DasSiebzehneck,17-Eck oderHeptadekagon (vonaltgriechischἑπτακαίδεκαheptakaídeka, deutsch‚siebzehn‘ undγωνίαgōnía, deutsch‚Winkel, Ecke‘)^[1] ist einegeometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehnPunkte, die durch siebzehnStrecken zu einem geschlossenenLinienzug verbunden sind. Im Folgenden werden ausschließlich dasregelmäßige Siebzehneck, daskonvex ist, siebzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamenUmkreis liegen, sowie dasregelmäßigeüberschlagene Siebzehneck beschrieben.

Mehr als 2000 Jahre lang war man aufgrund von Fehlversuchen davon überzeugt, das Siebzehneck sei nicht allein mitZirkel und Lineal konstruierbar. Erst Ende des 18. Jahrhunderts entdeckte der damals achtzehnjährigeCarl Friedrich Gauß eine Formel, mit deren Hilfe die Konstruktion gelingt. Die Idee hinter seiner Entdeckung ist, dass Punkte, die sich mit Zirkel und Lineal aus zum Beispiel demUrsprung${\displaystyle (0,0)}$ und dem Punkt${\displaystyle (1,0)}$ konstruieren lassen, stets bestimmtelineare oderquadratische Gleichungen erfüllen. Diese Gleichungen habenKoeffizienten, die sich aus den bisher schon konstruierten Punkten mit den vier Grundrechenarten bestimmen lassen. Hintergrund ist, dass von Linealen erzeugteGeraden durch lineare Gleichungen bzw. von Zirkeln erzeugteKreise durch quadratische Gleichungen gegeben sind. Gauß’ Leistung bestand unter anderem darin, die für das Siebzehneck kritische Größe${\displaystyle \cos (\frac{2\pi }{17})}$ (mit demKosinus${\displaystyle \cos }$ und derKreiszahl${\displaystyle \pi }$) durch eine Verschachtelung vonQuadratwurzeln ganzer Zahlen auszudrücken, was eine zwar mühsame, aber dennoch in endlich vielen Schritten ausführbare Konstruktion ermöglicht. Dabei spielen die Eigenschaften derFermatschen Primzahl${\displaystyle 17}$ eine entscheidende Rolle. Aus Sicht der modernen Mathematik handelt es sich hierbei um eine Anwendung derGalois-Theorie. In deren Rahmen ist es zudem von Nutzen, die Punkte der Ebene als Werte desKörpers derkomplexen Zahlen auszudrücken, da dies das „Rechnen mit Punkten“ vereinfacht.

Die im Folgenden beschriebenen Konstruktionen für ein Siebzehneck sind eine Auswahl aus Lösungen mit sehr unterschiedlichen Vorgehensweisen.

Konstruktionen zu regelmäßigen Vielecken, wie beispielsweise zu Drei-, Vier-, Fünf- und Sechsecken sowie deren Verdoppelungen sind schon seit EuklidsElementen (3. Jahrhundert v. Chr.) bekannt, aber bei z. B. Sieben- oder Neuneck war es niemandem gelungen. In den vielen folgenden Jahrhunderten festigte sich deshalb die Annahme, weitere konstruierbare Vielecke werde man nicht finden.^[2] Mehr als 2000 Jahre später waren Erstaunen und Interesse groß, als der achtzehnjährige Gauß am 29. März 1796 imIntelligenzblatt der allgem. Literatur-Zeitung alsStud. der Mathematik zu Göttingen seine neue Entdeckung (vorerst ohne weitere Details) ankündigte.^[3]

Am 30. März 1796, also kurz vor seinem 19. Geburtstag (30. April), machte Gauß den ersten Eintrag in seinemMathematischen Tagesbuch. Darin beschrieb er in lateinischer Sprache und in kurzen Worten seine Entdeckung, die zur Konstruierbarkeit des Siebzehnecks führt (siehe nebenstehendes Bild).^[4]

Die ausführliche Erklärung dazu folgte fünf Jahre später im vorletzten Abschnitt seines WerksDisquisitiones Arithmeticae (1801) („Untersuchungen über höhere Arithmetik“).^[5] Darin zeigte und bewies Gauß u. a. die Formel für den Kosinus des Zentriwinkels, der allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Wie der Kosinus des Zentriwinkels konstruktiv dargestellt werden kann, enthält das Werk nicht. Noch im selben Jahr, am 21. Juni, stellte Gauß in derSt. Petersburger Akademie die Kurzfassung seiner Formel vor (Näheres imAbschnitt Eigenschaften).

In seinem Brief an Gerling vom 6. Januar 1819 machte Gauß auf den Druckfehler inDisquisitiones arithmeticae bezüglich seiner Formel aufmerksam:

Die ersten Konstruktionsbeschreibungen für ein Siebzehneck kamen Anfang des 19. Jahrhunderts. Carl Friedrich Gauß erhielt im März 1802 einen Brief von Johann Friedrich Pfaff – ehemals Lehrer und Förderer von Gauß. Pfaff zitierte darin die möglicherweise erste (veröffentlichte) Konstruktion eines Siebzehnecks aus einem Brief seines Kollegen Christoph Friedrich von Pfleiderer.^[7] T. P. Stowell sandte 1818 eine Basiskonstruktion an Leybourns mathematische ZeitschriftThe Mathematical Repository mit dem Anliegen, den 1806 verfassten Artikel über das Siebzehneck erneut zu drucken.^[8][9] Magnus Georg Paucker fand seine Version eines Siebzehnecks im Jahr 1819. Die vielleicht bekannteste Darstellung zeigte Herbert Richmond 1893.^[10] Im Jahr 1897 veröffentlichte L. Gérard ein Siebzehneck, dessen Konstruktion er nur mit einem Zirkel mithilfe des Satzes von Mohr-Mascheroni erstellte. Duane DeTemple wiederum nahm 1991 die sogenannten Carlyle-Kreise zu Hilfe, um seine Lösung des Siebzehnecks zu veröffentlichen. Am 23. Februar 2005 erschien in Göttingen, anlässlich des 150. Todestages von Carl Friedrich Gauß, ein Katalog zur Ausstellung im Alten Rathaus am Markt. Hans Vollmayr erläuterte darin eine Konstruktion des Siebzehnecks, in der als Ansatz die Kurzformel für den Kosinus des Zentriwinkels dient.^[11]

Das Besondere an einem regelmäßigen Siebzehneck ist die Tatsache, dass es konstruierbar ist – es kann somit unter alleiniger Verwendung vonZirkel undLineal (dieeuklidischen Werkzeuge) gezeichnet werden –, diese Konstruierbarkeit jedoch über Jahrtausende nicht nachgewiesen werden konnte. Der Nachweis gelang erst Carl Friedrich Gauß im Jahr 1796.^[12] Er zeigte, dass für denKosinus desZentriwinkels

gilt.^{[A 1]} Somit ist der Zentriwinkel auch geometrisch darstellbar und die verschiedenen Größen des Siebzehnecks wie Seitenlänge, Umfang, Inkreisradius, Diagonale über zwei Seiten und Flächeninhalt lassen sich berechnen.

Am 21. Juni 1801 stellte Gauß der St. Petersburger Akademie für seine obige Formel eine sogenannte Kurzfassung in drei Schritten vor, die sich aus der Gruppierung von Summen einzelner Kosinuswerte ergibt.Friedrich L. Bauer beschrieb sie 2009 in seinem BuchHistorische Notizen zur Informatik im KapitelCarl Friedrich Gauß, das 17-Eck und MATHEMATICA^[13] ausführlich, es sei deshalb hier nur das Ergebnis der Kurzfassung erwähnt.

Mit den darin u. a. eingeführten Hilfsgrößen

${\displaystyle q:=\cos \left(\frac{2\pi }{17}\right)+\cos \left(4\cdot \frac{2\pi }{17}\right)}$ und

${\displaystyle q^{\prime }:=\cos \left(3\cdot \frac{2\pi }{17}\right)+\cos \left(5\cdot \frac{2\pi }{17}\right)}$

gilt somit für den Kosinus des Zentriwinkels auch:^[14][13]

${\displaystyle \cos \left(\frac{2\pi }{17}\right)=\frac{1}{2}q+\sqrt{\frac{1}{4}{q}^2-\frac{1}{2}{q}^{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot \left(q+\sqrt{q^2-2q^{\prime }}\right)}$

[15] Größen eines regelmäßigen Siebzehnecks mit der Seitenlänge${\displaystyle s}$, dem Umkreisradius${\displaystyle r_{\mathrm{u}}}$ und dem Zentriwinkel${\displaystyle \mu =\frac{2\pi }{17}}$
Seitenlänge	${\displaystyle s=2\cdot \sin \left(\frac{{180}^{\circ }}{17}\right)\cdot r_u}$	${\displaystyle \approx \mathrm{0,367}499\cdot r_u}$
Umfang	${\displaystyle U=17s}$	${\displaystyle \approx \mathrm{6,247}484\cdot r_u}$
Inkreisradius	${\displaystyle r_{\mathrm{i}}=\frac{s}{2}\cdot \cot \left(\frac{{180}^{\circ }}{17}\right)}$	${\displaystyle \approx \mathrm{0,982}973\cdot r_u}$
Diagonale über zwei Seiten	${\displaystyle d_2=2\cdot \sin (\mu )\cdot r_u}$	${\displaystyle \approx \mathrm{0,722}483\cdot r_u}$
Flächeninhalt	${\displaystyle A=\frac{1}{4}\cdot 17s^2\cdot \cot \left(\frac{{180}^{\circ }}{17}\right)}$	${\displaystyle \approx \mathrm{3,070}554\cdot r_u^2}$
Innenwinkel	${\displaystyle \varphi ={180}^{\circ }-\mu =\frac{15}{17}\cdot {180}^{\circ }}$	${\displaystyle \approx \mathrm{158,823}{529}^{\circ }}$

In der Tabelle bezeichnet${\displaystyle \sin }$ denSinus und${\displaystyle \cot }$ denKotangens.

DieSymmetriegruppe des Siebzehnecks ist dieDiedergruppe${\displaystyle D_{17}}$.

In der mathematischen Theorie, präziser derAlgebra, wird eine Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal aufalgebraische Gleichungen zurückgeführt.

Der Entdeckung der Konstruierbarkeit des Siebzehnecks durch Zirkel und Lineal von Gauß liegt eine Auflösung derKreisteilungsgleichung${\displaystyle x^{17}-1=0}$ zugrunde, deren Lösungen – es handelt sich um die siebzehntenEinheitswurzeln – in derGaußschen Zahlenebene derkomplexen Zahlen ein regelmäßiges Siebzehneck mitUmkreisradius 1 bilden. Diese Gleichung kann allein durch den Gebrauch geschachtelterQuadratwurzeln gelöst werden (siehe oben für denRealteil${\displaystyle \cos (\frac{2\pi }{17})}$ der Lösung${\displaystyle \zeta =e^{2\pi i/17}}$, die entgegen dem Uhrzeigersinn zur Lösung 1 am nächsten liegt). Wichtig dabei ist, dass komplexe Zahlen einerseits alsPunkte einer Ebene dargestellt werden können, andererseits aber mit ihnen gerechnet werden kann. Gauß erkannte 1796 als 18-Jähriger diese Möglichkeit „[d]urch angestrengtes Nachdenken … am Morgen … (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)“^[16] aufgrund allgemeinerzahlentheoretischer Eigenschaften von Primzahlen, in diesem Fall konkret der Primzahl 17: Diemodulo einer Primzahl${\displaystyle p}$ gebildeten, von 0 verschiedenen Restklassen${\displaystyle 1,\dots ,p-1}$ können nämlich als Potenzen${\displaystyle g^0=1,g^1=g,g^2,\dots ,g^{p-2}}$ einer geeignet gewählten Zahl${\displaystyle g}$,Primitivwurzel genannt, dargestellt werden. Im Fall${\displaystyle p=17}$ kann konkret${\displaystyle g=3}$ gewählt werden, wie einerekursive Berechnung der Potenzen zeigt:

verfährt man so weiter, ergeben sich der Reihe nach die Restklassen${\displaystyle 13,5,15,11,16,14,8,7,4,12,2,6}$ modulo${\displaystyle 17}$. Sortiert man nun die von 1 verschiedenen 17. Einheitswurzeln entsprechend, das heißt in der Reihenfolge

${\displaystyle \zeta ,{\zeta }^3,{\zeta }^9,{\zeta }^{10},{\zeta }^{13},{\zeta }^5,{\zeta }^{15},{\zeta }^{11},{\zeta }^{16},{\zeta }^{14},{\zeta }^8,{\zeta }^7,{\zeta }^4,{\zeta }^{12},{\zeta }^2,{\zeta }^6,}$

so erhält man durch Teilsummation von jeder zweiten, jeder vierten, beziehungsweise jeder achten Einheitswurzel aus dieser Auflistung die sogenanntenGaußschen Perioden: zwei 8-gliedrige Perioden mit je 8 Summanden, vier 4-gliedrige Perioden mit je 4 Summanden und acht 2-gliedrige Perioden mit je 2 Summanden. Aufgrund prinzipieller Eigenschaften oder aber durch explizite Berechnung lässt sich dafür zeigen:^{[A 2]}

• Die beiden 8-gliedrigen Perioden sind Lösungen einerquadratischen Gleichung mit ganzenKoeffizienten.
• Die vier 4-gliedrigen Perioden sind Lösungen von zwei quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 8-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
• Die acht 2-gliedrigen Perioden sind Lösungen von vier quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 4-gliedrigen Perioden berechenbar sind.

Dabei gilt für die zweigliedrige Periode zur „ersten“ Einheitswurzel${\displaystyle \zeta +{\zeta }^{16}=\zeta +{\zeta }^{-1}=2\cos (\frac{2\pi }{17})}$.

Der beschriebene Ansatz lässt sich analog für jede Primzahl der Form${\displaystyle 2^{2^k}+1}$ durchführen. Fünf solche Primzahlen, dieFermatsche Primzahlen genannt werden, sind bekannt: 3, 5, 17, 257, 65537. Daher gehören auch das regelmäßige257-Eck und das regelmäßige65537-Eck zu denkonstruierbaren Polygonen.

Johann Friedrich Pfaff schrieb am 22. März 1802 aus Helmstedt einen Brief an Gauß (erstmals veröffentlicht 1917). Darin zitierte er aus einem Brief – den er vonChristoph Friedrich von Pfleiderer erhalten hatte – die folgende möglicherweise erste (veröffentlichte) Konstruktion eines regelmäßigen Siebzehnecks.^[7]

Im oben genannten Brief an Gauß erklärte J. F. Pfaff mit Pfleiderers Worten dessen Konstruktion zum Siebzehneck (freie Übersetzung):^[7]

Das Finden der folgenden Basiskonstruktion eines regelmäßigen Siebzehnecks aus dem Jahr 1818 ist W. E. Heal aus Wheeling inIndiana zu verdanken. Er stellte in der mathematischen ZeitschriftThe Analyst im März 1877 zur Konstruktion der Polygone 17-Eck und 257-Eck allein mitZirkel und Lineal, die Frage: „Wie wird dies bewiesen?“^[17] J. E. Hendricks, Herausgeber vonThe Analyst, beantwortete in der Ausgabe vom Mai 1877, Nr. 3 seine Frage, darin zitierte er auch T. P. Stowell ausRochester, N. Y.: „Vielleicht würde es einige Ihrer Leser interessieren, einen in [Thomas Leybourns]Mathematical Repository (Band I, 2. Folge) 1806 veröffentlichten Artikel erneut zu drucken.“^[9] Da der Platz für eine vollständige Veröffentlichung des Artikels aus der angegebenen Quelle nicht zur Verfügung stand, wurde inThe Analyst nur ein Ausschnitt davon sowie die von T. P. Stowell gesendete und LeybournsMathematical Repository 1818 zugeschriebene Konstruktion eines Polygons mit 17 Seiten eingefügt.^{[8][A 3]}

Konstruktionsbeschreibung von T. P. Stowell (Übersetzung):

Magnus Georg Paucker legte 1819 seine geometrische Konstruktionsanleitung für das Siebzehneck der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst vor, wo sie 1822 veröffentlicht wurde.^[19] Er schreibt dazu in der Einleitung seines Artikels:

Die folgende Konstruktionsanleitung enthält die Konstruktion nach Magnus Georg Paucker^[21] sowie deren Weiterführung bis zum fertigen Siebzehneck. Die in derOriginalzeichnung von Paucker enthaltenen Radien und die meisten Diagonalen dienen der Darstellung von in seiner Originalbeschreibung stehenden Formeln und sind für die geometrische Konstruktion nicht erforderlich. Sie wurden hier weggelassen.

1. Zeichne auf dem Durchmesser${\displaystyle |pa|}$ um den Mittelpunkt${\displaystyle m}$ den Umkreis des werdenden 17-Ecks.
2. Errichte den Durchmesser${\displaystyle |pA|=|pa|}$ senkrecht zu${\displaystyle |pa|}$.
3. Halbiere den Radius${\displaystyle |mp|}$ in${\displaystyle B}$.
4. Verlängere${\displaystyle |pa|}$ ab${\displaystyle p}$.
5. Trage die Strecke${\displaystyle \overline{AB}}$ ab${\displaystyle B}$ auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist${\displaystyle C}$.
6. Halbiere${\displaystyle |pA|}$ in${\displaystyle D}$.
7. Halbiere${\displaystyle \overline{pC}}$ in${\displaystyle E}$.
8. Trage die Strecke${\displaystyle \overline{ED}}$ ab${\displaystyle E}$ auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist${\displaystyle F}$.
9. Errichte den Radius${\displaystyle |mG|}$ senkrecht zu Durchmesser${\displaystyle |pa|}$.
10. Halbiere${\displaystyle \overline{mC}}$ in${\displaystyle H}$.
11. Trage die Strecke${\displaystyle \overline{HG}}$ ab${\displaystyle H}$ auf${\displaystyle |pa|}$ ab, Schnittpunkt ist${\displaystyle I}$.
12. Konstruiere den Halbkreis über${\displaystyle |pF|}$.
13. Konstruiere den Halbkreis über${\displaystyle |pI|}$, Schnittpunkt mit${\displaystyle |mG|}$ ist${\displaystyle K}$.
14. Zeichne die Parallele zu${\displaystyle |mp|}$ ab${\displaystyle K}$, Schnittpunkt mit Halbkreis über${\displaystyle |pF|}$ ist${\displaystyle L}$.
15. Fälle das Lot von L auf${\displaystyle \overline{mH}}$,Fußpunkt ist${\displaystyle M}$. Es ist${\displaystyle |pM|}$ die Seite des 34-Ecks.

Von hier aus zwei Möglichkeiten als Beispiele:

16. Ziehe einen Halbkreis um${\displaystyle p}$ mit dem Radius${\displaystyle |pM|}$, damit ergibt sich auf dem Umkreis der Punkt${\displaystyle i}$ und ein z. B. mit${\displaystyle j}$ bezeichneter Punkt. Die Strecke${\displaystyle \overline{ij}}$ ist die gesuchte Seite des 17-Ecks.
17.  bis 30. Trage die Seite${\displaystyle |ij|}$ vierzehnmal auf dem Umkreis ab und verbinde die so gefundenen Punkte zu einem vollständigen 17-Eck.

oder:

16. Es gilt auch${\displaystyle \overline{MF}=\overline{pc}}$, demzufolge trage${\displaystyle \overline{MF}}$ auf dem Umfang in Richtung Punkt${\displaystyle a}$ ab und du erhältst Punkt${\displaystyle c}$.
17. Trage${\displaystyle \overline{ac}}$, also die Diagonale über zwei Seiten, von${\displaystyle a}$ beginnend weitere Male auf dem Umfang ab, bis alle Ecken markiert sind und verbinde jeweils abschließend die so gefundenen Punkte zu einem vollständigen 17-Eck.

Im Jahr 1825 legte Johannes Erchinger eine Konstruktion derAkademie der Wissenschaften zu Göttingen vor, die Gauß daraufhin in denGöttingischen Gelehrten Anzeigen besprach. Eine zeichnerische Darstellung dieses Siebzehnecks ist nicht überliefert.^{[22][A 6]} Die folgende einfachere und bekannteste Konstruktion stammt von Herbert William Richmond aus dem Jahr 1893.^[23]

In der Konstruktionsbeschreibung lässt es Richmond offen, auf welche Art und Weise schließlich die Seitenlänge des Siebzehnecks zu finden ist. Es gibt dafür drei Möglichkeiten. Für die ersten beiden nimmt man entweder die Länge der Sehne${\displaystyle |A{P}_3|}$ oder${\displaystyle |P_3{P}_5|}$ in den Zirkel und trägt sie auf dem Umkreis so oft ab, bis alle Eckpunkte gegeben sind.^[23] Die dritte Möglichkeit wäre: Man halbiert den Kreisbogen${\displaystyle O{P}_3{P}_5}$ mithilfe der Mittelsenkrechten, erhält so den Eckpunkt${\displaystyle P_4}$ und trägt abschließend die Seitenlänge${\displaystyle |P_3{P}_4|}$ oder${\displaystyle |P_4{P}_5|}$ dreizehnmal auf dem Umkreis ab. Die folgende Konstruktion nutzt dafür die Sehnenlänge (Diagonale)${\displaystyle |P_3{P}_5|}$.

Konstruktionsbeschreibung

1. Ziehen des Umkreises mit beliebigem Radius um den Mittelpunkt ${\displaystyle O}$.
2. Zeichnen einesDurchmessers durch denMittelpunkt ${\displaystyle O}$ Schnittpunkt mit Umkreis ist${\displaystyle A}$, später zusätzlich mit${\displaystyle P_{17}}$ bezeichnet.
3. Errichten eines Radius senkrecht zu${\displaystyle |AO|}$ auf${\displaystyle O}$ bis zum Umkreis; Schnittpunkt mit Umkreis ist${\displaystyle B}$.
4. Halbieren des Radius${\displaystyle |BO|}$.
5. Nochmaliges Halbieren ergibt ein Viertel des Radius${\displaystyle |BO|}$ im Punkt${\displaystyle I}$;${\displaystyle I}$ liegt näher an${\displaystyle O}$; Verbinden des Punktes${\displaystyle I}$ mit${\displaystyle A}$.
6. Halbieren des Winkels${\displaystyle OIA}$.
7. Nochmaliges Halbieren des Winkels ergibt im Punkt${\displaystyle E}$ ein Viertel des Winkels${\displaystyle OIA}$;${\displaystyle E}$ liegt näher an${\displaystyle O}$.
8. Errichten einerSenkrechten auf${\displaystyle \overline{EI}}$ mit Fußpunkt${\displaystyle I}$.
9. Halbierung des${\displaystyle {90}^{\circ }}$-Winkels; Schnittpunkt mit Durchmesser ist${\displaystyle F}$ und Winkel ${\displaystyle FIE}$ ist${\displaystyle {45}^{\circ }}$.
10. Konstruktion desThaleskreises über${\displaystyle |AF|}$; Schnittpunkt mit${\displaystyle |BO|}$ ist${\displaystyle K}$.
11. Ziehen des Halbkreises um den Mittelpunkt${\displaystyle E}$ mit dem Radius${\displaystyle |EK|}$; Schnittpunkte mit dem Durchmesser sind${\displaystyle N_3}$ und${\displaystyle N_5}$ (dabei liegt${\displaystyle N_3}$ sehr nahe beim Mittelpunkt des Thaleskreises über${\displaystyle |AF|}$).
12. Errichten der Senkrechten auf die Mittelachse ab${\displaystyle N_3}$; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist derEckpunkt ${\displaystyle P_3}$ des Siebzehnecks; der Kreisbogen ${\displaystyle OA{P}_3}$ ist somit${\displaystyle \frac{3}{17}}$ des Umkreisumfanges.
13. Errichten der Senkrechten auf die Mittelachse ab${\displaystyle N_5}$; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt ${\displaystyle P_5}$; der Kreisbogen ${\displaystyle OA{P}_5}$ ist somit${\displaystyle \frac{5}{17}}$ des Umkreisumfanges.
14.  bis 27. Ein vierzehnmaliges Abtragen derDiagonale${\displaystyle |P_3{P}_5|}$ auf dem Umkreis, ab dem Eckpunkt ${\displaystyle P_5}$ gegen den Uhrzeigersinn, ergibt der Reihe nach die Eckpunkte ${\displaystyle P_7,P_9,P_{11},P_{13},P_{15},P_2,P_4,P_6,P_8,P_{10},P_{12},P_{14};P_{16}}$ und${\displaystyle P_1}$; das abschließende Verbinden der so gefundenen Punkte${\displaystyle P_1,P_2}$, …,${\displaystyle P_{17}}$ vervollständigt das 17-Eck.

Pietro Ermenegildo Daniele, ein italienischer Mathematiker (1875–1949), beschreibt im sechsten Artikel seines WerkesÜber die Konstruktionen des regulären Siebzehnecks eine Konstruktion nach L. Gérard^[24] mithilfe desSatzes von Mohr-Mascheroni.

Gérards Siebzehneck – allein mit einem Zirkel konstruiert – wurde inMathematische Annalen (48. Band) im Jahr 1897 veröffentlicht.^[25][26]

• Um die Erklärungen von Daniele zum mathematischen Hintergrund (§ 4. Die Konstruktion von Gérard, ab Seite 183) nachvollziehen zu können, wurden die Bezeichnungen der Schnittpunkte übernommen. In der folgenden Konstruktion entsteht jeder Schnittpunkt durch das Kreuzen zweier Kreise. Für eine bessere Übersichtlichkeit ersetzen kurze Kreisbögen die entsprechenden Kreise (siehe Animation).

Konstruktionsbeschreibung (in Klammer die Bildnummer):

1(1) Es beginnt mit einem Kreis mit beliebigem Radius${\displaystyle |OA|}$ um den Mittelpunkt${\displaystyle O}$.

1(2), (3), (4) Nun trägt man imUhrzeigersinn dreimal den Radius${\displaystyle |OA|}$ auf denUmkreis des entstehenden Siebzehnecks auf, dabei ergeben sich die Schnittpunkte${\displaystyle B,C}$ sowie der erste Eckpunkt${\displaystyle D.}$

Es folgt die Ermittlung des Mittelpunktes${\displaystyle M}$ des Radius${\displaystyle |OA|}$.

1(5) Zwei Kreisbögen um${\displaystyle A}$ mit dem Radius${\displaystyle |AD|}$ und zwei Kreisbögen um${\displaystyle D}$ mit dem Radius${\displaystyle |DB|}$ erzeugen die Schnittpunkte${\displaystyle G}$ und${\displaystyle G^{\prime }}$.

1(6) Je einKreisbogen um${\displaystyle G}$ und${\displaystyle G^{\prime }}$ mit Radius${\displaystyle |DB|}$ liefert den Schnittpunkt${\displaystyle M.}$

Es geht weiter mit dem Bestimmen der noch erforderlichen Schnittpunkte${\displaystyle X}$ bis${\displaystyle Z_1}$.

1(7)${\displaystyle X:}$ je ein Kreisbogen um${\displaystyle A}$ und${\displaystyle D}$ mit Radius${\displaystyle |AC|,}$

1(8)${\displaystyle F}$ und${\displaystyle F^{\prime }:}$ zwei Kreisbögen um${\displaystyle A}$ mit Radius${\displaystyle |OX|,}$

1(9)${\displaystyle K}$ und${\displaystyle K^{\prime }:}$ zwei Kreisbögen um${\displaystyle M}$ mit Radius${\displaystyle |OA|,}$

(10)${\displaystyle E_1}$ und${\displaystyle E_2:}$ je einen Kreisbogen um${\displaystyle K}$ und${\displaystyle K^{\prime }}$ mit Radius${\displaystyle |OX|,}$

(11), (12)${\displaystyle L_1}$ und${\displaystyle L_1^{\prime }:}$ je einen Kreisbogen um${\displaystyle F}$ und${\displaystyle F^{\prime }}$ mit Radius${\displaystyle |O{E}_1|}$ sowie zwei Kreisbögen um${\displaystyle E_1}$ mit Radius${\displaystyle |OA|,}$

(13)${\displaystyle E_{11}:}$ je einen Kreisbogen um${\displaystyle L_1}$ und${\displaystyle L_1^{\prime }}$ mit Radius${\displaystyle |E_{1}X|,}$

(14), (15)${\displaystyle L_2}$ und${\displaystyle L_2^{\prime }:}$ je einen Kreisbogen um${\displaystyle F}$ und${\displaystyle F^{\prime }}$ mit Radius${\displaystyle |O{E}_2|}$ sowie zwei Kreisbögen um${\displaystyle E_2}$ mit Radius${\displaystyle |OA|,}$

(16)${\displaystyle E_{21}:}$ je ein Kreisbogen um${\displaystyle L_2}$ und${\displaystyle L_2^{\prime }}$ mit Radius${\displaystyle |E_{2}X|,}$

(17)${\displaystyle N}$ und${\displaystyle N^{\prime }:}$ je zwei Kreisbögen um${\displaystyle O}$ und${\displaystyle E_{21}}$ mit Radius${\displaystyle |A{E}_{11}|,}$

(18)${\displaystyle Z_1:}$ je ein Kreisbogen um${\displaystyle N}$ und${\displaystyle N^{\prime }}$ mit Radius${\displaystyle |E_{11}B|.}$

(19) Jetzt bedarf es nur noch zweier Kreisbögen um${\displaystyle Z_1}$ mit Radius${\displaystyle |OA|}$, um zwei weitere Eckpunkte${\displaystyle P}$ und${\displaystyle P^{\prime }}$ zu erhalten.

Die Abstände${\displaystyle |DP|}$ und${\displaystyle |D{P}^{\prime }|}$ entsprechen jeweils einer Seitenlänge des entstehenden Siebzehnecks.

(20) bis (33) Abschließend liefert das vierzehnmalige Abtragen der Seitenlänge${\displaystyle |DP|}$ auf dem Umkreis ein allein mit dem Zirkel erstelltes regelmäßiges Siebzehneck.

Duane W. DeTemple veröffentlichte im Jahr 1991 in der mathematischen ZeitschriftThe American Mathematical Monthly eine Konstruktion des Siebzehnecks. Für seine Lösung verwendete er vierCarlyle-Kreise; benannt nach dem HistorikerThomas Carlyle (1795–1881). Der junge Schotte Carlyle lehrte Mathematik, bevor er sich der Literatur zuwandte. Damals fand er diese elegante geometrische Methode für diequadratische Gleichung und folglich auch für die PolygoneFünfeck, Siebzehneck,257-Eck und65537-Eck.^[27]

Konstruktionsbeschreibung:

1. Zeichne die${\displaystyle x}$-Achse und setze darauf den Punkt${\displaystyle O.}$
2. Zeichne um${\displaystyle O}$ denEinheitskreis${\displaystyle c_1}$ mit Radius${\displaystyle r_1,}$ Schnittpunkte mit${\displaystyle c_1}$ sind${\displaystyle P_0}$ und${\displaystyle Q.}$
3. Konstruiere die${\displaystyle y}$-Achse vomUmkreis${\displaystyle c_1}$ des entstehenden 17-Ecks, Schnittpunkt mit${\displaystyle c_1}$ ist${\displaystyle A.}$
4. Halbiere den Radius${\displaystyle |OQ|}$ in${\displaystyle Q^{\prime }.}$
5. Ziehe den Kreisbogen${\displaystyle c_2}$ mit dem Radius${\displaystyle |Q^{\prime }{P}_0|}$ um${\displaystyle Q^{\prime }.}$
6. Errichte eine Senkrechte auf dem Radius${\displaystyle |OQ|}$ ab${\displaystyle Q^{\prime },}$ Schnittpunkt mit${\displaystyle c_2}$ ist${\displaystyle M_0.}$
7. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen${\displaystyle C{c}_1}$ um${\displaystyle M_0}$ durch${\displaystyle A}$ so, dass er die${\displaystyle x}$-Achse vom Umkreis${\displaystyle c_1}$ zweimal trifft, Schnittpunkte sind${\displaystyle H_{0,2}}$ und${\displaystyle H_{1,2}.}$
8. Halbiere die Strecke${\displaystyle \overline{O{H}_{0,2}}}$ in${\displaystyle M_{0,2}.}$
9. Halbiere die Strecke${\displaystyle \overline{O{H}_{1,2}}}$ in${\displaystyle M_{1,2}.}$
10. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen${\displaystyle C{c}_2}$ um${\displaystyle M_{1,2}}$ ab${\displaystyle A}$ bis auf die${\displaystyle x}$-Achse, Schnittpunkt ist${\displaystyle H_{1,4}.}$
11. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen${\displaystyle C{c}_3}$ um${\displaystyle M_{0,2}}$ ab${\displaystyle A}$ bis auf die${\displaystyle x}$-Achse, Schnittpunkt ist${\displaystyle H_{0,4}.}$
12. Trage${\displaystyle \overline{O{H}_{1,4}}}$ von Punkt${\displaystyle A}$ aus auf der Geraden${\displaystyle \overline{OA}}$ ab. Du erhältst Punkt${\displaystyle Y.}$
13. Verbinde${\displaystyle Y}$ mit${\displaystyle H_{0,4}.}$
14. Halbiere die Strecke${\displaystyle \overline{H_{0,4}Y}}$ in${\displaystyle M_{0,4}.}$
15. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen${\displaystyle C{c}_4}$ um${\displaystyle M_{0,4}}$ ab${\displaystyle A}$ bis auf die${\displaystyle x}$-Achse, Schnittpunkt ist${\displaystyle H_{0,8}.}$
16. Ziehe den Kreisbogen${\displaystyle c_3}$ mit dem Radius${\displaystyle |O{P}_0|}$ um${\displaystyle H_{0,8},}$ Schnittpunkte mit dem Umkreis${\displaystyle c_1}$ sind die Eckpunkte${\displaystyle P_1}$ und${\displaystyle P_{16},}$ somit ist die Strecke${\displaystyle \overline{P_0{P}_1}}$ die erste Seite des gesuchten 17-Ecks.
17. Ein vierzehnmaliges Abtragen der Strecke${\displaystyle \overline{P_0{P}_1}}$ auf dem Umkreis${\displaystyle c_1,}$ ab dem Eckpunkt${\displaystyle P_1}$ gegen den Uhrzeigersinn, ergibt der Reihe nach die Eckpunkte${\displaystyle P_2}$ bis${\displaystyle P_{15}.}$ Abschließend verbinde die so gefundenen Punkte${\displaystyle P_1,P_2,\dots ,P_{16}}$ und${\displaystyle P_0,}$ dann ist das 17-Eck fertiggestellt.

Anlässlich der 150. Wiederkehr des Todestages von Carl Friedrich Gauß am 23. Februar 2005 gab es in Göttingen im Alten Rathaus am Markt vom 23. Februar bis zum 15. Mai 2005 die Ausstellung„Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Der Katalog zu dieser Ausstellung, herausgegeben von Elmar Mittler, enthält Aufsätze in diversen Rubriken. Im AbschnittMathematik ist der Beitrag17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal von Hans Vollmayr zu finden.^[11] Die im Folgenden dargestellte Konstruktion ist prinzipiell den KapitelnDas Siebzehneck: die Rechnung^[28] undDas Siebzehneck: die Zeichnung^[29] entnommen.

Die Kurzfassung der Formel für den Kosinus des Zentriwinkels (sieheEigenschaften),

${\displaystyle \cos \left(\frac{2\pi }{17}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(q+\sqrt{q^2-2q^{\prime }}\right),}$

erleichtert eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die mithilfe der Hilfsgrößen, quasi Schritt für Schritt, den Kosinus des Zentriwinkels liefert. Ein möglicher Lösungsweg ist, die Hilfsgrößen zeichnerisch separat in drei Bildern (1–3) mit elementarenalgebraischen Operationen darzustellen. Dies macht die Konstruktion übersichtlich und allgemein gut nachvollziehbar.

Darin gilt${\displaystyle p=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}}$ und${\displaystyle q=\frac{p+\sqrt{1+p^2}}{2}.}$

1. Ab Punkt${\displaystyle A}$ eineHalbgerade ziehen, darauf${\displaystyle B}$ mit${\displaystyle \overline{AB}=1,}$Lot aufStrecke${\displaystyle \overline{AB}}$ in${\displaystyle A}$ errichten und${\displaystyle \overline{AB}}$ ab${\displaystyle A}$ auf Lot übertragen ergibt${\displaystyle C.}$
2. Lot auf${\displaystyle \overline{AB}}$ in${\displaystyle B}$ mit Länge${\displaystyle =\frac{1}{4}\cdot \overline{AB}}$ ergibt${\displaystyle D,}$ anschließend Halbgerade von${\displaystyle A}$ durch${\displaystyle D}$ ergibt${\displaystyle \overline{AD}=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{17}.}$
3. Kreis um${\displaystyle D}$ durch${\displaystyle B}$ ergibt${\displaystyle E}$ auf Halbgerade,${\displaystyle \overline{AE}}$ ist Hilfsgröße${\displaystyle p.}$
4. Viertelkreis um${\displaystyle A}$ durch${\displaystyle E}$ ergibt${\displaystyle F}$ und${\displaystyle G,}$ nun${\displaystyle C}$ mit${\displaystyle F}$ verbinden, anschließendeParallele zu${\displaystyle \overline{CF}}$ ab${\displaystyle G}$ ergibt${\displaystyle H}$ sowie mit${\displaystyle \overline{AH}}$ dasQuadrat${\displaystyle p^2.}$
5. Zu${\displaystyle p^2}$ zweimal die Länge${\displaystyle 1=\overline{AC}}$ addieren, ergibt${\displaystyle I}$ und${\displaystyle J,}$ anschließend${\displaystyle \overline{AJ}}$ in${\displaystyle K}$ halbieren und um${\displaystyle K}$ über${\displaystyle \overline{AJ}}$Halbkreis ziehen.
6. Lot auf${\displaystyle \overline{AJ}}$ in${\displaystyle I}$ bis Halbkreis ergibt${\displaystyle \overline{IL}=\sqrt{p^2+1},}$ anschließend zu${\displaystyle \overline{IL}}$ ab${\displaystyle L}$ Hilfsgröße${\displaystyle p=\overline{AE}}$ addieren, ergibt${\displaystyle M.}$
7. ${\displaystyle \overline{IM}}$ in${\displaystyle N}$ halbieren ergibt Hilfsgröße${\displaystyle \overline{IN}=q.}$
8. Viertelkreis um${\displaystyle I}$ ab${\displaystyle J}$ ergibt${\displaystyle O,}$ anschließend Viertelkreis um${\displaystyle I}$ ab${\displaystyle N}$ ergibt${\displaystyle P.}$
9. ${\displaystyle O}$ mit${\displaystyle P}$ verbinden, anschließende Parallele zu${\displaystyle \overline{OP}}$ ab${\displaystyle N}$ ergibt${\displaystyle Q}$ sowie mit${\displaystyle \overline{IQ}}$ das Quadrat${\displaystyle q^2.}$

Darin gilt${\displaystyle p^{\prime }=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}}$ sowie${\displaystyle q^{\prime }=\frac{p^{\prime }+\sqrt{1+p^{\prime 2}}}{2}.}$

1. Ab Punkt${\displaystyle A^{\prime }}$ eine Halbgerade ziehen, darauf${\displaystyle B^{\prime }}$ mit${\displaystyle \overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}=1,}$ Lot auf Strecke${\displaystyle \overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}}$ in${\displaystyle A^{\prime }}$ errichten und${\displaystyle \overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}}$ ab${\displaystyle A^{\prime }}$ auf Lot übertragen ergibt${\displaystyle C^{\prime }.}$
2. Lot auf${\displaystyle \overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}}$ in${\displaystyle B^{\prime }}$ mit der Länge${\displaystyle \frac{1}{4}\cdot \overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}}$ ergibt${\displaystyle D^{\prime },}$ anschließend Halbgerade von${\displaystyle A^{\prime }}$ durch${\displaystyle D^{\prime }}$ ergibt${\displaystyle \overline{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{17}.}$
3. Kreis um${\displaystyle D^{\prime }}$ durch${\displaystyle B^{\prime }}$ ergibt${\displaystyle E^{\prime }}$ auf Halbgerade,${\displaystyle \overline{A^{\prime }{E}^{\prime }}}$ ist Hilfsgröße${\displaystyle p^{\prime }.}$
4. Viertelkreis um${\displaystyle A^{\prime }}$ durch${\displaystyle E^{\prime }}$ ergibt${\displaystyle F^{\prime }}$ und${\displaystyle G^{\prime },}$ nun${\displaystyle C^{\prime }}$ mit${\displaystyle F^{\prime }}$ verbinden, anschließende Parallele zu${\displaystyle \overline{C^{\prime }{F}^{\prime }}}$ ab${\displaystyle G^{\prime }}$ ergibt${\displaystyle H^{\prime }}$ sowie mit${\displaystyle \overline{A^{\prime }{H}^{\prime }}}$ das Quadrat${\displaystyle p^{\prime 2}.}$
5. Zu${\displaystyle p^{\prime 2}}$ zweimal die Länge${\displaystyle 1=\overline{A^{\prime }{C}^{\prime }}}$ addieren, ergibt${\displaystyle I^{\prime }}$ und${\displaystyle J^{\prime },}$ anschließend${\displaystyle \overline{A^{\prime }{J}^{\prime }}}$ in${\displaystyle K^{\prime }}$ halbieren und um${\displaystyle K^{\prime }}$ über${\displaystyle \overline{A^{\prime }{J}^{\prime }}}$ Halbkreis ziehen.
6. Lot auf${\displaystyle \overline{A^{\prime }{J}^{\prime }}}$ in${\displaystyle I^{\prime }}$ bis Halbkreis ergibt${\displaystyle \overline{I^{\prime }{L}^{\prime }}=\sqrt{p^{\prime 2}+1},}$ anschließend von${\displaystyle \overline{I^{\prime }{L}^{\prime }}}$ ab${\displaystyle L^{\prime }}$ Hilfsgröße${\displaystyle p^{\prime }=\overline{A^{\prime }{E}^{\prime }}}$ subtrahieren, ergibt${\displaystyle M^{\prime }.}$
7. ${\displaystyle \overline{I^{\prime }{M}^{\prime }}}$ in${\displaystyle N^{\prime }}$ halbieren ergibt mit${\displaystyle \overline{I^{\prime }{N}^{\prime }}}$ Hilfsgröße${\displaystyle q^{\prime }.}$

1. Ab Punkt${\displaystyle I}$ eine Halbgerade ziehen, darauf${\displaystyle q^2}$ aus Bild (1) übertragen ergibt${\displaystyle Q,}$ anschließend Länge${\displaystyle 1=\overline{AC}}$ aus Bild (1) ab${\displaystyle Q}$ übertragen ergibt${\displaystyle R.}$
2. Von${\displaystyle q^2}$ die Länge${\displaystyle 2q^{\prime }=\overline{I^{\prime }{M}^{\prime }}}$ aus Bild (2) ab Punkt${\displaystyle I}$ subtrahieren ergibt${\displaystyle S,}$ anschließend${\displaystyle \overline{SR}}$ in${\displaystyle T}$ halbieren und um${\displaystyle T}$ über${\displaystyle \overline{SR}}$ Halbkreis ziehen.
3. Lot auf${\displaystyle \overline{SR}}$ in${\displaystyle Q}$ bis Halbkreis ergibt${\displaystyle \overline{QU}=\sqrt{q^2-2q^{\prime }}.}$
4. Strecke${\displaystyle \overline{Q^{\prime }{U}^{\prime }}=\sqrt{q^2-2q^{\prime }}}$ einzeichnen und dazu Hilfsgröße${\displaystyle q=\overline{IN}}$ aus Bild (1) ab${\displaystyle U^{\prime }}$ addieren ergibt${\displaystyle V,}$ anschließend${\displaystyle \overline{Q^{\prime }V}}$ in${\displaystyle W}$ halbieren, die Strecke${\displaystyle \overline{WV}}$ ist der Kosinus${\displaystyle \cos \left(\frac{2\pi }{17}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(q+\sqrt{q^2-2q^{\prime }}\right)}$ des Zentriwinkels${\displaystyle \mu }$ des Siebzehnecks.
5. Um Punkt${\displaystyle W^{\prime }}$ Umkreis mit dem Radius${\displaystyle 1}$ (z. B. mit Strecke${\displaystyle \overline{QR}}$) ziehen, anschließend Radius einzeichnen, ergibt${\displaystyle P_{17}.}$
6. ${\displaystyle \overline{WV}=\cos \left(\frac{2\pi }{17}\right)}$ auf${\displaystyle \overline{W^{\prime }{P}_{17}}}$ ab${\displaystyle W^{\prime }}$ übertragen, ergibt${\displaystyle V^{\prime }.}$
7. Lot auf${\displaystyle \overline{W^{\prime }{V}^{\prime }}}$ in${\displaystyle V^{\prime }}$ bis Umkreis ergibt erstenEckpunkt${\displaystyle P_1}$ des entstehenden Siebzehnecks.
8. ${\displaystyle \overline{P_1{P}_{17}}}$ fünfzehnmal gegen den Uhrzeigersinn auf dem Umkreis abtragen und abschließend die benachbarten Ecken verbinden. Somit ist das regelmäßige Siebzehneck fertiggestellt.