, die als Reaktion der Flüssigkeit auf Kompressionsversuche die Inkompressibilität aufrechterhält. Mathematisch ist der Druck hier einLagrange’scher Multiplikator für die Nebenbedingung „Inkompressibilität.“ Inkompressibilität kommt auch in Festkörpern vor, wo der Druck dann dieselbe Rolle spielt wie in inkompressiblen Fluiden. Bei Festkörpern kann auch negativer Druck auftreten.

In der Realität und der Kontinuumsmechanik werden Kräfte, die auf einenKörper wirken, immer flächig eingeleitet, d. h. auf einen Teila_σ der Oberflächea mitNormalenvektor${\displaystyle \hat{n}}$ wirken Spannungsvektoren${\displaystyle {\overrightarrow{T}}^{(\hat{n})}}$ auf den Körper:

${\displaystyle \overrightarrow{F}={\int }_{a_{\sigma }}{\overrightarrow{T}}^{(\hat{n})}\mathrm{d}a={\int }_{a_{\sigma }}{\mathit{\sigma }}^{\mathrm{\top }}\cdot \hat{n}\mathrm{d}a}$

Mit der Vereinbarung, dass auf dem Rest der OberflächeNullspannungsvektoren wirken (${\displaystyle {\mathit{\sigma }}^{\mathrm{\top }}\cdot \hat{n}=\overrightarrow{0}}$ aufa \ a_σ), und wenn die Oberfläche hinreichend glatt ist, kann diese Beziehung mit demDivergenzsatz umgeformt werden:

${\displaystyle \overrightarrow{F}={\int }_a{\mathit{\sigma }}^{\mathrm{\top }}\cdot \hat{n}\mathrm{d}a={\int }_v\mathrm{div}(\mathit{\sigma })\mathrm{d}v}$

Darin istv das Volumen des Körpers und div derDivergenzoperator.

Eine von außen einwirkende Kraft induziert im Körper ein Spannungstensorfeld, das den ganzen Körper ausfüllt.

Diese Tatsache hat mit den Eigenschaften des Körpers zunächst nichts zu tun: Das Tensorfeld existiert inStarrkörpern, Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen, sofern sie alsKontinuum modelliert sind. Nach obiger Gleichung kann die Divergenz des Spannungstensors als „spezifische Kraft“ (Kraft pro Volumen) angesehen werden, um zu unterstreichen, dass der Spannungstensor am materiellen Punkt ein eingeprägter Einfluss ist.

Die Kraft wird den Körper deformieren und/oder in Bewegung versetzen, was auf die Spannungen aber auch auf die Kraft selbst zurückwirkt, siehe auch den Abschnitt#Berechnung der Spannungen unten.

Ein mit Kräftenbelasteter und mit Spannungenbeanspruchter Körper wird in Bewegung versetzt und/oder verformt, siehe#Berechnung der Spannungen unten. Beides hängt von den Materialeigenschaften ab, ersteres vorrangig von derDichte. Bezüglich der Materialeigenschaften sind zwei Materialgruppen voneinander zu unterscheiden: DieFlüssigkeiten undGase, die zusammen alsFluide bezeichnet werden, und dieFestkörper.

Fluide zeichnen sich unter anderem dadurch aus, dass sie isotrop sind und immechanischen Gleichgewicht keine Schubspannungen übertragen können. Im Gleichgewicht ist der Spannungstensor also ein Drucktensor, siehe oben. Festkörper vermögen im Gleichgewicht sowohl Schubspannungen als auch unixialem und biaxialemZug/Druck standzuhalten. Bei Festkörpern kann der Spannungstensor demnach im Gleichgewicht voll besetzt sein.

In der Modellvorstellung der Kontinuumsmechanik erzeugen Materialien bei Verformung eine Reaktionsspannung, die der Deformation entgegenwirkt. Die von außen eingeleitete Spannung infolge einer Belastung wird vom Materialübertragen und muss jederzeit und überall im Gleichgewicht mit der vom Material entgegengebrachten Reaktionsspannung sein. DieMaterialtheorie beschäftigt sich mit dem Zusammenhang zwischen dem Spannungstensor und der Verformung, die mit dem Green-Lagrange’schenVerzerrungstensorE bemessen wird. Das allgemeinste Materialmodell eineseinfachen Materials, dasper definitionem deterministisch, lokal und objektiv ist, lautet:^[4]

${\displaystyle \tilde{\mathbf{T}}(\mathcal{P},t)={\mathfrak{S}}_{\tau \le t}(\mathbf{E}(\mathcal{P},\tau ),\mathcal{P}).}$

Darin ist${\displaystyle \mathfrak{S}}$ ein tensorwertigesFunktional,t die Zeit,τ ein Zeitparameter und${\displaystyle \mathcal{P}}$ ein materieller Punkt. Die explizite Abhängigkeit des Funktionals vom materiellen Punkt liegt an möglicherweise örtlich wie zeitlich variierenden Materialeigenschaften. Der Indexτ ≤t symbolisiert, dass die gesamte vergangene Geschichte des materiellen Punkts und die in ihm stattgefundenen Verzerrungen in den Wert des Funktionals eingehen kann, so wie es beispielsweise bei derWarmumformung einesMetalls der Fall ist.

Dieser Abschnitt handelt vom Einsatz des Spannungstensors in physikalischen Gesetzen und der Technik.

Eine Kraft, die auf einen realen Körper wirkt und wie oben gezeigt mit dem Spannungstensor ausgedrückt werden kann, wird den Körper nach dem Gesetz „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ in Bewegung versetzen. Dieses Gesetz wird auch Impulsbilanz genannt.

Wenn aus einem Körper ein (infinitesimal) kleiner Teilkörper freigeschnitten wird und dessenOberfläche gegen null gehen gelassen wird, folgt aus der Impulsbilanz, dass der Zusammenhang zwischen dem Normalenvektor an eine Schnittfläche und dem Schnittspannungsvektor linear sein muss, da der Spannungszustand homogen ist, wenn die betrachtete Fläche gegen Null geht, da Spannungszustände üblicherweisestetig sind. Das ist die Aussage desCauchy’schen Fundamentaltheorems, mit dem Augustin-Louis Cauchy den Spannungstensor alslinearen Operator zwischen den Normalenvektoren und den Schnittspannungsvektoren einführte.

Das Volumen eines (infinitesimal) kleinen Körpers geht schneller gegen null als seine Oberfläche, weswegen Masseneffekte bei obiger Betrachtung vernachlässigt werden konnten. Geht nun dasVolumen des Teilkörpers gegen null, dann folgt daserste Cauchy-Euler’sche Bewegungsgesetz.

Wird ein (infinitesimal) kleiner Tetraeder mit KantenlängeL aus einem belasteten Körper herausgeschnitten, dann übt die in Gedanken weggeschnittene Materie auf jeder Schnittfläche Spannungen aus, die über ihre Angriffsfläche nach dem Gesetz „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ den Tetraeder beschleunigen. Weil die Masse eines kleiner werdenden Tetraeders mitL³ gegen null geht, seine Oberfläche aber nur mitL², können beiL → 0 Masseneffekte vernachlässigt werden und müssen die flächenverteilten Kräfte imGleichgewicht sein. Das ist genau dann der Fall, wenn der Zusammenhang zwischen den Normalenvektoren und den Schnittspannungsvektoren linear ist:

${\displaystyle {\overrightarrow{T}}^{(\overrightarrow{a}+b\overrightarrow{c})}={\overrightarrow{T}}^{(\overrightarrow{a})}+b{\overrightarrow{T}}^{(\overrightarrow{c})}\iff {\overrightarrow{T}}^{(\hat{n})}={\mathit{\sigma }}^{\mathrm{\top }}\cdot \hat{n}=\hat{n}\cdot \mathit{\sigma }\iff T_j^{(\hat{n})}=\sum _{i=1}^3{\sigma }_{ij}{n}_i.}$

Darin ist

• ${\displaystyle {\overrightarrow{T}}^{(\overrightarrow{v})}}$ der Schnittspannungsvektor an einer Fläche mit Normalenvektor${\displaystyle \overrightarrow{v}}$,
• ${\displaystyle b}$ ein Faktor,${\displaystyle \overrightarrow{a},\overrightarrow{c}}$ Normalenvektoren und${\displaystyle \hat{n}}$ ein Normaleneinheitsvektor,
• ${\displaystyle \mathit{\sigma }}$ der Spannungstensor,${\displaystyle {\mathit{\sigma }}^{\mathrm{\top }}}$ seineTransponierte,
• ${\displaystyle {\sigma }_{ij}}$ sind die Komponenten des Spannungstensors,${\displaystyle T_j}$ die des Spannungsvektors und${\displaystyle n_i}$ die des Normaleneinheitsvektors bezüglich eineskartesischen Koordinatensystems und
• „·“ ist dasSkalarprodukt von Vektoren.

Das ist die Aussage des Cauchy’schen Fundamentaltheorems. Die Benutzung einesTensors stellt sicher, dass obige Zusammenhänge koordinatenunabhängig sind.

In der räumlichen Darstellung betrifft besagtes den Cauchy'schen Spannungstensor und in der materiellen Darstellung den Nennspannungstensor.

Betrachtet wird ein freigeschnittenerQuader in einem Körper, der einerSchwerebeschleunigung${\displaystyle \overrightarrow{k}}$ unterliegt, siehe Bild. Die Schnittspannungen an Schnittebenen mit Normalen in positiver Koordinatenrichtung sind am positiven Schnittufer und die Schnittspannungen an Schnittebenen mit Normalen in negativer Koordinatenrichtung sind am negativen Schnittufer und wirken in entgegengesetzter Richtung zu ersteren. Zwischen positivem und negativem Schnittufer liegt eine (infinitesimal) kleine Distanz über die sich die Schnittspannungen ändern können. Bei einem (infinitesimal) kleinen Quader können die Schnittspannungen als über die Flächen des Quaders, die Dichte, die Beschleunigung und die Schwerebeschleunigung als über das Volumen konstant angenommen werden. Bilanzierung der Kräfte am Quader mit Kantenlängen dx₁, dx₂ und dx₃ in 1-, 2- bzw. 3-Richtung liefert nach dem Gesetz „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ in i-Richtung

füri=1,2,3. Darin ist${\displaystyle {\ddot{x}}_i}$ die Beschleunigung und${\displaystyle k_i}$ die Schwerebeschleunigung in i-Richtung und ρ ist die Dichte des Quaders. Division durch das Volumen dx₁ dx₂ dx₃ führt im Grenzgang dx_1,2,3 → 0 auf

Dies ist die i-te Komponente der Vektorgleichung

${\displaystyle \rho \ddot{\overrightarrow{x}}=\mathrm{div}(\mathit{\sigma })+\rho \overrightarrow{k}.}$

in einem kartesischen Koordinatensystem wie im Bild. Diese Vektorgleichung ist daserste Cauchy-Euler’sche Bewegungsgesetz, das die lokale Form derImpulsbilanz ist, die, wenn sie in jedem Punkt einesKörpers erfüllt ist, sicherstellt, dass die Bewegung des Körpers als Ganzes – inklusive Verformungen – der Impulsbilanz gehorcht.

Die Herleitung hier basiert auf kleinen Verschiebungen. Die Effekte großer Verschiebungen sind im Hauptartikel nachzuschlagen.

Daszweite Cauchy-Euler’sche Bewegungsgesetz ist die Anwendung desDrallsatzes auf einKontinuum. Von außen angreifendeDrehmomente ändern den Drehimpuls des Körpers. Der Anteil, der die Bahndrehimpulse seiner Partikel betrifft, entfällt auf Grund der Impulsbilanz. Übrig bleibt ein wirkungsloser Momentenbeitrag, der von Schubspannungen zwischen den Partikeln verrichtet wird, und damit dieser Beitrag verschwindet, muss der Cauchy'sche Spannungstensor in der räumlichen und der zweite Piola-Kirchhoff’sche Spannungstensor in der materiellen Betrachtungsweise symmetrisch sein:

${\displaystyle \mathit{\sigma }={\mathit{\sigma }}^{\mathrm{\top }}\text{bzw.}\mathbf{F}\cdot \mathbf{N}=(\mathbf{F}\cdot \mathbf{N}{)}^{\mathrm{\top }}={\mathbf{N}}^{\mathrm{\top }}\cdot {\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }}\text{oder}\tilde{\mathbf{T}}={\tilde{\mathbf{T}}}^{\mathrm{\top }}.}$

Das ist daszweite Cauchy-Euler’sche Bewegungsgesetz in räumlicher und materieller Formulierung, das die lokale Form derDrehimpulsbilanz ist, die, wenn sie zusammen mit dem ersten Cauchy-Euler’schen Bewegungsgesetz in jedem Punkt einesKörpers erfüllt ist, sicherstellt, dass die Bewegung des Körpers als Ganzes – inklusive Verformungen – der Drehimpulsbilanz gehorcht.

Die Spannungstensoren, die in der Materialtheorie benutzt werden, kommen in den physikalischen Gesetzen in Kombination mit Verzerrungsmaßen vor, wie beispielsweise imPrinzip von d’Alembert oder in derEnergiebilanz. Letztere soll beispielgebend behandelt werden.

Damit die zur Energiebilanz beitragende spezifische Spannungsleistung bezugssysteminvariant ist, werden in der räumlichen Formulierung dieobjektiven Zeitableitungen

benötigt, die mit demGeschwindigkeitsgradientl =Ḟ ·F⁻¹ gebildet werden. DerÜberpunkt bezeichnet genauso wie${\displaystyle \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}}$ unten diematerielle Zeitableitung. Mit den Verzerrungstensoren^[5]

berechnen sich die objektiven Verzerrungsgeschwindigkeiten

${\displaystyle \mathbf{d}:=\frac{1}{2}({\mathbf{l}\mathbf{+}\mathbf{l}}^{\mathrm{\top }})={\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }-1}\cdot \dot{\mathbf{E}}\cdot {\mathbf{F}}^{-1}=\stackrel{\mathrm{\Delta }}{\mathbf{e}}=\mathbf{F}\cdot \dot{\mathbf{A}}\cdot {\mathbf{F}}^{\mathrm{\top }}=\stackrel{\mathrm{\nabla }}{\mathbf{a}}}$

und die spezifische Spannungsleistung

Darin ist ρ₀ = ρ det(F) die Dichte des Materials, ρ die Dichte im verformten Körper und der Doppelpunkt „:“ bildet dasFrobenius-Skalarprodukt zweier TensorenA undB mittelsA :B := Sp(A^T ·B). Physikalisch relevant sind auch die inkrementelle Spannungsleistung

und die „Ergänzungsleistung“

In den Klammern stehen dieArbeitsausdrücke