EinSobolev-Raum, auchSobolew-Raum (nachSergei Lwowitsch Sobolew, bei einerTransliteration und in englischerTranskription Sobolev), ist in derMathematik einFunktionenraum vonschwach differenzierbaren Funktionen, der zugleich einBanachraum ist. Das Konzept wurde durch die systematische Theorie derVariationsrechnung zu Anfang des20. Jahrhunderts wesentlich vorangetrieben. Diese minimiertFunktionale über Funktionen. Heute bilden Sobolev-Räume die Grundlage der Lösungstheoriepartieller Differentialgleichungen.

Sei${\displaystyle \mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n}$offen undnichtleer. Sei${\displaystyle 1\le p\le \mathrm{\infty }}$ und${\displaystyle k\in \mathbb{N}}$.

Dann ist der Sobolev-Raum${\displaystyle W^{k,p}(\mathrm{\Omega })}$ definiert als:

${\displaystyle W^{k,p}(\mathrm{\Omega })=\left\{u\in L^p(\mathrm{\Omega }):\mathrm{\forall }\alpha \in {\mathbb{N}}^n\text{mit}|\alpha |\le k\text{existieren}{D}^{\alpha }u\in L^p(\mathrm{\Omega })\right\}}$

Dabei bezeichnet${\displaystyle D^{\alpha }u}$ dieschwachen Ableitungen von${\displaystyle u}$.

Mit anderen Worten ist der Sobolev-Raum der Raum derjenigen reellwertigen Funktionen${\displaystyle u\in L^p(\mathrm{\Omega })}$, deren gemischte partielleschwache Ableitungen bis zur Ordnung${\displaystyle k}$ imLebesgue-Raum${\displaystyle L^p(\mathrm{\Omega })}$ liegen.

Für${\displaystyle W^{k,p}(\mathrm{\Omega })}$ ist ebenfalls die Schreibweise${\displaystyle W_p^k(\mathrm{\Omega })}$ üblich.

Für Funktionen${\displaystyle u\in W^{k,p}(\mathrm{\Omega })}$ definiert man die${\displaystyle W^{k,p}(\mathrm{\Omega })}$-Norm durch

Dabei ist${\displaystyle \alpha }$ einMultiindex${\displaystyle \alpha =({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)}$ mit${\displaystyle {\alpha }_i\in {\mathbb{N}}_0}$ und${\displaystyle D^{\alpha }u:=\left(\frac{{\mathrm{\partial }}^{{\alpha }_1}}{\mathrm{\partial }{x}_1^{{\alpha }_1}}\cdots \frac{{\mathrm{\partial }}^{{\alpha }_n}}{\mathrm{\partial }{x}_n^{{\alpha }_n}}\right)u}$. Weiterhin ist${\displaystyle |\alpha |=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i}$.

Die hier angegebene Sobolev-Norm ist alsNormäquivalent zur Summe der${\displaystyle L^p}$-Normen aller möglicher Kombinationen partieller Ableitungen bis zur${\displaystyle k}$-ten Ordnung. Der Sobolev-Raum${\displaystyle W^{k,p}(\mathrm{\Omega })}$ ist bezüglich der jeweiligen Sobolev-Normvollständig, also ein Banachraum.

Betrachten wir nun den Raum der${\displaystyle C^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}$-Funktionen, derenpartielle Ableitungen bis zum Grad${\displaystyle k}$ in${\displaystyle L^p(\mathrm{\Omega })}$ liegen, und bezeichnen diesen Funktionenraum mit${\displaystyle C^{k,p}(\mathrm{\Omega })}$. Da verschiedene${\displaystyle C^{k,p}}$-Funktionen nie zueinander${\displaystyle L^p}$-äquivalent (siehe auchL^p-Raum) sind, kann man${\displaystyle C^{k,p}(\mathrm{\Omega })}$ in${\displaystyle L^p(\mathrm{\Omega })}$ einbetten, und es gilt folgende Inklusion

${\displaystyle C^{k,p}(\mathrm{\Omega })\subset W^{k,p}(\mathrm{\Omega })\subset L^p(\mathrm{\Omega }).}$

Der Raum${\displaystyle C^{k,p}(\mathrm{\Omega })}$ ist bzgl. der${\displaystyle W^{k,p}}$-Norm nicht vollständig. Vielmehr ist dessenVervollständigung gerade${\displaystyle W^{k,p}(\mathrm{\Omega })}$. Die partiellen Ableitungen bis zur Ordnungk können alsstetige Operatoren auf diesen Sobolev-Raum eindeutigstetig fortgesetzt werden. Diese Fortsetzungen sind gerade dieschwachen Ableitungen.

Somit erhält man eine alternative Definition von Sobolevräumen. Nach demSatz von Meyers-Serrin ist sie äquivalent zur obigen Definition.

Wie bereits erwähnt, ist${\displaystyle W^{k,p}(\mathrm{\Omega })}$ mit der Norm${\displaystyle \Vert \cdot {\Vert }_{W^{k,p}(\mathrm{\Omega })}}$ ein vollständigerVektorraum, somit also einBanachraum. Für ist er sogarreflexiv.

Für${\displaystyle p=2}$ wird die Norm durch dasSkalarprodukt

${\displaystyle (u,v{)}_{W^{k,2}(\mathrm{\Omega })}:=\sum _{|\alpha |\le k}(D^{\alpha }u,D^{\alpha }v{)}_{L^2(\mathrm{\Omega })}}$

induziert.${\displaystyle W^{k,2}(\mathrm{\Omega })}$ ist daher einHilbertraum, und man schreibt auch${\displaystyle H^k(\mathrm{\Omega }):=W^{k,2}(\mathrm{\Omega })}$.

Die schwache Ableitung beziehungsweise die Sobolev-Räume wurden zum Lösen partieller Differentialgleichungen entwickelt. Jedoch gibt es beim Lösen vonRandwertproblemen noch eine Schwierigkeit. Die schwach differenzierbaren Funktionen sind ebenso wie die${\displaystyle L^p}$-Funktionen aufNullmengen nicht definiert. Der Ausdruck${\displaystyle f{|}_{\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }}=g}$ für${\displaystyle f\in W^{q,p}(\mathrm{\Omega })}$ und${\displaystyle g\in C(\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega })}$ ergibt also erst einmal keinen Sinn. Für dieses Problem wurde dieRestriktionsabbildung${\displaystyle f\mapsto f{|}_{\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }}}$ zum Spuroperator verallgemeinert.

Sei${\displaystyle \mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n}$ ein beschränktesGebiet mit${\displaystyle C^m}$-Rand,${\displaystyle m\in \mathbb{N}}$. Dann existiert ein beschränkter, linearer Operator

${\displaystyle T:W^{m,p}(\mathrm{\Omega })\to W^{m-1,q}(\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }),}$

sodass

${\displaystyle Tu=u{|}_{\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }}}$ falls${\displaystyle u\in C^m(\overline{\mathrm{\Omega }})}$

und

${\displaystyle \Vert Tu{\Vert }_{W^{m-1,q}(\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega })}\le C\Vert u{\Vert }_{W^{m,p}(\mathrm{\Omega })}}$ für alle${\displaystyle u\in W^{m,p}(\mathrm{\Omega })}$

gilt. Dabei ist

${\displaystyle q=(n-1)p/(n-p)}$ wenn

wenn${\displaystyle p=n}$

${\displaystyle q=\mathrm{\infty }}$ wenn${\displaystyle p>n}$

Die Konstante${\displaystyle C}$ hängt nur von${\displaystyle p}$,${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$,${\displaystyle m}$ und${\displaystyle q}$ ab. Der Operator${\displaystyle T}$ heißtSpuroperator.^[1]Eine ähnliche Aussage lässt sich auch fürLipschitz-Gebiete beweisen:

Sei${\displaystyle \mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n}$ ein beschränktes Lipschitz-Gebiet, also mit${\displaystyle C^{0,1}}$-Rand. Dann existiert ein beschränkter linearer Operator

${\displaystyle T:W^{1,p}(\mathrm{\Omega })\to L^q(\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }),}$

sodass

${\displaystyle Tu=u{|}_{\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }}}$ falls${\displaystyle u\in C^{\mathrm{\infty }}(\overline{\mathrm{\Omega }})}$

und

${\displaystyle \Vert Tu{\Vert }_{L^q(\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega })}\le C\Vert u{\Vert }_{W^{1,p}(\mathrm{\Omega })}}$ für alle${\displaystyle u\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega })}$

gilt. Dabei ist

${\displaystyle q=(n-1)p/(n-p)}$ wenn,

wenn${\displaystyle p=n}$,

${\displaystyle q=\mathrm{\infty }}$ wenn${\displaystyle p>n}$.

Die Konstante${\displaystyle C}$ hängt ausschließlich von${\displaystyle p}$,${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ und${\displaystyle q}$ ab.^[2]

Mit${\displaystyle W_0^{k,p}(\mathrm{\Omega })}$ bezeichnet man den Abschluss desTestfunktionenraums${\displaystyle C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}$ in${\displaystyle W^{k,p}(\mathrm{\Omega })}$. Das bedeutet${\displaystyle u\in W_0^{k,p}(\mathrm{\Omega })}$ gilt genau dann, wenn es eine Folge${\displaystyle (u_m{)}_{m\in \mathbb{N}}\subset C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}$ gibt mit${\displaystyle u_m\to u}$ in${\displaystyle W^{k,p}(\mathrm{\Omega }).}$

Für${\displaystyle k=1}$ kann man beweisen, dass diese Menge genau die Sobolev-Funktionen mit Nullrandbedingungen sind. Hat also${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ einenLipschitz-Rand,^[3] dann gilt${\displaystyle u\in W_0^{1,p}(\mathrm{\Omega })}$ genau dann, wenn${\displaystyle u{|}_{\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }}=0}$ im Sinne von Spuren gilt.

Jedem Sobolev-Raum${\displaystyle W^{k,p}(\mathrm{\Omega })}$ mit${\displaystyle \mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n}$ ordnet man eine Zahl zu, die wichtig im Zusammenhang mit Einbettungssätzen ist. Man setzt

${\displaystyle \gamma :=k-\frac{n}{p}}$

und nennt diese Zahl${\displaystyle \gamma }$ die Sobolev-Zahl.

Es gibt mehrere miteinander in Beziehung stehende Aussagen, die man mit Einbettungssatz von Sobolev, sobolevscher Einbettungssatz oder mit Lemma von Sobolev bezeichnet.Sei${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ eine offene und beschränkte Teilmenge von${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$,,${\displaystyle k\in {\mathbb{N}}_0}$ und${\displaystyle \gamma }$ die Sobolev-Zahl zu${\displaystyle W^{k,p}(\mathrm{\Omega })}$. Für${\displaystyle \gamma >m}$ existiert einestetige Einbettung

${\displaystyle W^{k,p}(\mathrm{\Omega })\hookrightarrow C^m(\mathrm{\Omega })\subset C(\mathrm{\Omega }),}$

wobei${\displaystyle C^m(\mathrm{\Omega })}$ beziehungsweise${\displaystyle C(\mathrm{\Omega })}$ mit derSupremumsnorm ausgestattet sind. Mit anderen Worten hat jede Äquivalenzklasse${\displaystyle f\in W^{k,p}(\mathrm{\Omega })}$ einen Vertreter in${\displaystyle C^m(\mathrm{\Omega })}$. Gilt hingegen${\displaystyle \gamma \le 0}$, so kann man${\displaystyle W^{k,p}(\mathrm{\Omega })}$ zumindest stetig in den Raum${\displaystyle L^q(\mathrm{\Omega })}$ für alle einbetten, wobei${\displaystyle \frac{np}{0}:=\mathrm{\infty }}$ gesetzt wird.

Aus dem sobolevschen Einbettungssatz lässt sich folgern, dass es für${\displaystyle (k-m)p\le n}$ eine stetige Einbettung

${\displaystyle W^{k,p}(\mathrm{\Omega })\hookrightarrow W^{m,q}(\mathrm{\Omega })}$

für alle${\displaystyle 1\le q\le \frac{np}{n-(k-m)p}}$ gibt.

Sei${\displaystyle \mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n}$ offen und beschränkt und. Dann ist die Einbettung

${\displaystyle \mathrm{Id}:W_0^{k,p}(\mathrm{\Omega })\hookrightarrow W_0^{k-1,p}(\mathrm{\Omega })}$

einlinearer kompakter Operator. Dabei bezeichnet${\displaystyle \mathrm{Id}}$ dieidentische Abbildung.

Sei${\displaystyle d⩾1}$ fortan eine fest vorgegebene Raumdimension, dann ist dieEinbettung

${\displaystyle W^{1,p}({\mathbb{R}}^d)\subseteq L^q({\mathbb{R}}^d)}$		(1)

stetig, sofern die Bedingungen

${\displaystyle 1⩽p⩽q⩽\mathrm{\infty },\frac{d}{p}-1⩽\frac{d}{q},\text{und}(p,q)\notin \left\{\left(d,\mathrm{\infty }\right),\left(1,\frac{d}{d-1}\right)\right\}}$

erfüllt sind, d. h., es gibt eine Konstante${\displaystyle C=C(d,p,q)>0}$, so dass die folgende Abschätzung gilt

${\displaystyle {\Vert u\Vert }_{L^q({\mathbb{R}}^d)}⩽C{\Vert u\Vert }_{W^{1,p}({\mathbb{R}}^d)}\mathrm{\forall }u\in W^{1,p}({\mathbb{R}}^d).}$		(2)

Dieses Resultat folgt aus derHardy-Littlewood-Sobolev-Ungleichung für gebrochene Integrationen. Hierbei sind dieEndpunktfälle${\displaystyle (p,q)\in \left\{\left(d,\mathrm{\infty }\right),\left(1,\frac{d}{d-1}\right)\right\}}$ gesondert zu untersuchen.

Im ersten Endpunktfall${\displaystyle (p,q)=\left(1,\frac{d}{d-1}\right)}$ ist dieEinbettung

${\displaystyle W^{1,1}({\mathbb{R}}^d)\subseteq L^{\frac{d}{d-1}}({\mathbb{R}}^d)}$		(3)

ebenfalls stetig, wobei wir${\displaystyle \frac{1}{0}:=\mathrm{\infty }}$ im Fall${\displaystyle d=1}$ setzen. Daher gibt es erneut eine Konstante${\displaystyle C=C(d)>0}$, so dass die folgende Abschätzung gilt

${\displaystyle {\Vert u\Vert }_{L^{\frac{d}{d-1}}({\mathbb{R}}^d)}⩽C{\Vert u\Vert }_{W^{1,1}({\mathbb{R}}^d)}\mathrm{\forall }u\in W^{1,1}({\mathbb{R}}^d).}$		(4)

Dieses Resultat folgt aus derLoomis-Whitney-Ungleichung, die aufGagliardo undNirenberg zurückgeht.

Im zweiten Endpunktfall${\displaystyle (p,q)=(d,\mathrm{\infty })}$ ist dieEinbettung

${\displaystyle W^{1,d}({\mathbb{R}}^d)\subseteq L^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^d)}$		(5)

nur für${\displaystyle d=1}$ erfüllt und stetig. Dies folgt beispielsweise aus demFundamentalsatz der Analysis. Für${\displaystyle d⩾2}$ ist die Einbettung (5) grundsätzlich falsch und somit nicht erfüllt. Als Gegenbeispiel hierfür betrachte man die Funktion${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^N\varphi \left(2^{n}x\right)}$ für${\displaystyle N\in \mathbb{N}}$,${\displaystyle \varphi \in C_0^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^d)}$ und${\displaystyle \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi \subseteq \{x\in {\mathbb{R}}^d\mid 1⩽|x|⩽2\}}$. Insgesamt gibt es daher in Bezug auf (5) nur für${\displaystyle d=1}$ eine Konstante${\displaystyle C>0}$, so dass die folgende Abschätzung gilt

${\displaystyle {\Vert u\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathbb{R})}⩽C{\Vert u\Vert }_{W^{1,1}(\mathbb{R})}\mathrm{\forall }u\in W^{1,1}(\mathbb{R}).}$		(6)

Die Einbettungen (3) und (5) werdenSobolevsche-Endpunkt-Einbettungen und die Abschätzungen (4) und (6)Sobolevsche-Endpunkt-Ungleichungen genannt.

Allgemeiner erhalten wir sogar, dass dieEinbettung

${\displaystyle W^{k,p}({\mathbb{R}}^d)\subseteq W^{l,q}({\mathbb{R}}^d)}$		(7)

stetig ist, sofern einer der folgenden Fälle erfüllt ist

d. h., es gibt wieder eine Konstante${\displaystyle C=C(d,p,q,k,l)>0}$, so dass die folgende Abschätzung gilt

${\displaystyle {\Vert u\Vert }_{W^{l,q}({\mathbb{R}}^d)}⩽C{\Vert u\Vert }_{W^{k,p}({\mathbb{R}}^d)}\mathrm{\forall }u\in W^{k,p}({\mathbb{R}}^d).}$		(8)

Dieses Resultat lässt sich unter Verwendung von (1) durchvollständige Induktion zeigen. Die Einbettung (7) wirdSobolevsche-Einbettung und die Abschätzung (8)Sobolevsche-Ungleichung genannt. Beachte, dass die Einbettung im Falle grundsätzlich nicht erfüllt ist. Die Bedingungen (i) und (ii) zeigen sehr schön, inwiefern die zugehörigen Sobolev-Zahlen${\displaystyle \frac{d}{p}-k}$ und${\displaystyle \frac{d}{q}-l}$ miteinander in Beziehung stehen.Man beachte, dass diese Version des Sobolevschen Einbettungssatzes im Vergleich zu der obigen Version ohne die zusätzliche und sehr einschränkende Bedingung${\displaystyle (k-l)p⩽d}$ auskommt. Die Beweise dieser Aussagen können interrytao.wordpress.com (Thm. 3, Ex. 20, Lem. 4, Ex. 24 und Ex. 25) nachgelesen werden und lassen sich aus den Standardquellen (unter diesen schwachen Voraussetzungen) leider nicht direkt gewinnen.

Darüber hinaus gilt das folgende Einbettungsresultat:

DieEinbettung

${\displaystyle W^{d,1}({\mathbb{R}}^d)\subseteq C_{\mathrm{b}}({\mathbb{R}}^d)}$		(9)

ist für alle${\displaystyle d⩾1}$ stetig, d. h., es gibt eine Konstante${\displaystyle C=C(d)>0}$, so dass die folgende Abschätzung gilt

${\displaystyle {\Vert u\Vert }_{\mathrm{\infty }}⩽C{\Vert u\Vert }_{W^{d,1}({\mathbb{R}}^d)}\mathrm{\forall }u\in W^{d,1}({\mathbb{R}}^d).}$		(10)

Hierbei bezeichnet${\displaystyle C_{\mathrm{b}}({\mathbb{R}}^d)}$ die Menge der auf dem${\displaystyle {\mathbb{R}}^d}$ stetigen und beschränkten Funktionen und${\displaystyle {\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }}}$ dieSupremumsnorm auf dem${\displaystyle {\mathbb{R}}^d}$.

Oft werden auch Sobolev-Räume mit reellen Exponenten${\displaystyle s}$ benutzt. Diese sind im Ganzraumfallüber dieFourier-Transformierte der beteiligten Funktion definiert. Die Fourier-Transformation wird hier mit${\displaystyle \mathcal{F}}$ bezeichnet.Für${\displaystyle s\in \mathbb{R},s\ge 0}$ ist eine Funktion${\displaystyle f\in L^2({\mathbb{R}}^n)}$ ein Element von${\displaystyle H^s({\mathbb{R}}^n)}$, falls

${\displaystyle \zeta \mapsto (1+|\zeta {|}^2{)}^{\frac{s}{2}}\cdot \mathcal{F}(f)(\zeta )\in L^2({\mathbb{R}}^n)}$

gilt. Auf Grund der Identität${\displaystyle \mathcal{F}({\mathrm{\partial }}^{\alpha }f)=(i\zeta {)}^{\alpha }\mathcal{F}(f)}$ sind dies für${\displaystyle s\in \mathbb{N}}$ dieselben Räume, welche schon im ersten Abschnitt definiert wurden. Mit

${\displaystyle (f,g{)}_{H^s({\mathbb{R}}^n)}:={\int }_{{\mathbb{R}}^n}(1+|k{|}^2{)}^s(\mathcal{F}(f))(k)\cdot \overline{(\mathcal{F}(g))(k)}dk}$

wird${\displaystyle H^s({\mathbb{R}}^n)}$ zu einemHilbertraum.Die Norm ist gegeben durch

${\displaystyle \Vert f{\Vert }_{H^s({\mathbb{R}}^n)}:=\Vert (1+|\cdot {|}^2{)}^{\frac{s}{2}}\cdot \mathcal{F}(f){\Vert }_{L^2({\mathbb{R}}^n)}}$.

Für ein glatt berandetes, beschränktes Gebiet${\displaystyle \mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n}$ wird der Raum${\displaystyle H^s(\mathrm{\Omega })\subset L^2(\mathrm{\Omega })}$ definiert als die Mengealler${\displaystyle f\in L^2(\mathrm{\Omega })}$, die sich zu einer (auf${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ definierten) Funktion in${\displaystyle H^s({\mathbb{R}}^n)}$ fortsetzen lassen.

Für kann man ebenfalls Sobolev-Räume definieren. Dazu muss jedoch auf dieTheorie der Distributionen zurückgegriffen werden. Sei${\displaystyle {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)}$ der Raum dertemperierten Distributionen, dann ist${\displaystyle H^s({\mathbb{R}}^n)}$ für alle${\displaystyle s\in \mathbb{R}}$ durch

${\displaystyle H^s({\mathbb{R}}^n):=\left\{f\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n):(1+|\zeta {|}^2{)}^{\frac{s}{2}}\cdot \mathcal{F}(f)(\zeta )\in L^2({\mathbb{R}}^n)\right\}}$

definiert.

Betrachtet man den Banachraum${\displaystyle H^s}$ mit dem${\displaystyle L^2}$-Skalarprodukt${\displaystyle (u,v):=\int u(x)\overline{v(x)}\mathrm{d}x}$, so ist${\displaystyle H^{-s}}$ seinDualraum. Jedoch kann man den Raum${\displaystyle H^s}$ mit Hilfe des Skalarproduktes

${\displaystyle (u,v{)}_{H^s}=\frac{1}{(2\pi {)}^n}\int \mathcal{F}(u)(\xi )\mathcal{F}(v)(\xi )(1+|\xi {|}^2{)}^s\mathrm{d}\xi }$

als einenHilbertraum verstehen. Da Hilberträume zu sich selbst dual sind, ist nun${\displaystyle H^s}$ zu${\displaystyle H^s}$ und zu${\displaystyle H^{-s}}$ (bezüglich unterschiedlicher Produkte) dual. Man kann${\displaystyle H^s}$ und${\displaystyle H^{-s}}$ mit Hilfe desisometrischen Isomorphismus

identifizieren. Auf analoge Weise lassen sich auch die Räume${\displaystyle H^s}$ und${\displaystyle H^{s-l}}$ durch den isometrischen Isomorphismus

${\displaystyle v\mapsto (1+|D{|}^2{)}^{\frac{l}{2}}v}$

miteinander identifizieren.

Sobolev-Räume werden in der Theorie derpartiellen Differentialgleichungen verwendet. Die Lösungen der schwachen Formulierung einer partiellen Differentialgleichung liegen typischerweise in einem Sobolev-Raum.

Die Theorie derpartiellen Differentialgleichungen liefert damit auch numerische Lösungsverfahren. DieFinite-Elemente-Methode basiert auf der schwachen Formulierung der partiellen Differentialgleichungen und somit auf Sobolev-Raum-Theorie.

Sobolev-Räume spielen auch in deroptimalen Steuerung partieller Differentialgleichungen eine Rolle.

• Sobolevsche orthogonale Polynome
• Lokal schwach differenzierbare Funktion
• Besov-Raum

• H.-W. Alt:Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2006,ISBN 3-540-34186-2
• R. A. Adams, J. J. F. Fournier:Sobolev Spaces. 2nd edition. Academic Press, 2003,ISBN 0-12-044143-8
• M. Dobrowolsky:Angewandte Funktionalanalysis. 2. Auflage. Springer, 2010,ISBN 978-3-642-15268-9
• L. C. Evans:Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 1998,ISBN 0-8218-0772-2
• L. C. Evans, R. F. Gariepy:Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC, 1991,ISBN 0-8493-7157-0
• V. Mazja:Sobolev Spaces. Springer, 1985,ISBN 3-540-13589-8
• W. P. Ziemer:Weakly Differentiable Functions. Springer, 1989,ISBN 0-387-97017-7

1. ↑mathematik.uni-wuerzburg.de (PDF) Satz 3.15
2. ↑M. Dobrowolsky:Angewandte Funktionalanalysis. 2. Auflage. Springer, 2010,ISBN 978-3-642-15268-9, Satz 6.15
3. ↑M. Dobrowolsky:Angewandte Funktionalanalysis. 2. Auflage. Springer, 2010,ISBN 978-3-642-15268-9, Satz 6.17

• Normierter Raum
• Funktionalanalysis