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Rationale Funktion

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**rot:** Graph der gebrochenrationalen Funktion $f(x)={\tfrac {2(x+2)(x+1)(x-1)^{2}}{(x+1)(2x-1)}}$
**blau:** Polgerade durch die Polstelle bei $x=0{,}5$
**grün:**Asymptotenfunktion $g(x)=x^{2}+x/2-11/4$ , stetig behebbare Definitionslücke bei $x=-1$

{\displaystyle f(x)={\tfrac {2(x+2)(x+1)(x-1)^{2}}{(x+1)(2x-1)}}} — **rot:** Graph der gebrochenrationalen Funktion $f(x)={\tfrac {2(x+2)(x+1)(x-1)^{2}}{(x+1)(2x-1)}}$
**blau:** Polgerade durch die Polstelle bei $x=0{,}5$
**grün:**Asymptotenfunktion $g(x)=x^{2}+x/2-11/4$ , stetig behebbare Definitionslücke bei $x=-1$

Einerationale Funktion ist in derMathematik eineFunktion, die alsQuotient zweierPolynomfunktionen darstellbar ist. Sie hat also die Form

f(x)={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +b_{1}x+b_{0}}}={\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}}

mitnatürlichen Zahlen $m {\displaystyle m}$ und $n {\displaystyle n}$ . Die Zahlen $a_{m},\dotsc ,a_{0},b_{n},\dotsc ,b_{0}$ können beliebigereelle Zahlen (oder auchkomplexe Zahlen) sein; die einzige Einschränkung ist, dass $Q_{n}\neq 0$ sein muss. Die höchstenKoeffizienten $a_{m}$ und $b_{n}$ sollen nicht Null sein.

Abstrakter kann man für die Koeffizienten $a_{m},\dotsc ,a_{0},b_{n},\dotsc ,b_{0}$ Elemente eines beliebigen Körpers zulassen. Die rationalen Funktionen mit komplexen Koeffizienten gehören zu denmeromorphen Funktionen.

Allgemeiner kann man rationale Funktionen in mehreren Variablen sowie rationale Funktionen auf algebraischen Varietäten über beliebigen Körpern betrachten.

Einteilung

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Ist das Nennerpolynom $Q_{n}$ vom Grad $n=0$ , also konstant, so spricht man von einerganzrationalen Funktion oder von einerPolynomfunktion.
Kann man den Funktionsterm ausschließlich mit einem Nennerpolynom vom Grad $n>0$ darstellen, so handelt es sich um einegebrochenrationale Funktion.
- Ist $n>0$ und $m<n$ , so handelt es sich um eineecht gebrochenrationale Funktion.
- Ist $n>0$ und $m\geq n$ , so handelt es sich um eineunecht gebrochenrationale Funktion. Sie kann überPolynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden (siehe unten).

Beispiele für rationale Funktionen mit unterschiedlichen Zählergraden $m {\displaystyle m}$ und Nennergraden $n {\displaystyle n}$ :

Beispiel	alternative Schreibweise	m =	n =	Funktionstyp
$f\colon x\mapsto {\frac {3x^{3}-4x+5}{2}}$	$f\colon x\mapsto {\frac {3}{2}}x^{3}-2x+{\frac {5}{2}}$	3	0	ganzrational
$f\colon x\mapsto {\frac {2x-1}{x^{2}+1}}$		1	2	echt gebrochenrational
$f\colon x\mapsto {\frac {(x-1)^{2}\cdot (x+2)}{x\cdot (2-3x^{2})}}$	$f\colon x\mapsto {\frac {x^{3}-3x+2}{2x-3x^{3}}}$	3	3	unecht gebrochenrational
$f\colon x\mapsto x+1+{\frac {1}{x-1}}$	$f\colon x\mapsto {\frac {x^{2}}{x-1}}$	2	1	unecht gebrochenrational

Kurvendiskussion

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Anhand desFunktionsterms der rationalen Funktion $f={p \over q}\colon x\mapsto {\frac {p(x)}{q(x)}}$ lassen sich folgende Aussagen zumFunktionsgraphen machen (Kurvendiskussion).

Definitionsbereich, Nullstellen und Polstellen

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Die gebrochenrationale Funktion ist an den Nullstellen der Nennerfunktion $q {\displaystyle q}$ nicht definiert.

DieNullstellen einer gebrochenrationalen Funktion werden durch diejenigen Nullstellen der Zählerfunktion $p {\displaystyle p}$ bestimmt, die zum Definitionsbereich der gesamten Funktion gehören.

Ein Spezialfall ergibt sich, wenn eine reelle Zahl $a\in \mathbb {R}$ gleichzeitig Nullstelle des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms ist. Dann sind Zähler- und Nennerpolynom durch den zugehörigenLinearfaktor $x-a$ (eventuell sogar mehrfach) teilbar, das heißt, der Funktionsterm kann mit diesem Faktor (eventuell mehrfach)gekürzt werden.

Kommt $x-a$ imNenner $n {\displaystyle n}$ -mal öfter vor als imZähler (mit natürlicher Zahl $n {\displaystyle n}$ , $n>0$ ), so liegt einePolstelle vor ( $n {\displaystyle n}$ heißt dann die Vielfachheit der Polstelle);
andernfalls hat die rationale Funktion an der Stelle $a {\displaystyle a}$ einestetig hebbare Definitionslücke, und man kann die Funktionstetig fortsetzen

Beispiele:

Die Funktion $f\colon x\mapsto {\frac {x-1}{(2x-4)^{2}}}$ hat den Definitionsbereich $\mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \{2\}$ , da die Nennerfunktion $q\colon x\mapsto (2x-4)^{2}$ die Nullstelle $x=2$ hat, und die Nullstelle $x=1$ , da das die einzige Nullstelle der Zählerfunktion $p\colon x\mapsto x-1$ ist (und $x=1$ zu $\mathbb {D}$ gehört). $x=2$ ist eine (doppelte) Polstelle.
Die Funktion $f\colon x\mapsto {\frac {x^{2}-x}{x^{2}-1}}$ hat den Definitionsbereich $\mathbb {D} _{f}=\mathbb {R} \setminus \{\pm 1\}$ . Hier ist aber nun $x=1$ eine Nullstelle der Zähler- und der Nennerfunktion. Um den entsprechenden Linearfaktor $(x-1)$ zu kürzen, faktorisiert man Zähler und Nenner zunächst (durch Ausklammern bzw. Anwenden derbinomischen Formeln); das führt auf $f\colon x\mapsto {\frac {x\cdot (x-1)}{(x+1)\cdot (x-1)}}$ bzw. nach kürzen auf $f\colon x\mapsto {\frac {x}{x+1}}$ . Damit ergibt sich: $x=-1$ ist eine (einfache) Polstelle, $x=1$ dagegen eine stetig behebbare Definitionslücke von $f {\displaystyle f}$ , und $f {\displaystyle f}$ hat die Nullstelle $x=0$ (beachte: $x=1$ ist keine Nullstelle von $f {\displaystyle f}$ , da dieser Wert nicht zu $\mathbb {D}$ gehört!). Für diestetige Fortsetzung von $f {\displaystyle f}$ ergibt sich: ${\tilde {f}}(x)={\frac {x}{x+1}}$ und $\mathbb {D} _{\tilde {f}}=\mathbb {R} \setminus \{-1\}$ .

Asymptotisches Verhalten

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Für das Verhalten für $x {\displaystyle x}$ gegenUnendlich sind dieGrade $m {\displaystyle m}$ bzw. $n {\displaystyle n}$ des Zähler- bzw. Nennerpolynoms entscheidend:

Für $x\to \infty$ geht $f(x)$

(Fall 1) gegen $\operatorname {sgn} \left({\tfrac {a_{m}}{b_{n}}}\right)\cdot \infty$ , falls $m>n$ , wobei $\operatorname {sgn}$ dieVorzeichenfunktion darstellt.
(Fall 2) gegen ${\tfrac {a_{m}}{b_{n}}}$ , falls $m=n$ (dieAsymptote ist parallel zur $x {\displaystyle x}$ -Achse),
(Fall 3) gegen $0 {\displaystyle 0}$ (die $x {\displaystyle x}$ -Achse ist waagrechte Asymptote), falls $m<n$ ,

Für $x\to -\infty$ ergibt sich in den Fällen 2 und 3 jeweils derselbe Grenzwert wie für $x\to \infty$ . Im Fall 1 muss man Zähler- und Nennergrad noch genauer berücksichtigen:

Ist $m-n$ gerade, so ergibt sich derselbe Grenzwert wie für $x\to \infty$ .
Ist $m-n$ ungerade, so ändert sich im Vergleich zu $x\to \infty$ dasVorzeichen des Grenzwerts.

Beispiele:

Bei der gebrochenrationalen Funktion $f\colon x\mapsto {\frac {2x-1}{x^{2}+1}}$ ist der Zählergrad $m=1$ und der Nennergrad $n=2$ , der Grenzwert für $x\to \pm \infty$ ist also $0 {\displaystyle 0}$ .
Die gebrochenrationale Funktion $f\colon x\mapsto {\frac {x^{3}-3x+2}{2x-3x^{3}}}$ hat den Zählergrad $m=3$ und auch den Nennergrad $n=3$ ; da hier $a_{3}=1$ und $b_{3}=-3$ ist, ergibt sich für die Gleichung der waagrechten Asymptote: $y=-{\frac {1}{3}}$ .
Die gebrochenrationale Funktion $f\colon x\mapsto {\frac {x^{2}}{x-1}}$ hat den Zählergrad $m=2$ und den Nennergrad $n=1$ ; mit den Koeffizienten $a_{2}=1$ und $b_{1}=1$ ergibt sich also: $f(x)\to \operatorname {sgn} \left({\tfrac {1}{1}}\right)\cdot \infty =+\infty$ für $x\to \infty$ . Da hier $m-n=1$ ungerade ist, folgt für den Grenzwert für $x\to -\infty$ das umgedrehte Vorzeichen, also $f(x)\to -\infty$ . Diese Funktion kann man auch schreiben als $f\colon x\mapsto x+1+{\frac {1}{x-1}}$ , das heißt, die (schräge) Asymptote hat die Gleichung $y=x+1$ (und daraus ergibt sich auch leicht wieder das eben geschilderte Grenzverhalten).

Untersuchung mit Polynomdivision

Im oben genannten Fall 1 ( $m>n$ ) kann man den Funktionsterm mittelsPolynomdivision in eine Summe aus einem Polynom und einem echt gebrochenrationalen Term zerlegen; das Polynom beschreibt dann eine sogenannteAsymptotenkurve. Das oben beschriebene Verhalten der Funktionswerte für $x\to \pm \infty$ kann man auch einfacher erhalten, indem man nur das Verhalten dieser Asymptotenkurve untersucht. Im Sonderfall $m=n+1$ ergibt sich eine schräg verlaufende Asymptote.

Wie oben stehen $m {\displaystyle m}$ für den Grad des Zählerpolynoms $p(x)$ und $n {\displaystyle n}$ für den Grad des Nennerpolynoms $q(x)$ . Es werden wieder alle Fälle betrachtet (nicht nur $m>n$ ).

Mittels Polynomdivision von $p(x)$ durch $q(x)$ erhält man zunächst eine Darstellung

p(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x)

mit Polynomen $g(x)$ und $r(x)$ , wobei der Grad von $q(x)$ echt größer als der von $r(x)$ ist. Daraus folgt die nützliche Gleichung

f(x)={p(x) \over q(x)}=g(x)+{r(x) \over q(x)}

Dasasymptotische Verhalten von $f(x)$ ist nun dasselbe asymptotische Verhalten derganzrationalen Funktion („Asymptotenfunktion“) $g(x)$ . Der Quotient $r(x) \over q(x)$ spielt keine Rolle.

Wenn man sich die Mühe der Polynomdivision gemacht hat und die oben beschriebene nützliche Gleichung aufstellt, tut man sich mit der Fallunterscheidung leichter. Es gilt:

Fall 1: $m<n$ → $x {\displaystyle x}$ -Achse ist Asymptote: $g(x)=0$

Fall 2: $m=n$ → waagerechte Asymptote: $g(x)={\frac {a_{m}}{b_{n}}}$

Fall 3: $m=n+1$ → schräge Asymptote: $g(x)=bx+c$ mit $b={\frac {a_{m}}{b_{n}}}$ und $c={\frac {a_{m-1}}{b_{n}}}-{\frac {a_{m}b_{n-1}}{b_{n}^{2}}}$

Fall 4: $m>n+1$ → $g(x)$ ist ein Polynom vom Grad $m-n$ ; der Leitkoeffizient dieses Polynoms ist gleich ${\frac {a_{m}}{b_{n}}}$ .

Symmetrie

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Eine Polynomfunktion (ganzrationale Funktion) ist gerade/ungerade, wenn alleExponenten gerade/ungerade sind. Sind Zählerpolynom $p {\displaystyle p}$ und Nennerpolynom $q {\displaystyle q}$ von einem dieser beiden Typen, so ist auch die rationale Funktion $f {\displaystyle f}$ gerade oder ungerade:

Sind $p {\displaystyle p}$ und $q {\displaystyle q}$ beide gerade oder beide ungerade, so ist $f {\displaystyle f}$ gerade (d. h. der Graph istsymmetrisch zur y-Achse)
Ist $p {\displaystyle p}$ gerade und $q {\displaystyle q}$ ungerade, so ist $f {\displaystyle f}$ ungerade (d. h. der Graph istpunktsymmetrisch zum Ursprung); gleiches gilt, wenn $p {\displaystyle p}$ ungerade und $q {\displaystyle q}$ gerade ist.

In allen anderen Fällen, wenn also Zähler- oder Nennerfunktion oder beide weder gerade noch ungerade sind, sind Symmetrieeigenschaften von $f {\displaystyle f}$ schwieriger zu entscheiden. (Siehe auchKurvendiskussion undSymmetrie in der Geometrie).

Beispiele:

Der Graph zur Funktion $f {\displaystyle f}$ mit $f(x)={\frac {2x^{3}-3x}{x^{2}+1}}$ ist symmetrisch zum Ursprung, da $p {\displaystyle p}$ ungerade und $q {\displaystyle q}$ gerade, die Funktion insgesamt also ungerade ist.
Der Graph zur Funktion $f\colon x\mapsto {\frac {x^{5}-x^{3}}{x^{3}+x}}$ ist symmetrisch zur y-Achse, da $p {\displaystyle p}$ und $q {\displaystyle q}$ beide ungerade, die Funktion insgesamt also gerade ist. Das kann man auch anders sehen: Klammert man in Zähler und Nenner jeweilsx aus, kann man den Funktionsterm kürzen zu $f(x)={\frac {x^{4}-x^{2}}{x^{2}+1}}$ ; nun sind $p {\displaystyle p}$ und $q {\displaystyle q}$ gerade, die Funktion insgesamt also wiederum gerade.
Beim Graph zur Funktion mit dem Term $f(x)={\frac {x}{x-1}}$ ist zunächst keine Symmetrie erkennbar ( $p {\displaystyle p}$ ist ungerade, $q {\displaystyle q}$ aber weder gerade noch ungerade); man kann aber zeigen, dass der Graph symmetrisch zum PunktP(1|1) ist; es gilt nämlich:
$f(1+x)-1={\frac {1+x}{(1+x)-1}}-1={\frac {1+x}{x}}-{\frac {x}{x}}={\frac {1}{x}}$ und
$1-f(1-x)=1-{\frac {1-x}{(1-x)-1}}={\frac {x}{x}}+{\frac {1-x}{x}}={\frac {1}{x}}$ ,

also insgesamt:

f(1+x)-1=1-f(1-x)

, was eben gerade Symmetrie zum PunktP(1|1) bedeutet. Alternativ kann man auch zeigen, dass der Graph von

f {\displaystyle f}

aus dem Graph der Funktion

g\colon x\mapsto {\frac {1}{x}}

(welcher symmetrisch zum Ursprung ist) durch Verschieben um 1 in

x {\displaystyle x}

-Richtung und um 1 in

y {\displaystyle y}

-Richtung hervorgeht.

Ableitung

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ZumAbleiten gebrochenrationaler Funktionen muss man im Allgemeinen dieQuotientenregel verwenden; zusätzlich kann auch oft dieKettenregel nützlich sein, beispielsweise wenn die Nennerfunktion einePotenz einesBinoms ist. Vor dem Ableiten empfiehlt es sich oft, den Funktionsterm zunächst mit Hilfe einer Polynomdivision umzuschreiben und den übrigbleibenden echt gebrochenrationalen Term zu kürzen.

Beispiele:

Bei der Funktion $f\colon x\mapsto {\frac {2x-1}{(x^{2}+1)^{2}}}$ ist es sinnvoll, neben der Quotientenregel auch die Kettenregel anzuwenden, statt zunächst im Nenner die erstebinomische Formel anzuwenden. Mit der Kettenregel ergibt sich zunächst für die Ableitung der Nennerfunktion $q {\displaystyle q}$ (in der Quotientenregel meist mit $v {\displaystyle v}$ bezeichnet):
$q'(x)=2(x^{2}+1)\cdot 2x=4x(x^{2}+1)$ ,

und damit insgesamt für die Ableitungsfunktion von

f {\displaystyle f}

f'(x)={\frac {2\cdot (x^{2}+1)^{2}-(2x-1)\cdot 4x(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{4}}}

Nun kann man im Zähler einen Faktor

(x^{2}+1)

ausklammern und kürzen:

f'(x)={\frac {2\cdot (x^{2}+1)-(2x-1)\cdot 4x}{(x^{2}+1)^{3}}}

Vereinfachen des Zählers führt schließlich auf

f'(x)={\frac {-6x^{2}+4x+2}{(x^{2}+1)^{3}}}

Den Funktionsterm $f(x)={\frac {x^{4}+x^{3}-7x^{2}-12x-4}{3x^{3}+12x^{2}+12x}}$ bringt man mit Hilfe einer Polynomdivision zunächst auf die Form
$f(x)={\frac {1}{3}}x-1+{\frac {x^{2}-4}{3x^{3}+12x^{2}+12x}}$ ,

woran man auch gleich die Gleichung der schrägen Asymptote ablesen kann:

y={\frac {1}{3}}x-1

Faktorisieren von Zähler und Nenner führt dann auf

f(x)={\frac {1}{3}}x-1+{\frac {(x+2)(x-2)}{3x(x+2)^{2}}}

man kann also einen Faktor

(x+2)

kürzen. Schließlich hat man:

f(x)={\frac {1}{3}}x-1+{\frac {x-2}{3x^{2}+6x}}

;

in dieser Form kann man die Funktion nun deutlich leichter ableiten als in der ursprünglich gegebenen.

Mit Hilfe der Quotientenregel ergibt sich:

f'(x)={\frac {1}{3}}+{\frac {1\cdot (3x^{2}+6x)-(x-2)\cdot (6x+6)}{(3x^{2}+6x)^{2}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {-3x^{2}+12x+12}{(3x^{2}+6x)^{2}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {-x^{2}+4x+4}{3x^{2}(x+2)^{2}}}

Setzt man die erste Ableitung gleich Null, um die Extremstellen zu suchen, so empfiehlt es sich vorher, die beiden Brüche wieder zusammenzufassen:

f'(x)={\frac {x^{2}(x+2)^{2}-x^{2}+4x+4}{3x^{2}(x+2)^{2}}}={\frac {x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+4x+4}{3x^{2}(x+2)^{2}}}

Stammfunktion

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Im Gegensatz zu denganzrationalen Funktionen ist es bei gebrochenrationalen Funktionen oft relativ schwierig, eineStammfunktion zu finden.Dafür kann man, je nach Form der gebrochenrationalen Funktion, unter anderem folgende Regeln anwenden (meist muss man den Funktionsterm durch Umformungen und/oderSubstitution zunächst in eine passende Form bringen):

\int {\frac {1}{mx+a}}dx={\frac {1}{m}}\cdot \ln(mx+a)+C

für

m,a\in \mathbb {R} ,m\neq 0

\int {\frac {1}{(mx+a)^{n}}}dx={\frac {1}{m}}\cdot {\frac {-1}{n-1}}\cdot {\frac {1}{(mx+a)^{n-1}}}+C

für

m,a\in \mathbb {R} ,m\neq 0,n\in \mathbb {N} \setminus \{0;1\}

\int {\frac {1}{x^{2}+1}}dx=\arctan(x)+C

oder

=-\operatorname {arccot}(x)+C

\int {\frac {1}{x^{2}-1}}dx=\operatorname {artanh} (x)+C={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)

für

|x|<1

\int {\frac {1}{x^{2}-1}}dx=\operatorname {arcoth} (x)+C={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)

für

|x|>1

\int {\frac {u'(x)}{u(x)}}dx=\ln |u(x)|+C

für

u(x)\neq 0

Oft kann für die Bestimmung einer Stammfunktion auch diePartialbruchzerlegung hilfreich sein.Beispiele:

Gesucht sei eine Stammfunktion zu $f(x)={\frac {5x-1}{3x+2}}$ . Mittels einer Polynomdivision kann man das zunächst umschreiben zu:
$f(x)={\frac {5}{3}}-{\frac {13}{9x+6}}$ .

Anwenden der ersten Regel liefert dann als mögliche Stammfunktion:

F(x)={\frac {5}{3}}x-{\frac {13}{9}}\ln(9x+6)

Gesucht sei eine Stammfunktion zu $f(x)={\frac {x^{2}+1}{x^{2}-1}}$ , wobei $x {\displaystyle x}$ zwischen −0,5 und 0,5 liegen soll. Wieder kann man den Funktionsterm zunächst mittels einer Polynomdivision umschreiben:
$f(x)=1+{\frac {2}{x^{2}-1}}$ .

Anwenden der vierten Regel liefert dann als mögliche Stammfunktion:

F(x)=x+2\cdot \operatorname {artanh} (x)

Gesucht sei eine Stammfunktion zu $f(x)={\frac {x+2}{x^{2}+4x+5}}$ . Das kann auch geschrieben werden als
$f(x)={\frac {1}{2}}{\frac {2x+4}{x^{2}+4x+5}}={\frac {1}{2}}{\frac {u'(x)}{u(x)}}$ mit $u(x)=x^{2}+4x+5$ .

Anwenden der letzten Regel liefert dann als mögliche Stammfunktion:

F(x)={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+4x+5)

Eine Stammfunktion zu $f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x+2}}$ kann man mit Hilfe der Substitution $y=x+1$ bestimmen, nachdem man den Nenner mittelsquadratischer Ergänzung umgeformt hat:
${\begin{aligned}\int {\frac {1}{x^{2}+2x+2}}dx&=\int {\frac {1}{(x+1)^{2}+1}}dx=\int {\frac {1}{y^{2}+1}}dy\\&=\arctan(y)+C=\arctan(x+1)+C\end{aligned}}$
Eine Stammfunktion zu $f(x)={\frac {1}{x^{2}-x-6}}$ kann man mit Hilfe der Partialbruchzerlegung erhalten, nachdem man den Nenner zunächst faktorisiert hat:
${\begin{aligned}\int {\frac {1}{x^{2}-x-6}}dx&=\int {\frac {1}{(x-3)(x+2)}}dx=\int {\frac {1}{5}}\left({\frac {1}{x-3}}-{\frac {1}{x+2}}\right)dx\\&={\frac {1}{5}}\left(\ln(x-3)-\ln(x+2)\right)+C={\frac {1}{5}}\ln \left({\frac {x-3}{x+2}}\right)+C\end{aligned}}$

Rationale Funktionen in mehreren Variablen

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Eine rationale Funktion in Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ist eine Funktion der Form $f(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {P(x_{1},\ldots ,x_{n})}{Q(x_{1},\ldots ,x_{n})}}$ , wobei $P {\displaystyle P}$ und $Q {\displaystyle Q}$ Polynome in den Unbestimmten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ sind und $Q\not =0$ .

Beispiele

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$f(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}{1-x_{1}\ldots x_{n}}}$
$f(x,y)={\frac {xy}{x+y}}$
$f(m,M)={\frac {m}{2M+m}}g$

Stetigkeit

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DerDefinitionsbereich von $f {\displaystyle f}$ besteht aus denjenigen Punkten $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ , die entweder keine Nullstelle von $Q {\displaystyle Q}$ sind oder derenVielfachheit als Nullstelle von $P {\displaystyle P}$ mindestens so groß ist wie die Vielfachheit als Nullstelle von $Q {\displaystyle Q}$ . Rationale Funktionen sind in allen Punkten ihres Definitionsbereichesstetig.

Anwendungen

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Rationale Funktionen haben vielfältige Anwendungen in Naturwissenschaften und Technik:

Viele Größen sind umgekehrt proportional zueinander, eine der Größen ist also eine rationale Funktion der anderen, wobei der Zähler konstant und der Nenner eine (homogene)lineare Funktion ist. Einige wenige Beispiele:
- Die Geschwindigkeit $v {\displaystyle v}$ und die für eine feste Strecke $s {\displaystyle s}$ benötigte Zeit $t {\displaystyle t}$ sind umgekehrt proportional zueinander: $t(v)={\tfrac {s}{v}}$
- DieKonzentration $c {\displaystyle c}$ eines Stoffes ist bei festerStoffmenge $n {\displaystyle n}$ umgekehrt proportional zum Volumen $V {\displaystyle V}$ des Lösungsmittels: $C(V)={\tfrac {n}{V}}$
- Beschleunigung undMasse sind bei fester Kraft $F {\displaystyle F}$ umgekehrt proportional zueinander: $a(m)={\tfrac {F}{m}}$ .
- Für dieKapazität $C {\displaystyle C}$ einesPlattenkondensators gilt in Abhängigkeit vom Plattenabstand $d {\displaystyle d}$ : $C(d)=\epsilon _{0}\epsilon _{r}{\tfrac {A}{d}}$ mit dem Flächeninhalt $A {\displaystyle A}$ der Platten, derelektrischen Feldkonstante $\epsilon _{0}$ und derPermittivität $\epsilon _{r}$ .
In vielen Bereichen der Physik kommen Funktionen von zwei Variablen $x {\displaystyle x}$ und $y {\displaystyle y}$ der folgenden Form vor: $f(x;y)={\tfrac {xy}{x\pm y}}$ . Ist eine der beiden Variablen, z. B. $y {\displaystyle y}$ , konstant oder wählt man sie alsParameter, so ergibt sich eine rationale Funktion (bzw.Funktionenschar) von $x {\displaystyle x}$ . Solche Funktionen treten immer dann auf, wenn sich der gesamteKehrwert irgendeiner Größe als Summe oder Differenz der Kehrwerte zweier anderer Funktionen ergibt.
- Mittels derLinsengleichung derOptik kann man dieBrennweite $f {\displaystyle f}$ als Funktion von Gegenstandsweite $g {\displaystyle g}$ und Bildweite $b {\displaystyle b}$ darstellen: $f(g;b)={\tfrac {gb}{g+b}}$ ; umstellen nach $g {\displaystyle g}$ oder $b {\displaystyle b}$ liefern eine sehr ähnliche Funktion, allerdings mit - statt mit +.
- Für denGesamtwiderstand $R {\displaystyle R}$ einerParallelschaltung zweierWiderstände $R_{1}$ und $R_{2}$ ergibt sich: $R={\tfrac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$ ; eine analoge Formel gilt bei derReihenschaltung zweierKondensatoren.
- In derMechanik ergibt sich, wenn man zweiFedern mitFederkonstanten $D_{1}$ und $D_{2}$ aneinander hängt, für die gesamte Federkonstante $D {\displaystyle D}$ der Anordnung: $D={\tfrac {D_{1}D_{2}}{D_{1}+D_{2}}}$
Bei einemSpannungsteiler ist die gesamte an einem Widerstand $R {\displaystyle R}$ abfallende Spannung $U {\displaystyle U}$ gegeben durch: $U(R)={\tfrac {U_{0}R}{R+R'}}$ , wobei $U_{0}$ die zu teilende Spannung und $R^{'} {\displaystyle R'}$ der andere Widerstand ist.
Für dieelektrische Leistung $P {\displaystyle P}$ , die ein Gerät mit Widerstand $R {\displaystyle R}$ erbringt, das an einerSpannungsquelle (Spannung $U {\displaystyle U}$ ) mitInnenwiderstand $R_{i}$ angeschlossen ist, ergibt sich: $P(R)={\tfrac {U^{2}R}{(R+R_{i})^{2}}}$ . Die größtmögliche Leistung (zu bestimmen mit Hilfe derDifferenzialrechnung) erhält man also dann, wenn $R=R_{i}$ ist (Leistungsanpassung).
Für dieInduktivität $L {\displaystyle L}$ einer (nicht zu kurzen)Spule in Abhängigkeit von ihrem Radius $r {\displaystyle r}$ gilt: $L(r)={\tfrac {\mu _{0}N^{2}\pi r^{2}}{l+r/1,1}}$ . Dabei ist $l {\displaystyle l}$ die Länge der Spule (man kann $L {\displaystyle L}$ also auch als rationale Funktion von $l {\displaystyle l}$ auffassen), $N {\displaystyle N}$ die Windungszahl und $\mu _{0}$ diemagnetische Feldkonstante.
Die Bremskraft $B {\displaystyle B}$ einerWirbelstrombremse hängt folgendermaßen von der Geschwindigkeit $v {\displaystyle v}$ ab: $B(v)={\tfrac {av}{b+v^{2}}}$ mit Konstanten $a {\displaystyle a}$ und $b {\displaystyle b}$ .
Bei derAtwoodschen Maschine hängt die Beschleunigung $a {\displaystyle a}$ folgendermaßen von den beiden Massen $m {\displaystyle m}$ und $M {\displaystyle M}$ ab: $a={\tfrac {m}{2M+m}}\cdot g$ ; man kann $a {\displaystyle a}$ also als rationale Funktion sowohl von $m {\displaystyle m}$ als auch von $M {\displaystyle M}$ auffassen.
Auch geometrische Fragestellungen führen oft auf rationale Funktionen. Beispiel: Bei einer Truhe, die aus einemQuader (Grundseitenlängen $l {\displaystyle l}$ und $2r$ , Höhe $r {\displaystyle r}$ ) mit aufgesetztem Halb-Zylinder (Höhe $l {\displaystyle l}$ , Radius $r {\displaystyle r}$ ) besteht, gilt für den Oberflächeninhalt $O {\displaystyle O}$ in Abhängigkeit von $r {\displaystyle r}$ bei gegebenem Volumen $V {\displaystyle V}$ : $O(r)={\tfrac {(\pi +4)r^{3}+2V}{r}}$ .

Abweichende Bedeutung in der abstrakten Algebra

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Rationale Funktionen über einem beliebigen Körper

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In derabstrakten Algebra wird der Begriff einerrationalen Funktion in einem allgemeineren und etwas unterschiedlichen Sinne verwendet. Und zwar versteht man unter einerrationalen Funktion in $n {\displaystyle n}$ Variablen $X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}$ über einemKörper $K {\displaystyle K}$ ein Element desQuotientenkörpers desPolynomrings $K\left[X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}\right]$ . Dieser Quotientenkörper wirdRationaler Funktionenkörper genannt.

Im Allgemeinen ist eine rationale Funktion also keine Funktion irgendeiner Art, sondern ein (formaler) Bruch aus zwei Polynomen. Die Umkehrung muss nicht gelten, der Unterschied macht sich allerdings nur überendlichen Körpern bemerkbar: So ist z. B. für jede Primzahl $p {\displaystyle p}$ über dem endlichen Körper $\mathbb {F} _{p}$ (dem Körper aller Restklassen ganzer Zahlen modulo $p {\displaystyle p}$ ) der Bruch ${\tfrac {1}{X^{p}-X}}$ einewohldefinierte rationale Funktion in der Variablen $X {\displaystyle X}$ , aber keine Funktion im eigentlichen Sinne des Begriffes, weil man in diese Funktion keinen einzigen Wert einsetzen darf, ohne dass der Nenner 0 wird. (Denn setzt man irgendein $x\in \mathbb {F} _{p}$ in diese „Funktion“ ein, erhält man ${\tfrac {1}{x^{p}-x}}$ , was undefiniert ist, weil der Nenner $x^{p}-x$ nach demkleinen Fermatschen Satz gleich 0 ist.) Über unendlichen Körpern allerdings ist eine rationale Funktion immer eine Funktion, die zwar eine Definitionslücke haben kann, aber diese Definitionslücke ist nur sehr klein im Vergleich zum Definitionsbereich. Dieser Gedanke wird mit dem Begriff derZariski-Topologie formalisiert: Die Definitionslücke ist eine Zariski-abgeschlossene Menge, und dieabgeschlossene Hülle des Definitionsbereiches ist die ganze Menge.

Rationale Funktionen auf einer algebraischen Varietät

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Sei $V {\displaystyle V}$ einealgebraische Varietät definiert durch Polynome $f_{1},\dotsc ,f_{m}\in k\left[x_{1},\dotsc ,x_{n}\right]$ , also

V=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ für alle }}f\in S\}.

Sei

I(V)=\{f\in k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]\mid f(x)=0{\text{ für alle }}x\in V\}.

Der Ring derganzen Funktionen ist $k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]/I(V)$ . Der Körper derrationalen Funktionen ist derQuotientenkörper des Ringes derganzen Funktionen.

Allgemeiner gibt es den Begriffrationaler Abbildungen zwischen (quasi-projektiven) Varietäten. Rationale Funktionen sind der Spezialfall rationaler Abbildungen von einer Varietät nach $\mathbb {A} ^{1}$ .

Weblinks

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Commons: Rationale Funktionen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

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Kategorie:

Mathematische Funktion

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