Rechteckfunktion DieRechteckfunktion , auchrect -Funktion, ist eineunstetige mathematische Funktion mit folgender Definition:
rect ( t ) = Π ( t ) = { 0 wenn | t | > 1 2 1 2 wenn | t | = 1 2 1 wenn | t | < 1 2 {\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Pi (t)={\begin{cases}0&{\text{wenn }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\text{wenn }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\text{wenn }}|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}} Alternative Definitionen, die vor allem im Bereich derSignalverarbeitung üblich sind, legen die Rechteckfunktion vereinfacht fest als:[ 1]
r e c t d ( t ) = { 1 wenn | t | ≤ 1 2 0 wenn | t | > 1 2 {\displaystyle \operatorname {rect_{d}} (t)={\begin{cases}1&{\text{wenn }}|t|\leq {\frac {1}{2}}\\[3pt]0&{\text{wenn }}|t|>{\frac {1}{2}}\end{cases}}} Die Rechteckfunktion kann auch mit Hilfe derHeaviside-Funktion Θ ( x ) {\displaystyle \Theta (x)}
rect ( t ) = Θ ( t + 1 2 ) ⋅ Θ ( 1 2 − t ) = Θ ( t + 1 2 ) − Θ ( t − 1 2 ) {\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \Theta \left({\frac {1}{2}}-t\right)=\Theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\Theta \left(t-{\frac {1}{2}}\right)} Dabei istΘ ( 0 ) = 1 2 {\displaystyle \Theta (0)={\tfrac {1}{2}}}
DieFourier-Transformation der Rechteckfunktion ergibt diesinc-Funktion sinc ( x ) = sin ( π x ) / ( π x ) {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)}
F { rect ( t ) } = sinc ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}=\operatorname {sinc} (f)} Das gilt auch fürr e c t d ( t ) {\displaystyle \operatorname {rect_{d}} (t)}
F { sinc ( t ) } = rect ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\{\operatorname {sinc} (t)\}=\operatorname {rect} (f)} Denn es istsinc ∉ L 1 ( R n ) {\displaystyle \operatorname {sinc} \notin L^{1}(\mathbb {R} ^{n})} temperierter Distributionen .
Eine Rechteckfunktion, die beit 0 {\displaystyle t_{0}} T {\displaystyle T}
rect ( t − t 0 T ) . {\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-t_{0}}{T}}\right)\,.} Die Rechteckfunktion ist als unstetige Funktion weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sieschwach differenzierbar . Allerdings ist eineDistributionenableitung durch die diracscheDelta-Distribution δ {\displaystyle \delta }
rect ′ ( t ) = δ ( t + 1 2 ) − δ ( t − 1 2 ) {\displaystyle \operatorname {rect} '(t)=\delta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\delta \left(t-{\frac {1}{2}}\right)} DieFaltung zweier gleicher Rechteckfunktionen ergibt dieDreiecksfunktion , die Integration eineRampenfunktion . Eine Form mitperiodischer Fortsetzung der Rechteckfunktion sind dieRademacherfunktionen . Eine weitere Form der periodischen Fortsetzung vonrect {\displaystyle \operatorname {rect} } 1 {\displaystyle \operatorname {1} }
Die mehrfache Faltung mitn ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
rect ( t ) ∗ rect ( t ) ∗ rect ( t ) ∗ ⋯ ⏟ n -mal {\displaystyle \underbrace {\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)*\dotsm } _{n{\text{-mal}}}} ergibt fürn → ∞ {\displaystyle n\to \infty } Gaußsche Glockenkurve .
↑ Hans Dieter Lüke:Signalübertragung. Grundlagen der digitalen und analogen Nachrichtenübertragungssysteme . 6., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1995,ISBN 3-540-58753-5 ,S. 2 . 
