EinSchwerefeld ist einKraftfeld, verursacht durchGravitation und gegebenenfalls bestimmteTrägheitskräfte. Die Feldstärke des Schwerefeldes ist dieSchwere,Formelzeichen${\displaystyle \overrightarrow{g}}$. Die Schwere ist die auf dieMasse bezogeneGewichtskraft einesProbekörpers, also dessenBeschleunigung, und hat dieSI-Einheit N/kg = m/s². Sie wird auchSchwerebeschleunigung oderFallbeschleunigung genannt. Mit dieser Beschleunigung setzt sich zum Beispiel einfrei fallender Körper in Bewegung.

${\displaystyle \overrightarrow{g}}$ ist einevektorielle Größe mit Betrag und Richtung. Die Richtung heißtLotrichtung. Der Betrag wird auchOrtsfaktor genannt, um zu betonen, dass${\displaystyle g}$ und damit auch das Gewicht eines Körpers vom Ort abhängen. In Deutschland beträgt die Fallbeschleunigung etwa 9,81 m/s² = 981 Gal. Die Variation über die Erdoberfläche beträgt wenige Gal.

Im engeren Sinne – insbesondere in denGeowissenschaften – ist das Schwerefeld einesHimmelskörpers zusammengesetzt aus dessenGravitationsfeld („Erdanziehung“) und der Zentrifugalbeschleunigung in demBezugssystem, das mit dem Körperrotiert.

In derHimmelsmechanik werden oft nicht-rotierende Bezugssysteme benutzt. Das Schwerefeld eines oder mehrerer Himmelskörper beruht dann nur auf Gravitation.

Im weiteren Sinne spricht man vom Schwerefeld in beliebig beschleunigten Bezugssystemen. Im Schwerefeld einerZentrifuge dominiert dieZentrifugalkraft. In frei fallenden Bezugssystemen (Bsp.Raumstation) herrschtSchwerelosigkeit.

Neben der direkten Messung der Beschleunigung eines frei fallenden Körpers kann man den Betrag der Fallbeschleunigung aus der Schwingungsdauer einesPendels berechnen. Ein modernesGravimeter ist eine spezielle Federwaage und erreicht eine Präzision von einem Mikrogal, ca. 10⁻⁹g. Man könnte damit auf derErde eine Höhenänderung von weniger als einem Zentimeter registrieren. Schwankungen desLuftdrucks beeinflussen den Auftrieb und verursachen damit Änderungen in der gleichen Größenordnung, Gebirge oder unterschiedlicheGesteinsdichten in der Erdkruste beeinflusseng sogar um bis zu 100 Milligal, etwas schwächer auchGezeitenkräfte infolge der Inhomogenität äußerer Gravitationsfelder, insbesondere von Mond und Sonne.

Die Fallbeschleunigung ist die Vektorsumme aus einem Gravitations- und einem Zentrifugalanteil:

${\displaystyle \overrightarrow{g}={\overrightarrow{g}}_{\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}+{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{Z}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{l}}}$

• DieGravitationsbeschleunigung wird durch dasGravitationsfeld verursacht. Sofern man den Himmelskörper alskugelsymmetrisch betrachten kann, berechnet sich die Gravitationsbeschleunigung nach demGravitationsgesetz:

${\displaystyle {\overrightarrow{g}}_{\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}=-\frac{GM}{r^2}{\overrightarrow{e}}_r}$

Hierbei ist${\displaystyle G}$ dieGravitationskonstante,${\displaystyle M}$ die Masse des Himmelskörpers,${\displaystyle r}$ der Abstand zwischen dem Schwerpunkt des Himmelskörpers und dem Probekörper und${\displaystyle {\overrightarrow{e}}_r}$ einEinheitsvektor, der vom Schwerpunkt des Himmelskörpers auf den Probekörper gerichtet ist. Falls die Masseverteilung des Himmelskörpers nichtisotrop ist, wie das meist der Fall ist, ergeben sich daraus Schwereanomalien.

• Die Zentrifugalbeschleunigung${\displaystyle {\overrightarrow{a}}_{\mathrm{Z}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{l}}}$ wirkt sich aus, weil man sich auf der Oberfläche des Himmelskörpers in einem mitrotierenden Bezugssystem befindet.

• Gezeitenkräfte entstehen durch den Einfluss anderer Himmelskörper (z. B. durch den Mond oder die Sonne). Ob diese Kräfte als Teil des Schwerefeldes betrachtet werden, ist eine Frage der Definition. In diesem Artikel werden sie nicht zum Schwerefeld gezählt.

Für das Schwerefeld an einer Planetenoberfläche ergibt sich daraus: Die Gravitationsbeschleunigung ist von der Höhe abhängig, denn nach dem Gravitationsgesetz ist${\displaystyle {\overrightarrow{g}}_{\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}\sim \frac{1}{r^2}}$. Ebenfalls aus dieser Beziehung folgt, dass durch dieAbplattung des Planeten der Abstand zum Planetenmittelpunkt an den Polen am kleinsten, die Gravitationswirkung deswegen am größten ist. Dazu kommt, dass an den Polen des Himmelskörpers die Zentrifugalbeschleunigung verschwindet, weil der Abstand von der Rotationsachse Null ist. Am schwächsten ist das Schwerefeld somit am Äquator: Dort ist die Zentrifugalbeschleunigung maximal und der Gravitationswirkung entgegen gerichtet und der Abstand zum Planetenmittelpunkt am größten.

Die Richtung der Fallbeschleunigung heißtLotrichtung. Diese Lotrichtung weist ungefähr zumGravizentrum des Himmelskörpers hin. Abweichungen entstehen (vonSchwereanomalien abgesehen) dadurch, dass die Zentrifugalbeschleunigung bei mittleren Breiten in einem schiefen Winkel zur Gravitationsbeschleunigung steht. Linien, die der Lotrichtung folgen, heißen Lotlinien. Sie sind dieFeldlinien des Schwerefeldes. Bewegt sich ein Körper im Schwerefeld, so weicht mit zunehmender Geschwindigkeit die Richtung der wirksamen Beschleunigung von der Lotrichtung ab. Dies kann als Wirkung derCorioliskraft gedeutet werden.

Flächen, auf denen das Schwerepotential konstant ist, heißenÄquipotentialflächen oderNiveauflächen des Schwerefeldes. Sie werden von den Lotlinien rechtwinklig durchstoßen. Beim Übergang von einer Niveaufläche zu einer höheren mussHubarbeit verrichtet werden, siehe auchPotential (Physik).

Da die Gewichtskraft einekonservative Kraft ist, ist die Fallbeschleunigung als zugehörige Feldstärke der negativeGradient einesPotentialsU,$\overrightarrow{g}(\overrightarrow{r})=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}U(\overrightarrow{r})$. In derphysikalischen Geodäsie wird aber nichtU, sondernW = −U verwendet undW trotz anderem Vorzeichen alsSchwerepotential (bei der Erde auchGeopotential) bezeichnet. Mit dieser Konvention ergibt sich dieSchwerebeschleunigung als Gradient desSchwerepotentials:^[1]

${\displaystyle \overrightarrow{g}(\overrightarrow{r})=+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}W(\overrightarrow{r})}$.

Das Schwerepotential setzt sich – ähnlich wie die Fallbeschleunigung selbst – aus einem Gravitations- und einem Zentrifugalanteil zusammen,

${\displaystyle W(\overrightarrow{r})=G\iiint \frac{\rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime })}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }+\frac{1}{2}(\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}{)}^2}$.

Darin ist der erste Summand dasGravitationspotential in der allgemeinen Form für einen ausgedehnten Körper mit derDichteverteilung${\displaystyle \rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime })}$. Für einenradialsymmetrischen Körper der MasseM vereinfacht es sich im Außenraum zu$G\frac{M}{r}$. Dieser Beitrag verschwindet im Unendlichen. Der zweite Summand, dessen Form voraussetzt, dass der Ursprung des Koordinatensystems auf der Rotationsachse liegt, ist das Potential derZentrifugalbeschleunigung. Es kann mit dem Abstand$r_{\perp }$ von der Rotationsachse auch als$\frac{1}{2}{\omega }^2{r}_{\perp }^2$ geschrieben werden. Dieser Beitrag verschwindet im Ursprung. Da beide Summanden nie negativ werden, nimmtW nur positive Werte an.^[2]:44,51[3]

Das SchwerepotentialW der Erde wird auchGeopotential genannt. Eine besonders wichtige Niveaufläche ist hier dasGeoid, auf dem das Schwerepotential den Wert

${\displaystyle W_0\approx W_{0,\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}}=62.636.856,0\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}$

annimmt. Der hier genannte Wert ist als „konventionelles Geoidpotential“ bekannt. Er wird unter anderem in der Definition derInternationalen Atomzeit^[4], vomInternationalen Dienst für Erdrotation und Referenzsysteme und von derIAU zur Definition derTerrestrischen Zeit verwendet.^[5] Bei ihm handelt es sich um den besten im Jahr 1998 bekannten Messwert. Neuere Messungen ergeben aber einen um etwa 2,6 m²/s² kleineren Wert fürW₀, was einem Höhenunterschied von 26 cm entspricht.^[5] Potentialdifferenzen werden häufig aufW₀ bezogen,

${\displaystyle C(P)=W_0-W_P=-{\int }_{P_0}^P\overrightarrow{g}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{s}}$,

und danngeopotentielle Kote genannt^[2]:72 (Einheitgeopotentieller Meter gpm). Wird die geopotentielle Kote durch dieNormalschwere geteilt, so ergibt sich diedynamische Höhe. Für mittlere Breiten entspricht die dynamische Höhe ungefähr der metrischen Höhe über dem Meeresspiegel. Der Abstand zweier Äquipotentialflächen hängt von der lokalen Schwerebeschleunigung ab: Je größer diese ist, desto geringer ist der Abstand.

Wählt man als Bezugssystem nicht die Oberfläche eines Planeten, sondern ein beliebiges beschleunigtes Bezugssystem, so kann die dort wirksame „Fall“-Beschleunigung ebenfalls als Schwerefeld verstanden werden. Auch die in diesem Bezugssystem herrschenden Kräfte setzen sich aus Gravitations- und Trägheitskräften zusammen.

Beispiele

• In einem frei fallenden Bezugssystem sind die Gravitationskraft und die Trägheitskraft entgegengesetzt gleich. Ein Körper im frei fallenden Bezugssystem ist also schwerelos, d. h. kräftefrei. Also ist das frei fallende Bezugssystem einInertialsystem. Auch eine Raumstation, die sich in einer Umlaufbahn um die Erde befindet, befindet sich im „freien Fall“, da ihre Bewegung ausschließlich durch die Gravitation bestimmt wird. Die Schwerelosigkeit, d. h. das Verschwinden des Schwerefeldes an Bord dieser Raumstation ist also nicht die Folge einer Abwesenheit der Gravitation, sondern die Folge eines Gleichgewichts von Gravitationskraft und Trägheitskraft (sieheSchwerelosigkeit).
• Ein Planet bewegt sich auf einer Umlaufbahn der Sonne auf einer Kreis- oder Ellipsenbahn. Wählt man nun die Achse Sonne-Planet als Bezugssystem für die Bewegung eines dritten Körpers, z. B. einer Raumsonde, so wird das für diesen Körper wirksame Schwerefeld durch das Zusammenwirken der Gravitation beider Himmelskörper und des Zentrifugalfelds aufgrund der Rotation des Bezugssystems bestimmt (sieheLagrange-Punkte).

Große Himmelskörper nehmen unter dem Einfluss ihres Schwerefeldes eine Form an, die einer der Niveauflächen entspricht. ImSchwerefeld der Erde wird jene Niveaufläche, die ungefähr der Höhe des Meeresspiegels folgt, alsGeoid bezeichnet. Sie ist durch die Zentrifugalbeschleunigung leichtabgeplattet. Diese Abplattung und die Abnahme derErdbeschleunigung (Fallbeschleunigung auf der Erde) mit der Höhe wird vonNormalschwereformeln berücksichtigt. Zusätzlich gibt es Schwereanomalien, d. h. globale, regionale und lokale Unregelmäßigkeiten, da die Masse sowohl in derErdkruste (Gebirge,Kontinentalplatten) als auch tiefer (inErdmantel und-kern) nicht gleichmäßig verteilt ist. DieSatellitengeodäsie bestimmt das Geoid mit Hilfe der Beobachtung vonSatellitenbahnen, sieheGradiometrie. Die Schwereanomalien erreichen die Größenordnung 0,01 % und 0,01° in Betrag bzw. Richtung, sieheLotabweichung, Schweregradient undVertikalgradient. Bis zu 100 m liegen zwischen dem Geoid und dem mittleren Ellipsoid.

Der Wert der Erdbeschleunigung variiert wegen der Zentrifugalkraft,Erdabplattung undHöhenprofil regional um einige Promille um den ungefähren Wert 9,81 m/s². Die Erdbeschleunigung beträgt 9,832 m/s² an den Polen und 9,780 m/s² am Äquator. Die Anziehung am Pol ist somit um ca. 0,5 % größer als am Äquator. Wenn die Erdanziehungskraft auf einen Menschen am Äquator 800 N beträgt, so erhöht sie sich deshalb an den Erdpolen auf 804,24 N.Im Jahr 2013 wurde ermittelt, dass die Erdbeschleunigung mit 9,7639 m/s² auf dem BergNevado Huascarán in denAnden (höchster BergPerus mit 6768 m) am geringsten ist.^[6][7]

1901 wurde auf der drittenGeneralkonferenz für Maß und Gewicht ein Standardwert, dieNormfallbeschleunigung, aufg_n = 9,80665 m/s² festgelegt,^[8][9] den Wert für 45° (nördlicher, oder südlicher) Breite und Meereshöhe,^[10] der sich schon in verschiedenen Landesgesetzen etabliert hatte. Er diente der Definitiontechnischer Maßeinheiten (DIN 1305).^[11]

In Deutschland ist die ortsabhängige Erdbeschleunigung imDeutschen Hauptschwerenetz 1996 (DHSN 96) festgehalten, welches eine Fortsetzung des (westdeutschen)DHSN 82 ist. Es ist neben demDeutschen Hauptdreiecksnetz für den Ort und demDeutschen Haupthöhennetz für die Höhe die dritte Größe zur eindeutigen Festlegung eines geodätischen Bezugssystems. Das deutsche Schwerenetz stützt sich auf ca. 16.000 Messpunkte, die Schwerefestpunkte.

Historisch bedeutsam war der von Kühnen und Furtwänger vomPotsdamer Geodätischen Institut 1906 bestimmte Wert 9,81274 m/s² in Potsdam. Potsdam wurde 1906 derFundamentalpunkt für die Bestimmung der lokalen Erdbeschleunigung mittels Differenzbestimmung, bis dasInternational Gravity Standardization Net 1971 eingeführt wurde.^[12][13]

Mit Einführung desIntegrierten Raumbezugs 2016 wurde das DHSN 96 durch dasDHSN 2016 abgelöst.

Wäre die Erde eine nicht rotierende, homogene Kugel, so ergäbe sich ein linearer Anstieg der Schwerebeschleunigung von null amErdmittelpunkt bis zu einem Maximum an der Erdoberfläche. Tatsächlich ist die Erde in Schichten unterschiedlicher Dichte aufgebaut. Daher ist der Zusammenhang zwischen der Tiefe und der Erdbeschleunigung komplizierter. ImErdkern wächst die Schwerebeschleunigung mit dem Abstand vom Erdmittelpunkt zunächst gleichmäßig an. An derKern-Mantel-Grenze (in ca. 2900 km vom Erdmittelpunkt), nach deren EntdeckernEmil Wiechert undBeno Gutenberg auchWiechert-Gutenberg-Diskontinuität genannt, erreicht sie ein Maximum von knapp 10,68 m/s². Dieser Effekt hat seine Ursache darin, dass der überwiegend metallische Erdkern mehr als doppelt so dicht wie derErdmantel und dieErdkruste ist. Von dort bis zu ca. 4900 km nimmt sie zunächst wieder langsam bis auf 9,93 m/s² ab, steigt nochmals bei 5700 km auf 10,01 m/s² und sinkt dann monoton, bis sie an der Erdoberfläche etwa 9,82 m/s² erreicht.

In der Nähe der Erdoberfläche nimmtg um etwa 3,1 µm/s² pro gestiegenem Meter ab. In der Meteorologie gibt man das Geopotential in der Atmosphäre alsÄquipotentialflächen an. Für die Praxis hat manHauptdruckflächen definiert (1000, 500, 200 hPa, und andere).

Außerhalb der Erde nimmt das Gravitationsfeld proportional zum Quadrat des Abstandes vom Erdmittelpunkt ab, während bei konstanter Position bzgl. Längen- und Breitengrad die Zentrifugalbeschleunigung proportional mit diesem Abstand zunimmt. Das Erdschwerefeld ist somit (wie das Schwerefeld jedes Körpers) prinzipiell unbegrenzt, wird aber mit wachsender Entfernung schnell schwächer. In niedrigen Satellitenhöhen von 300 bis 400 km nimmt die Erdbeschleunigung um 10 bis 15 % ab, in 5000 km um ca. 70 %. In einer Höhe von knapp 36.000 km heben sich beide Einflüsse exakt auf. Folglich bewegt sich ein Satellit auf einer solchengeostationären Umlaufbahn genau synchron mit der Erddrehung und verharrt auf demselben Längengrad.

Nur im Nahbereich eines schweren Himmelskörpers kann der Einfluss der anderen Himmelskörper in der Praxis vernachlässigt werden, da er dann sehr gering ist – der Einfluss des nahen Körpers ist dominierend.

Sterne und andere Gas- bzw. Plasmakörper haben eine nicht trivial definierteSternoberfläche, an der ihre Oberflächenbeschleunigung angegeben werden kann. Diese hängt nicht nur stark von ihrer Masse, sondern auch von ihrer Dichte ab. EinRiesenstern hat einen sehr viel größerenSternradius, wodurch seine Oberflächenbeschleunigung kleiner als die der Sonne ist.

Da die Oberflächenbeschleunigung von Himmelskörpern über viele Größenordnungen schwankt, wird sie in der Astrophysik häufig inlogarithmischer Form (log g) angegeben. Dabei wird die Oberflächenbeschleunigung g in der Einheit cm/s² implizit durch die Bezugsgröße 1 cm/s² geteilt (wodurch sie einheitenlos wird) und davon der Logarithmus zur Basis 10 berechnet. Zum Beispiel hat die Sonne eine Oberflächenbeschleunigung g von ca. 27.400 cm/s². Hieraus ergibt sich für log g ein Wert von ca. 4,44.

Durch die Rotation des Himmelskörpers verringert sich seine Schwerebeschleunigung durch die Zentrifugalbeschleunigung. Die folgende Tabelle enthält die Gravitations-, dieäquatoriale Zentrifugal- und die resultierende Schwerebeschleunigung der Sonne, der acht Planeten, Plutos und einiger Monde desSonnensystems. Das negative Vorzeichen der Zentrifugalbeschleunigung soll verdeutlichen, dass diese der Gravitationsbeschleunigung entgegengerichtet ist.

• Einflusssphäre (Astronomie)

• Douglas Roy Tate:Gravity measurements and the Standards Laboratory. In:U.S. National Bureau of Standards. Technical note, 491. Superintendent of Documents,United States Government Printing Office, Washington 1969.hdl:2027/mdp.39015077289141 HathiTrust Digital Library.
• Christoph Reigber, Peter Schwintzer:Das Schwerefeld der Erde. In:Physik in unserer Zeit.Band 34,Nr. 5, September 2003,S. 206–212,doi:10.1002/piuz.200301023. 

• Literatur von und über Schwerefeld im Katalog derDeutschen Nationalbibliothek
• Berechnen des Wertes der Schwerebeschleunigung für beliebige Orte (Gravity Information System derPTB)
• GGMplus – 200m-resolution maps of Earth’s gravity field Gallery. Western Australian Center for Geodesy, Curtin University

1. ↑Wolfgang Torge:Geodäsie. Reprint 2020 Auflage. Berlin/Boston 2020,ISBN 978-3-11-231529-3, 2. Das Schwerefeld Der Erde,S. 31. 
2. ↑^abcdWolfgang Torge:Geodäsie. 2. Auflage. de Gruyter, 2003,ISBN 3-11-017545-2 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
3. ↑Martin Vermeer:Physical geodesy. School of Engineering, Aalto University, 2020,ISBN 978-952-60-8940-9,S. 10, 88 (englisch,Volltext [PDF]):“In physical geodesy — unlike in physics — the potential is reckoned to be always positive …” 
4. ↑Resolution 2 of the 26th CGPM. On the definition of time scales. Bureau International des Poids et Mesures, 2018, abgerufen am 16. April 2021 (englisch). 
5. ↑^abA conventional value for the geoid reference potential W₀. (PDF) In: Unified Analysis Workshop 2017. Deutsches Geodätisches Forschungsinstitut, S. 5–7, abgerufen am 23. Februar 2020 (englisch). 
6. ↑Luh:Erdbeschleunigung schwankt stärker als gedachtdradio –Forschung Aktuell, 20. August 2013.
7. ↑Gravity Variations Over Earth Much Bigger Than Previously Thought in Science Daily vom 4. September 2013.
8. ↑Tagungsbericht der 3. Generalkonferenz für Maß und Gewicht, 1901, Seite 70, abgerufen am 2. September 2022 (französisch)
9. ↑Resolution 2 of the 3rd CGPM. Declaration on the unit of mass and on the definition of weight; conventional value ofg_n. Bureau International des Poids et Mesures, 1901, abgerufen am 16. April 2021 (englisch). 
10. ↑Tate, 1969.
11. ↑Norm DIN 1305Masse, Wägewert, Kraft, Gewichtskraft, Gewicht, Last; Begriffe (beuth.de).
12. ↑Landesamt für innere Verwaltung (LAiV) Mecklenburg-Vorpommern:Raumbezug - Lage-, Höhen- und Schwerefestpunktfelder (Memento vom 14. Januar 2014 imInternet Archive)
13. ↑Tate, 1969.
14. ↑Stanimir Metchev:Fundamental (Sub)stellar Parameters II. Surface Gravity (Vorlesungsfolien, 2009, englisch)
15. ↑^abDavid R. Williams: Planetary Fact Sheet - Metric. NASA, 29. November 2007, abgerufen am 4. August 2008 (englisch, inkl. Unterseiten). 
16. ↑Deutschschweizerische Mathematikkommission [DMK] und Deutschschweizerische Physikkommission [DPK] (Hrsg.):Formeln und Tafeln. 11. Auflage. Orell Füssli Verlag, Zürich 2006,ISBN 978-3-280-02162-0,S. 188. 

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