EinSechzehneck oderHexadekagon (vonaltgriechischἑκκαιδεκάγωνοςhekkaidekágōnos, deutsch‚sechzehneckig‘)^[1] ist einPolygon mit 16 Seiten und 16 Ecken. Die Sechzehnecke können wie alle Polygone mit mind. vier Seiten in überschlagene und nicht überschlagene (einfache) Sechzehnecke unterteilt werden. Die einfachen wiederum in konkave und konvexe Sechzehnecke. Letztere lassen sich nach weiteren Kriterien wie Seitenlängen,Symmetrien oder Lage der Ecken unterscheiden.

Dieser Artikel behandelt im Folgenden dasregelmäßige Sechzehneck – daskonvex ist, sechzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamenUmkreis liegen – sowie regelmäßigeüberschlagene Sechzehnecke.

Schon bei den griechischen Mathematikern derAntike war bekannt, dass ein regelmäßiges Sechzehneck mitZirkel und Linealkonstruierbar ist. Dies wird deshalb möglich, weil es auch aus einem Quadrat bzw. Achteck durch (fortgesetzte) Verdoppelung der Eckenzahl generiert werden kann.

Größen eines regelmäßigen Sechzehnecks
Innenwinkel
Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel)
Seitenlänge
Umkreisradius
Inkreisradius
Höhe
Flächeninhalt

Die allgemeine Formel für Polygone liefert

${\displaystyle \alpha =\frac{n-2}{n}\cdot {180}^{\circ }=\frac{16-2}{16}\cdot {180}^{\circ }=\frac{14}{16}\cdot {180}^{\circ }=157,5^{\circ }.}$

Der Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel${\displaystyle \mu }$ wird von zwei benachbarten Umkreisradien${\displaystyle R}$ eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable${\displaystyle n}$ die Zahl${\displaystyle 16}$ einzusetzen:

${\displaystyle \mu =\frac{{360}^{\circ }}{n}=\frac{{360}^{\circ }}{16}=22,5^{\circ }.}$

Für die Berechnung der Seitenlänge${\displaystyle a}$ denkt man sich das Sechzehneck in 16 kongruente Dreiecke (Bestimmungsdreiecke) zerlegt. Nimmt man die Hälfte eines solchen Dreiecks, also ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten${\displaystyle \frac{a}{2}}$,${\displaystyle R}$ und${\displaystyle r}$ sowie mit dem halben Zentriwinkel${\displaystyle \frac{22,5^{\circ }}{2}=11,{25}^{\circ },}$ so gilt

${\displaystyle \sin (11,{25}^{\circ })=\frac{\frac{a}{2}}{R}=\frac{a}{2\cdot R};}$

durch Multiplikation mit${\displaystyle 2\cdot R}$ erhält man

${\displaystyle a=2\cdot R\cdot \sin (11,{25}^{\circ })\approx \mathrm{0,390}\cdot R.}$

Algebraischer Ausdruck:

${\displaystyle a=R\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.}$

Der Umkreisradius${\displaystyle R}$ bei gegebener Seitenlänge${\displaystyle a}$ beträgt

${\displaystyle R=\frac{a}{2\cdot \sin (11,{25}^{\circ })}\approx \mathrm{2,563}\cdot a.}$

Algebraischer Ausdruck:

${\displaystyle R=\frac{a}{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}.}$

Auch der Inkreisradius${\displaystyle r}$ lässt sich mithilfe eines halbierten Bestimmungsdreiecks ermitteln. Es ergibt sich

${\displaystyle \tan \left(11,{25}^{\circ }\right)=\frac{\frac{a}{2}}{r}=\frac{a}{2\cdot r};}$

durch Multiplikation mit${\displaystyle 2\cdot r}$ erhält man

${\displaystyle 2\cdot r\cdot \tan \left(11,{25}^{\circ }\right)=a}$

und weiter

${\displaystyle r=\frac{a}{2\cdot \tan \left(11,{25}^{\circ }\right)};}$

wegen

${\displaystyle \frac{1}{\tan \left(11,{25}^{\circ }\right)}=\cot \left(11,{25}^{\circ }\right)}$

gilt auch

${\displaystyle r=a\cdot \frac{1}{2}\cdot \cot \left(11,{25}^{\circ }\right)\approx \mathrm{2,514}\cdot a.}$

Algebraischer Ausdruck:

${\displaystyle a\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}.}$

Die Höhe${\displaystyle h}$ eines regelmäßigen Sechzehnecks ist das Doppelte des Inkreisradius.

${\displaystyle h=2\cdot r=\frac{a}{\tan \left(11,{25}^{\circ }\right)}=a\cdot \cot \left(11,{25}^{\circ }\right)\approx \mathrm{5,027}3\cdot a.}$

DerFlächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich aus${\displaystyle A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a.}$ In einem Bestimmungsdreieck ist die Höhe${\displaystyle h_a}$ gleich dem Inkreisradius${\displaystyle r}$. Der Flächeninhalt des gesamten Sechzehnecks, d. h. 16 Bestimmungsdreiecke, beträgt also

${\displaystyle A=\frac{16}{2}\cdot a\cdot r.}$

Mit dem inInkreisradius hergeleiteten Ausdruck für${\displaystyle r}$ folgt daraus

${\displaystyle A=\frac{16}{2}\cdot a\cdot a\cdot \frac{1}{2}\cdot \cot \left(11,{25}^{\circ }\right)=4\cdot a^2\cdot \cot (11,{25}^{\circ }).}$

Algebraischer Ausdruck:

${\displaystyle A=4\cdot a^2\cdot \left(\sqrt{2}+1\right)\cdot \left(\sqrt{4-2\sqrt{2}}+1\right)\approx \mathrm{20,109}\cdot a^2.}$

Da die Anzahl der Seiten eines Sechzehnecks eineZweierpotenz ist, kann die Fläche auch über den Umkreis mit demRadius${\displaystyle R}$ durch eine abgeleitete Formel ausVietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi berechnet werden:

${\displaystyle A=R^2\cdot \frac{2}{1}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=4\cdot R^2\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx \mathrm{3,061}\cdot R^2.}$

Im ersten Moment scheint es naheliegend, zuerst eineSeitenlänge desAchtecks mit dessenUmkreis zu zeichnen und anschließend den Mittelpunktswinkel${\displaystyle \mu }$ zu halbieren, um die Seitenlänge des Sechzehnecks zu erhalten. Es ist jedoch auch möglich, den Mittelpunktswinkel in weniger Konstruktionsschritten zu bestimmen.

• ES beginnt (Bild 1) mit dem Einzeichnen des Durchmessers${\displaystyle \overline{AB},}$ anschließend folgen um Punkt${\displaystyle A}$ und${\displaystyle B}$ je ein Kreisbogen mit Radius${\displaystyle \overline{AB},}$ die sich in${\displaystyle C}$ und${\displaystyle D}$ schneiden. Die Verbindungslinie${\displaystyle \overline{CD}}$ halbiert den Durchmesser${\displaystyle \overline{AB}}$ in${\displaystyle O.}$ Nach dem Ziehen des Umkreises wird der so entstandene Schnittpunkt${\displaystyle E_4}$ mit${\displaystyle B}$ verbunden. Nun zieht man einen Kreisbogen um${\displaystyle E_4}$ mit dem Radius${\displaystyle \overline{E_{4}O},}$ der die Verbindungslinie${\displaystyle \overline{E_{4}B}}$ in${\displaystyle F}$ schneidet. Schließlich folgt eineHalbgerade ab dem Mittelpunkt${\displaystyle O}$ durch${\displaystyle F}$ bis sie den Umkreis im Eckpunkt${\displaystyle E_1}$ schneidet. Somit ist die erste Seite${\displaystyle \overline{E_{1}B}}$ des entstehenden Sechzehnecks gefunden. Nach dem Einzeichnen der restlichen fünfzehn Seiten ist das Sechzehneck fertiggestellt.

Der Mittelpunktswinkel${\displaystyle \mu }$ mit der Winkelweite${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{16}=22,5^{\circ }}$ ergibt sich mithilfe der Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks${\displaystyle OF{E}_4:}$

${\displaystyle \mathrm{\angle }O{E}_{4}F={45}^{\circ },}$

${\displaystyle \mathrm{\angle }FO{E}_4=\mathrm{\angle }{E}_{4}FO=\frac{1}{2}\cdot \left({180}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)=67,5^{\circ }}$

daraus folgt

${\displaystyle \mathrm{\angle }BOF={90}^{\circ }-67,5^{\circ }=22,5^{\circ }}$

• Eine alternative Konstruktion (Bild 2) halbiert den Umkreisradius und einen${\displaystyle {45}^{\circ }}$-Winkel.

Die Konstruktion eines regelmäßigen Sechzehnecks bei gegebenerSeitenlänge (Bild 3) ist sehr ähnlich der desAchtecks bei gegebener Seitenlänge.)

Zuerst bezeichnet man die Endpunkte der Seitenlänge${\displaystyle a}$ mit${\displaystyle A}$ und${\displaystyle B.}$ Es folgen ein Kreisbogen mit dem Radius${\displaystyle a}$ um den Punkt${\displaystyle B}$ und ein zweiter mit gleichem Radius um${\displaystyle A}$; es ergeben sich die Schnittpunkte${\displaystyle R}$ und${\displaystyle S}$. Es geht weiter mit der Halbgeraden ab${\displaystyle R}$ durch${\displaystyle S}$ und derParallelen zu${\displaystyle \overline{RS}}$ ab dem Punkt${\displaystyle B}$, die den Kreisbogen um${\displaystyle B}$ in${\displaystyle T}$ schneidet. Nun wird der Punkt${\displaystyle T}$ mit${\displaystyle A}$ verbunden; es entsteht der Schnittpunkt${\displaystyle U}$. Anschließend halbiert eineWinkelhalbierende den Winkel${\displaystyle TBU}$; sie schneidet die Halbgerade${\displaystyle \overline{RS}}$ in${\displaystyle O}$. Somit ist der Mittelpunkt${\displaystyle O}$ des entstehenden Sechzehnecks bestimmt. Den Mittelpunktswinkel${\displaystyle 22,5^{\circ }}$ liefert die zweite Halbgerade ab${\displaystyle A}$ durch${\displaystyle O.}$ Nach dem Einzeichnen des Umkreises um${\displaystyle O}$ und durch${\displaystyle A}$ ergeben sich die Ecken${\displaystyle C}$ und${\displaystyle Q}$ des Sechzehnecks. Jetzt, die noch fehlende Seitenlängen${\displaystyle a}$ auf den Umkreis abtragen und abschließend die benachbarten Ecken zu einem fertigen Sechzehneck miteinander verbinden.

Der Mittelpunktswinkel${\displaystyle \mu }$ mit der Winkelweite${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{16}=22,5^{\circ }}$ ergibt sich mithilfe der Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks${\displaystyle BUA:}$

${\displaystyle \mathrm{\angle }BAU={45}^{\circ },}$

${\displaystyle \mathrm{\angle }AUB=\mathrm{\angle }UBA=\frac{1}{2}\cdot \left({180}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)=67,5^{\circ }}$

daraus folgt

${\displaystyle \mu =\mathrm{\angle }TBU=\mathrm{\angle }AOB={90}^{\circ }-67,5^{\circ }=22,5^{\circ }.}$

Ein regelmäßiges überschlagenes Sechzehneck ergibt sich, wenn beim Verbinden der sechzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugtenSehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigenSterne mitSchläfli-Symbolen${\displaystyle \left\{n/k\right\}}$, wobei${\displaystyle n}$ die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder${\displaystyle k}$-te Punkt verbunden wird.

Es gibt nur drei regelmäßige Sechzehnstrahlsterne, auch Hexadekagramme genannt.

Die „Sterne“ mit den Schläfli-Symbolen {16/2} und {16/14} sind regelmäßigeAchtecke bzw. die mit den Schläfli-Symbolen {16/4} und {16/12} sindQuadrate. Die Sterne mit den Schläfli-Symbolen {16/6} und {16/10} sindAchtersterne, auch Oktogramme genannt.

• Regelmäßige Sechzehnstrahlsterne
• 
  ${\displaystyle \left\{16/3\right\},\left\{16/13\right\}}$
• 
  ${\displaystyle \left\{16/5\right\},\left\{16/11\right\}}$
• 
  ${\displaystyle \left\{16/7\right\},\left\{16/9\right\}}$

ImGirih Kachelmuster in derAlhambra treten unter anderem auch sechzehneckige Symmetrien auf.

Im frühen 16. Jahrhundert warRaffael der erste Maler, der eine perspektivische Darstellung eines regelmäßigen sechzehneckigen Gebäudes darstellte und zwar in dem BildVermählung Mariä.^[2]

Sechzehneckig strukturierte Bauwerke sind z. B. das englischeA La Ronde aus dem 18. Jahrhundert, der niederländischeLeuchtturm Huisduinen des späten 19. Jahrhunderts und der ehemaligePanorama-Bau inLeipzig. Die im 19. Jahrhundert ursprünglich als Ausstellungsbau konzipierte BrüsselerGroße Moschee wurde im 20. Jahrhundert eine islamische Gebetsstätte. Auch kirchlicheZentralbauten weisen eine solche Struktur auf, wie insbesondere dieKuppel desPetersdoms inRom, derAachener Dom in der geometrischen Konzeption seineskarolingischenOktogons zusammen mit dem dieses umgebenden Umgang sowie die sechzehneckige Kapelle im Inneren desMagdeburger Doms^[3].

Commons: Sechzehnecke – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Sechzehneck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eric W. Weisstein:Hexadecagon. In:MathWorld (englisch).

1. ↑Henry George Liddell, Robert Scott: A Greek-English Lexicon. Abgerufen am 2. Juli 2024. 
2. ↑Veröffentlicht inNexus III: Architecture and Mathematics, Kim Williams (Hrsg.):Ospedaletto, Pisa: Pacini Editore, 2000, S. 147–156.
3. ↑ottostadt magdeburg: Die sechzehneckige Kapelle. Otto der Große im Magdeburger Dom. Tourist Information Magdeburg, 12. September 2019, abgerufen am 23. September 2019. 

• Polygon