Dabei ist das Summenzeichen, die Zahlen sind die Koeffizienten (das können beispielsweise reelle Zahlen oder allgemeiner Elemente aus einem beliebigenRing sein) und ist die Unbestimmte.
Exponenten der Potenzen sindnatürliche Zahlen. Die Summe ist außerdem stets endlich. Unendliche Summen von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Unbestimmten heißenformale Potenzreihen.
In derelementaren Algebra identifiziert man diesen Ausdruck mit einer Funktion in (einerPolynomfunktion). In der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen einer Polynomfunktion und einem Polynom als Element einesPolynomrings. In der Schulmathematik wird eine Polynomfunktion oft auch alsganzrationale Funktion bezeichnet.
Dieser Artikel erklärt außerdem die mathematischen Begriffe:Leitkoeffizient,Normieren eines Polynoms undAbsolutglied.
Das WortPolynom bedeutet so viel wie „mehrnamig“. Es entstammt dem griech. πολύpolý „viel“ und όνομαonoma „Name“. Diese Bezeichnung geht zurück bis aufEuklids Elemente. In Buch X nennt er eine zweigliedrige Summe ἐκ δύο ὀνομάτων (ek dýo onomátōn): „aus zwei Namen (bestehend)“. Die BezeichnungPolynom geht aufViëta zurück: In seinerIsagoge (1591) verwendet er den Ausdruckpolynomia magnitudo für eine mehrgliedrige Größe.[1]
Im Gegensatz zur abstrakten Algebra werden Polynome in der elementaren Algebra als Funktionen aufgefasst. Daher wird in diesem Abschnitt der Begriff Polynomfunktion anstatt Polynom verwendet.
AlsGrad des Polynoms wird der höchsteExponent bezeichnet, für den der Koeffizient desMonoms nicht null ist. Dieser Koeffizient heißtLeitkoeffizient (auch:führender Koeffizient). (Die Schreibweise für den Grad des Polynoms ist vom englischen Begriffdegree abgeleitet. In der deutschsprachigen Literatur findet sich häufig auch die aus dem Deutschen kommende Schreibweise oder.)
Die Menge aller reellen Polynomfunktionen beliebigen (aber endlichen) Grades ist einVektorraum, der sich nicht offensichtlich mittelsgeometrischer Vorstellungen veranschaulichen lässt.
Für dasNullpolynom, bei dem alle Null sind, wird der Grad als definiert.[3]
Ist der Leitkoeffizient 1, dann heißt das Polynomnormiert oder auchmonisch.
Sind die Koeffiziententeilerfremd, bzw. ist derInhalt 1, dann heißt das Polynomprimitiv.
Der Koeffizient heißtAbsolutglied. wird alslineares Glied bezeichnet, alsquadratisches Glied und alskubisches.
ist ein Polynom dritten Grades gegeben (der höchste vorkommende Exponent ist). In diesem Beispiel ist derLeitkoeffizient (als Faktor vor der höchsten Potenz von), die weiteren Koeffizienten lauten und
AlsNullstellen einer Polynomfunktion oderWurzeln bzw.Lösungen einer Polynomgleichung werden jene Werte von bezeichnet, für die der Funktionswert null ist, das heißt, die die Gleichung erfüllen. Eine Polynomfunktion über einem Körper (oder allgemeiner einemIntegritätsring) hat stets höchstens so viele Nullstellen, wie sein Grad angibt.
Weiterhin besagt derFundamentalsatz der Algebra, dass eine komplexe Polynomfunktion (das heißt eine Polynomfunktion mitkomplexen Koeffizienten) vom Grad mindestens einekomplexe Nullstelle hat (reiner Existenzsatz). Dann gibt es genau Nullstellen (Polynomdivision), wenn die Nullstellen entsprechend ihrerVielfachheit gezählt werden. So ist beispielsweise die Nullstelle der Polynomfunktion einedoppelte. Im Ergebnis lässt sich jede komplexe Polynomfunktion positiven Grades in einProdukt vonLinearfaktoren zerlegen. Allgemein kann man zu jedem Körper einealgebraische Körpererweiterung finden, in der alle Polynome positiven Grades mit Koeffizienten in als Polynome über in Linearfaktoren zerfallen. In diesem Fall nennt man denalgebraischen Abschluss von.
Die Nullstellen von Polynomen ersten, zweiten, dritten und vierten Grades lassen sich mit Formeln exakt berechnen (zum Beispiel durch diepq-Formel für quadratische Gleichungen), dagegen lassen sich Polynomfunktionen höheren Grades nur in Spezialfällen mit Hilfe vonWurzelzeichen exakt faktorisieren. Dies ist die Aussage desSatzes von Abel-Ruffini.
In derabstrakten Algebra definiert man ein Polynom als ein Element eines Polynomringes. Dieser wiederum ist dieErweiterung des Koeffizientenringes durch ein unbestimmtes, (algebraisch) freies Element. Damit enthält die Potenzen () und deren Linearkombinationen mit. Dies sind auch schon alle Elemente, d. h., jedes Polynom ist eindeutig durch dieFolge
Umgekehrt kann ein Modell des Polynomrings durch die Menge der endlichen Folgen in konstruiert werden. Dazu wird auf eine Addition „“ als gliedweise Summe der Folgen und eine Multiplikation „“ durch Faltung der Folgen definiert. Ist also und, so ist
und
mit diesen Verknüpfungen ist nun selbst ein kommutativer Ring, derPolynomring (in einer Unbestimmten) über.
Identifiziert man die Unbestimmte als Folge, so dass, etc., so kann jede Folge wieder im intuitiven Sinne als Polynom dargestellt werden als
Bedenkt man nun, dass nach der Voraussetzung eine natürliche Zahl existiert, so dass für alle gilt, so lässt sich nach den obigen Überlegungen jedes Polynom über einem kommutativen unitären Ring eindeutig schreiben als. Dabei ist jedoch keine Funktion wie in der Analysis oder elementaren Algebra, sondern eine unendliche Folge (ein Element des Ringes) und ist keine „Unbekannte“, sondern die Folge. Man kann jedoch als „Muster“ benutzen, um danach eine Polynomfunktion (d. h. ein Polynom im gewöhnlichen analytischen Sinne) zu bilden. Dazu benutzt man den sogenanntenEinsetzungshomomorphismus.
Man sollte allerdings beachten, dass verschiedene Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können. Ist beispielsweise derRestklassenring, so induzieren die Polynome
Für Polynome über den reellen oder ganzen Zahlen oder allgemein jedem unendlichenIntegritätsring ist ein Polynom jedoch durch die induzierte Polynomfunktion bestimmt.
Auch die Menge der Polynomfunktionen mit Werten in bildet einen Ring (Unterring desFunktionenrings), der jedoch nur selten betrachtet wird. Es gibt einen natürlichen Ring-Homomorphismus von in den Ring der Polynomfunktionen, dessenKern die Menge der Polynome ist, die die Nullfunktion induzieren.
Allgemein versteht man jede Summe vonMonomen der Form alsmultivariates Polynom (in mehreren Unbestimmten):
Lies:„Groß-p von Groß-x-1 bis Groß-x-n (ist) gleich die Summe über alle i-1 bis i-n von a-i-1-bis-i-n mal Groß-x-1 hoch i-1 bis Groß-x-n hoch i-n“
Durch eineMonomordnung ist es möglich, die Monome in einem solchen Polynom anzuordnen und dadurch Begriffe wieLeitkoeffizient zu verallgemeinern.
Die Größe heißt derTotalgrad eines Monoms. Haben alle (nichtverschwindenden) Monome in einem Polynom denselben Totalgrad, so heißt eshomogen. Der maximale Totalgrad aller nichtverschwindenden Monome ist derGrad des Polynoms.
Die maximale Anzahl der möglichen Monome eines bestimmten Grades ist[4]
wobei die Anzahl der vorkommenden Unbestimmten und der Grad ist. Anschaulich wird hier ein Problem von Kombinationen mit Wiederholung (Zurücklegen) betrachtet.
Summiert man die Anzahl der möglichen Monome des Grades bis, erhält man für die Anzahl dermöglichen Monome in einem Polynom bestimmten Grades:
Sind alle Unbestimmten in gewisser Weise „gleichberechtigt“, so heißt das Polynomsymmetrisch. Gemeint ist, dass das Polynom sich bei Vertauschungen der Unbestimmten nicht ändert.
Auch die Polynome in den Unbestimmtenüber dem Ring bilden einen Polynomring, geschrieben als.
Lässt man auch in einem Polynom auch negative Exponenten zu, so erhält man einLaurent-Polynom. Entsprechend zu den formalen Potenzreihen können auch formaleLaurent-Reihen betrachtet werden. Es handelt sich dabei um Objekte der Form
Lies:„f (ist) gleich die Summe von i gleich minus (Groß-) n bis Unendlich von a-i (mal) (Groß-) x hoch i“
↑cf. Barth, Federle, Haller:Algebra 1. Ehrenwirth-Verlag, München 1980, S. 187, Fußnote **, dort Erklärung zur Bezeichnung „Binomische Formel“
↑math.tu-berlin.de Prof. Bürgisser / Dr. Lairez / P. Breiding, TU Berlin, Institut für Mathematik, Fakultät II, Algebra I, WS 2015/2016, Blatt 11, Aufgabe 2, Bemerkung, abgerufen am 8. April 2023
