Zwischen zwei veränderlichen Größen bestehtProportionalität, wenn sie in jedem Wertepaar im gleichenVerhältnis zueinander stehen. Sind die Quotienten z. B. einer Messreihe für die zusammengehörigen Wertepaare ähnlich, so besteht näherungsweise Proportionalität.

Proportionale Größen sind verhältnisgleich; das heißt, bei den proportionalen Größen${\displaystyle a}$ und${\displaystyle b}$ ist die Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, …) der Größe${\displaystyle a}$ stets mit einer Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, …) der Größe${\displaystyle b}$ verbunden, oder allgemein gesagt: Die Größe${\displaystyle b}$ geht aus der Größe${\displaystyle a}$ durch Multiplikation mit einem immer gleichen Faktor hervor. Bei diesem Zusammenhang wird das Verhältnis${\displaystyle b:a}$Proportionalitätsfaktor oderProportionalitätskonstante genannt.

Beispiele:

• Der Kreisumfang ist proportional dem Kreisdurchmesser; der Proportionalitätsfaktor ist dieKreiszahl${\displaystyle \pi }$ = 3,14159…
• Bei einem Kauf ist dieMehrwertsteuer proportional dem Nettopreis; der Proportionalitätsfaktor ist der Mehrwertsteuersatz, beispielsweise 0,19 (= 19 %).
• Für Gegenstände aus dem gleichen Metall ist die Masse näherungsweise proportional zum Volumen; der Proportionalitätsfaktor ist dieDichte.
• An einemWiderstand ist bei konstanter Temperatur dieStromstärke meist näherungsweise proportional zurSpannung; der Proportionalitätsfaktor ist der elektr.Widerstand.

Proportionalität ist ein Spezialfall derLinearität. Bei einem linearen Zusammenhang zweier Größen sind nicht deren Werte selbst zueinander proportional, sondern nur die Veränderungen bezogen auf ein Paar von zusammengehörenden Werten. Die grafische Darstellung eines linearen Zusammenhangs zwischen zwei reellen Größen ist in einemkartesischen Koordinatensystem eine Gerade. Im Fall der Proportionalität ist diese Gerade eineUrsprungsgerade, d. h. sie geht durch den gemeinsamen Nullpunkt. Ihre Steigung wird durch den Proportionalitätsfaktor bestimmt.

Gelegentlich wird die Proportionalität auch alsdirekte Proportionalität bezeichnet, während alsindirekte, inverse, umgekehrte oderreziproke Proportionalität der Zusammenhang bezeichnet wird, bei dem eine Größe proportional demKehrwert der anderen Größe ist. Statt desQuotienten der beiden Größen ist hierbei also ihrProdukt konstant. Der Graph ist eine Hyperbel und geht nicht durch den Nullpunkt.

DerKalkül desDreisatzes setzt eine proportionale Funktion voraus.

Euklid, Elemente Buch V, Definitionen 3–6.

Definition 5 lautet:

Definition 6:

Eine proportionaleFunktion ist einehomogene lineare Zuordnung zwischen Argumenten${\displaystyle x}$ und ihren Funktionswerten${\displaystyle y}$:

${\displaystyle y=m\cdot x}$

mit einem konstanten Proportionalitätsfaktor${\displaystyle m}$. Dabei ist der Faktor${\displaystyle m=0}$ nicht sinnvoll.

Da es bei Proportionalität gleichwertig ist, ob die Größe${\displaystyle y}$ aus der Größe${\displaystyle x}$ durch Multiplikation mit einem immer gleichen Faktor hervorgeht, oder umgekehrt${\displaystyle x}$ aus${\displaystyle y}$, gilt ferner

${\displaystyle x=\frac{1}{m}\cdot y}$ ;

dabei ist der Faktor${\displaystyle m=0}$ unzulässig.

ZweiVariable, für die das Verhältnis zusammengehöriger Werte${\displaystyle x_i}$ und${\displaystyle y_i}$ konstant ist, heißenproportional zueinander^[1]

${\displaystyle \frac{y_i}{x_i}=m}$ .

Proportionalität liegt demnach genau dann vor, wenn dieses Verhältnis${\displaystyle m}$ konstant ist; wenn es reell ist, kann espositiv oder negativ sein.

Die Tabelle gibt dieMasse verschiedenerVolumina von Öl an:

Volumen${\displaystyle x}$ in m3	Masse${\displaystyle y}$ in t
1	0,8
3	2,4
7	5,6

Die drei Wertepaare sind im Bild (rechts) als Punkte markiert. Berechnet man den Quotienten${\displaystyle y/x}$, Masse/Volumen, so erhält man stets denselben Wert 0,8 t/m³.

Allgemein gibt der Quotient${\displaystyle y/x}$ die Steigung der Geraden an und ist zugleich der Proportionalitätsfaktor der Zuordnung, hier mit der Bedeutung derDichte des Öls. Auch der umgekehrte Quotient${\displaystyle x/y}$ ist eine Proportionalitätskonstante, in diesem Fall mit der Bedeutung desspezifischen Volumens. Im Beispiel erhält man

Volumen/Masse = 1,25 m³/t

Wird an einem Draht mit einer Kraft${\displaystyle F}$ gezogen, so ergibt sich bei elastischem Verhalten eineDehnung${\displaystyle \epsilon }$ in Längsrichtung

${\displaystyle F=E\cdot A\cdot \epsilon }$

mit der Querschnittsfläche${\displaystyle A}$ und der Proportionalitätskonstanten${\displaystyle E}$ (Elastizitätsmodul). Dehnung bedeutet, dass sich die Länge${\displaystyle l}$ des Drahtes um${\displaystyle \mathrm{\Delta }l}$ ändert,${\displaystyle \epsilon =\frac{\mathrm{\Delta }l}{l}}$.

Mit der elastischen Längsdehnung verbunden ist bei einem homogenenisotropen Material eineQuerkontraktion, durch die sich sein Durchmesser${\displaystyle D}$ um${\displaystyle \mathrm{\Delta }D}$ ändert

${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }D}{D}=-\nu \cdot \frac{\mathrm{\Delta }l}{l}}$

mit der Proportionalitätskonstanten${\displaystyle \nu }$ (Poissonzahl).

Das Minuszeichen bedeutet: Bei einer Vergrößerung der Länge (positives${\displaystyle \mathrm{\Delta }l}$) verkleinert sich der Durchmesser (negatives${\displaystyle \mathrm{\Delta }D}$).

Für „a proportional zu b“ verwendet man dasTilde-Zeichen ~:^[2][3]

${\displaystyle a\sim b}$

Ebenfalls genormt ist die Schreibweise:

${\displaystyle a\propto b}$

Das Zeichen${\displaystyle \propto }$ leitet sich aus dem mittelalterlichenæ für lat.aequalis, dem Vorgänger desGleichheitszeichens, ab.

Es wird vonÜberproportionalität zwischen zwei Größen gesprochen, wenn die eine sich immer stärker ändert als die andere. Entsprechend spricht man vonUnterproportionalität bei einer systematisch schwächeren Änderung der anderen Größe. „Stärker“ und „schwächer“ bedeuten hierbei, wenn man es auf die Formulierung mit der Gleichung${\displaystyle y=m{x}^a}$ mit einem Exponenten${\displaystyle a}$ bezieht, dass bei normaler Proportionalität${\displaystyle a=1}$, bei Überproportionalität${\displaystyle a>1}$ und bei Unterproportionalität gilt.

Wikibooks:${\displaystyle \begin{array}{c}\mathbf{M}\mathbf{A}\mathbf{T}\mathbf{H}\mathbf{E}\mu \alpha T\mathbb{R}ix\end{array}}$ – Mathematik für die Schule

Wiktionary: proportional – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

1. ↑Siegfried Völkel u. a.:Mathematik für Techniker. Carl Hanser, 2014, S. 45.
2. ↑DIN 1302:1999:Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe.
3. ↑DINEN ISO 80000-2:2020:Größen und Einheiten – Teil 2:Mathematik.

• Proportionalität
• Folgen und Reihen