AlsQuersumme (oderZiffernsumme) bezeichnet man üblicherweise dieSumme derZiffernwerte einernatürlichen Zahl. So ist für die Zahl${\displaystyle n=36036}$ die dezimale Quersumme${\displaystyle q=3+6+0+3+6=18}$. Die Quersumme ist (ebenso wie dasQuerprodukt) abhängig vom verwendetenZahlensystem.

Neben der Quersumme als Summe der Ziffernwerte gibt es

• die alternierende Quersumme (wechselndes Addieren und Subtrahieren der Ziffernwerte),
• Operationen mit Ziffernpaaren, -tripeln usw.,
• stellenweise gewichtete Verfahren.

Wird die natürliche Zahl${\displaystyle n\in {\mathbb{N}}_0}$ zur Basis${\displaystyle b\in \mathbb{N}}$ mit${\displaystyle b\ge 2}$ als

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}{a}_i\cdot b^i=a_0\cdot b^0+a_1\cdot b^1+a_2\cdot b^2+\cdots +a_{k-1}\cdot b^{k-1}}$

dargestellt (${\displaystyle b}$-adische Darstellung mit den Ziffernwerten${\displaystyle a_i\in {\mathbb{N}}_0}$ und${\displaystyle 0\le a_i\le b-1}$), so ist die Summe ihrer Ziffernwerte

${\displaystyle q_b(n)=\sum _{i=0}^{k-1}{a}_i=a_0+a_1+a_2+\cdots +a_{k-1}}$

die Quersumme${\displaystyle q_b}$ von${\displaystyle n}$. Alternativ dazu kann die Quersumme auch als

${\displaystyle q_b(n)=\sum _{i=0}^{k-1}\frac{1}{b^i}\underset{=b^i\cdot a_i}{\underbrace{(n{modb}^{i+1}-n{modb}^i)}}}$

angegeben werden. Dabei ist

die Anzahl der Ziffern von${\displaystyle n}$.

Anmerkung: Hierbei sind${\displaystyle \mathrm{mod}}$ die mathematischeModulo-Funktion und${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ dieGaußklammer.

Dierekursive Definition der Quersumme${\displaystyle q_b(n)}$ der natürlichen Zahl${\displaystyle n\in {\mathbb{N}}_0}$ zur Basis${\displaystyle b\in \mathbb{N}}$ mit${\displaystyle b\ge 2}$ lautet:

DerGraph der Quersummenfunktion${\displaystyle q(n)}$ besitzt einen charakteristischen Verlauf. ImDezimalsystem steigt er für jeweils zehn aufeinanderfolgende${\displaystyle n}$ mit den Endziffern 0 bis 9 stetig – pro Schritt um 1 – an, um danach einen Zahlenschritt lang zu fallen. Niedrigster und höchster Wert der Anstiegsspanne verschieben sich dabei allerdings von Mal zu Mal um 1 nach oben.

Dieses Verhalten wiederholt sich in jederZehnerpotenz. Bei 10, 100, 1000 usw. fällt${\displaystyle q(n)}$ stets wieder auf 1. Daraus ergibt sich eineSelbstähnlichkeit des Graphen.

Einzig für${\displaystyle n=0}$ gilt${\displaystyle q(n)=0}$, für alle größeren Zahlen ist${\displaystyle q(n)\ge 1}$. Nach oben hin ist${\displaystyle q(n)}$ nicht beschränkt.

Bei jedem Eingeben und Übertragen von Zahlen können technische oder menschliche Fehler auftreten. Deshalb existieren Prüfverfahren, um die Datenintegrität zu gewährleisten. Eine simplePrüfsummen-Maßnahme ist das Bilden der Quersumme.

Die mit den Faktoren (10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1) gewichtete Quersumme einer ISBN-10 (veraltete Version) istmodulo 11 immer 0 (die Ziffer „X“ hat dabei den Zahlenwert von 10 und kann in der letzten Ziffer auftreten). Dies wird erreicht, indem die ersten 9 Ziffern das Produkt beschreiben und eine zehnte Ziffer (Prüfziffer) so angehängt wird, dass obige Forderung erfüllt ist.

Beispiel: Für dieISBN 3-442-54210-3 ist

${\displaystyle 3\cdot 1+4\cdot 2+4\cdot 3+2\cdot 4+5\cdot 5+4\cdot 6+2\cdot 7+1\cdot 8+0\cdot 9+3\cdot 10=132}$

${\displaystyle 132mod11=0}$

Also ist dies eine (formal) gültige ISBN.

• Sei Folgendes gegeben:
  • einStellenwertsystem mit der Basis${\displaystyle b=n+1}$ (wobei${\displaystyle n\in \mathbb{N}}$),
  • ein Teiler${\displaystyle t}$ von${\displaystyle n}$ (wobei${\displaystyle t\in \mathbb{N}}$),
  • eine natürliche Zahl${\displaystyle a}$.
• Dann gilt:
  • Die Zahl${\displaystyle a}$ ist genau dann durch${\displaystyle t}$teilbar, wenn ihre Quersumme (in diesem Stellenwertsystem) durch${\displaystyle t}$ teilbar ist.

Beispielsweise ist im Dezimalsystem die Basis 10, also${\displaystyle n=9}$. Damit ist${\displaystyle t\in \{1,3,9\}}$. Folglich kann man dieQuersummenregel zur Überprüfung der Teilbarkeit durch 3 und durch 9 anwenden.

ImHexadezimalsystem ist${\displaystyle n=15}$. Damit ist${\displaystyle t\in \{1,3,5,15\}}$. Somit kann man die Quersummenregel im Hexadezimalsystem zur Überprüfung der Teilbarkeit durch 3, durch 5 und durch 15 anwenden.

Allgemein gilt, dass die Quersumme${\displaystyle q_b}$ der Darstellung einer Zahl${\displaystyle a}$ im Stellenwertsystem mit der Basis${\displaystyle b}$ den Restmodulo${\displaystyle (b-1)}$ unverändert lässt, also

${\displaystyle q_b(a)\equiv a(\mathrm{mod}b-1)}$,

und die alternierende Quersumme${\displaystyle {\mathit{a}\mathit{q}\mathit{s}}_b}$ der Darstellung einer Zahl${\displaystyle a}$ im Stellenwertsystem mit der Basis${\displaystyle b}$ den Rest modulo${\displaystyle (b+1)}$ unverändert lässt, also

${\displaystyle {\mathit{a}\mathit{q}\mathit{s}}_b(a)\equiv a(\mathrm{mod}b+1)}$.

Für die Teilbarkeit einer Zahl durch3 oder9 kann stellvertretend ihre Quersumme herangezogen werden: Eine dezimal dargestellte Zahl${\displaystyle n}$ ist genau dann durch 3 bzw. 9 teilbar, wenn ihre Quersumme${\displaystyle q(n)}$ ohne Rest durch 3 bzw. 9 teilbar ist. Generell lässt${\displaystyle n}$ bei derDivision durch 3 oder 9 denselben Rest wie die Quersumme${\displaystyle q(n)}$:

${\displaystyle n\equiv q(n)(\mathrm{mod}3)}$ bzw.${\displaystyle n\equiv q(n)(\mathrm{mod}9)}$

(Oder anders ausgedrückt: Die Differenz einer Zahl und ihrer Quersumme ist immer durch 9 teilbar.)

Von der einfachen Quersumme wird weiter so lange die Quersumme gebildet, bis nur noch eine einstellige Zahl übrig bleibt.^[1]

Beispiel:

${\displaystyle q(93)=9+3=12;q(12)=1+2=3}$

Ist die Quersumme einer Zahlk eine mehrstellige Zahl, lässt sich der Vorgang so oft wiederholen, bis das Ergebnis nur noch eine Stelle im jeweiligenZahlensystem hat. Für die so erzeugten (stets einstelligen)iterierten Quersummen${\displaystyle \mathrm{qs}(k,t)}$ gilt (t sei wie oben wieder die Basis des Zahlensystems − 1):

Beispiel im Dezimalsystem:

${\displaystyle \mathrm{qs}(4582,9)=\mathrm{qs}(4+5+8+2,9)=\mathrm{qs}(19,9)=\mathrm{qs}(1+9,9)=\mathrm{qs}(10,9)=1}$,

und es ist

${\displaystyle 4582mod9=1}$.

Insbesondere ist also eine positive natürliche Zahl genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre iterierte Quersumme im Dezimalsystem 9 ist.

Siehe auch:Hash-Funktion und die dort genannten Verfahren.

Die alternierende Quersumme (auch Querdifferenz, Paarquersumme oder Wechselsumme genannt)^[2] erhält man, indem man die Ziffern einer Zahl abwechselnd subtrahiert und addiert. Dabei kann links oder rechts begonnen werden. Im Folgenden wird von rechts begonnen. So ist für die Zahln = 36036 die alternierende Quersumme aqs(n) = 6 − 3 + 0 − 6 + 3 = 0.

Gleichwertig dazu ist das folgende Verfahren (die Zählung der Ziffern soll wieder rechts beginnen):

1. Man addiert zum Wert der ersten Ziffer den der dritten, fünften, siebten usw.
2. Man addiert zum zweiten Ziffernwert den vierten, sechsten, achten usw.
3. Subtrahiert man nun von der ersten Summe die zweite, so erhält man die alternierende Quersumme.

Für die Teilbarkeit einer Zahl n durch11 kann stellvertretend ihre alternierende Quersumme aqs(n) herangezogen werden: Eine dezimal dargestellte Zahln ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme aqs(n) ohne Rest durch 11 teilbar ist.

Wiederholte Anwendung der alternierenden Quersumme liefert den Rest der Zahl bei Division durch 11, wobei negative Werte durch Addition von 11 zu normalisieren sind. Eine aqs von 11 zieht eine weitere Bildung einer aqs nach sich, die 0 liefert (also den Rest der Division von 11 durch 11).

Beispiel:

n = 25368744 + 8 + 3 + 2 = 177 + 6 + 5     = 18

17 - 18 = -1; -1 + 11 = 10

daraus folgt: Die Zahl 2536874 lässt bei Division durch 11 den Rest 10, ist also nicht durch 11 teilbar.

Die nichtalternierende 2er-Quersumme erhält man, indem man von rechts beginnend jeweils 2 Ziffern einer Zahl addiert. So ist für die Zahln = 36036 die 2er-Quersummeq = 36 + 60 + (0)3 = 99. Für alle Teiler von 99, also für 3, 9, 11, 33 und 99, ist sie ein Teilbarkeitskriterium: Die nichtalternierende 2er-Quersummeq einer dezimalen Zahln ist genau dann durch 3, 9, 11, 33 und 99 teilbar, wennn durch diese teilbar ist. 36036 ist also durch 99 teilbar.^[3]

Die nichtalternierende 3er-Quersumme vonn = 36036 istq = 36 + 036 = 72. Für alle Teiler von 999, also für 3, 9, 27, 37, 111, 333 und 999, ist sie ein Teilbarkeitskriterium: Die nichtalternierende 3er-Quersummeq einer dezimalen Zahln ist genau dann durch 3, 9, 27, 37, 111, 333 und 999 teilbar, wennn durch diese teilbar ist.

Bemerkung: Die nichtalternierendek-Quersumme ist identisch mit der nichtalternierenden Quersumme zur Basis${\displaystyle {10}^k}$. Sie liefert ein Teilbarkeitskriterium für alle Teiler von${\displaystyle {10}^k-1}$.

Die alternierende 2er-Quersumme erhält man, indem man von rechts gezählt die Ziffern an Position 3 und 4 von den Ziffern an Position 1 und 2 abzieht. Position 5 und 6 werden dazu addiert, Ziffern an Position 7 und 8 werden wieder abgezogen und so weiter. So ist für die Zahln = 36036 die alternierende 2er-Quersummeq = 36 − 60 + (0)3 = −21. Für 101 ist sie ein Teilbarkeitskriterium: Die alternierende 2er-Quersummeq einer dezimalen Zahln ist genau dann durch 101 teilbar, wennn durch 101 teilbar ist.^[3]

Die alternierende 3er-Quersumme vonn = 36036 istq = 036 - (0)36 = 0. Für alle Teiler von 1001, also für 7, 11, 13, 77, 91, 143 und 1001, ist sie ein Teilbarkeitskriterium: Die alternierende 3er-Quersummeq einer dezimalen Zahln ist genau dann durch 7, 11, 13, 77, 91, 143 und 1001 teilbar, wennn durch diese teilbar ist.

Bemerkung: Die alternierendek-Quersumme ist identisch mit der alternierenden Quersumme zur Basis${\displaystyle {10}^k}$. Sie liefert ein Teilbarkeitskriterium für alle Teiler von${\displaystyle {10}^k+1}$.

Eine Verallgemeinerung sindgewichtete Quersummen, bei denen die Ziffern erst mit den Werten einerZahlenfolge multipliziert und diese Ergebnisse dann addiert werden. Es wird dabei mit der niederwertigsten Ziffer begonnen (bei der einfachen Quersumme ist die Reihenfolge egal). Die Wichtungsfolge kann dabei periodischoder nichtperiodisch sein.Ein Beispiel ist diePeriodische Folge1, 3, 2, −1, −3, −2, … Die gewichtete Quersumme der Zahl 422625 ist (bei der niedrigsten Stelle angefangen):

5·1 + 2·3 + 6·2 − 2·1 − 2·3 − 4·2 = 5 + 6 + 12 − 2 − 6 − 8 = 7

Die so gewichtete Quersumme liefert eineTeilbarkeitsregel für die Zahl 7. Auch für andere natürliche Zahlen kann man solche periodischen Folgen finden, z. B.

• für 11 die Folge +1, −1, … Diese liefert die so genanntealternierende Quersumme
• für 13 die Folge 1, −3, −4, −1, 3, 4, …

Für die meisten Teiler ist es jedoch nicht praktikabel, die Teilbarkeit mittels Quersummenbildung zu überprüfen, weil es nur wenige gut merkbare periodische Wichtungsfolgen gibt.

Möchte man eine entsprechende Teilbarkeitsregel für die natürliche Zahlm finden, so betrachtet man die Reste der 10er-Potenzen bei der Division mitm. Die Reste entsprechen den gesuchten Gewichten.

Beispiel:m = 7

1 ≡ 1 (mod 7)

10 ≡ 3 (mod 7)

100 ≡ 2 (mod 7)

1000 ≡ −1 (mod 7)

10000 ≡ −3 (mod 7)

100000 ≡ −2 (mod 7)

1000000 ≡ 1 (mod 7) (ab hier wiederholen sich die Reste)

Die Wichtungsfolge lautet also 1, 3, 2, −1, −3, −2, …

• Querprodukt

Wiktionary: Quersumme – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• FolgeA007953 inOEIS

1. ↑Hans Schubart:Einführung in die klassische und moderne Zahlentheorie. Vieweg, Braunschweig 1974,ISBN 3-528-03313-4, S. 47.
2. ↑Quersumme. In: Herrmann Engesser (Bearb.):Der kleine Duden Mathematik. Bibliographisches Institut, Mannheim/ Wien/ Zürich 1986,ISBN 3-411-02180-2, S. 364.
3. ↑^abTeilbarkeitsregeln (PDF-Dokument), Seite 2. In: Olympiade-Mathematik.de

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• Zahlentheorie
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