DerPolylogarithmus ist einespezielle Funktion, die durch dieReihe

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_s(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^s}}$

definiert ist. Für${\displaystyle s=1}$ geht der Polylogarithmus in den gewöhnlichenLogarithmus über:

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_1(z)=-\ln (1-z)}$

In den Fällen${\displaystyle s=2}$ und${\displaystyle s=3}$ spricht man entsprechend vonDilogarithmus bzw.Trilogarithmus. Die Definition gilt fürkomplexe${\displaystyle s}$ und${\displaystyle z}$ mit. Durchanalytische Fortsetzung lässt sich diese Definition auf weitere${\displaystyle z}$ ausdehnen.

In den wichtigsten Anwendungsfällen ist${\displaystyle s=n}$ einenatürliche Zahl. Für diese Fälle kann man den Polylogarithmus rekursiv durch

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_0(z)=\frac{z}{1-z}}$

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_n(z)={\int }_0^z\frac{{\mathrm{Li}}_{n-1}(t)}{t}\text{d}t\text{für}n=1,2,3,\dots }$

definieren, wonach der Dilogarithmus ein Integral des Logarithmus ist, der Trilogarithmus ein Integral des Dilogarithmus und so fort. Für negative ganzzahlige Werte von${\displaystyle s}$ lässt sich der Polylogarithmus durchrationale Funktionen ausdrücken.

Der Polylogarithmus taucht beispielsweise im Zusammenhang mit derFermi-Dirac-Verteilung und derBose-Einstein-Verteilung auf. Zudem kann mit ihm im hexadezimalen Zahlensystem eine beliebige Stelle vonpolylogarithmischen Konstanten (z. B.${\displaystyle \pi }$) einzeln berechnet werden.

Einige explizite Funktionsterme für spezielle ganzzahlige Werte von${\displaystyle s}$:

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_1(z)=-\ln \left(1-z\right)}$

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_0(z)=\frac{z}{1-z}}$

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_{-1}(z)=\frac{z}{(1-z{)}^2}}$

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_{-2}(z)=\frac{z(1+z)}{(1-z{)}^3}}$

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_{-3}(z)=\frac{z(1+4z+z^2)}{(1-z{)}^4}}$

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_{-4}(z)=\frac{z(1+z)(1+10z+z^2)}{(1-z{)}^5}}$

Formal kann man${\displaystyle {\mathrm{Li}}_{-n}(z):=(z\frac{\text{d}}{\text{d}z}{)}^{n}H(z)}$ mit der (für alle${\displaystyle z}$ divergierenden) Reihe${\displaystyle H(z)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{z}^k}$ definieren. Obwohl diese Reihe nicht konvergiert, kann diese Definition zum Beweis von Funktionalgleichungen (im Ring der formal definiertenLaurent-Reihen) verwendet werden.

Für alle ganzzahligennichtpositiven Werte vom Index${\displaystyle n}$ kann der Polylogarithmus als Quotient von Polynomen geschrieben werden. In diesen Fällen ist er also einerationale Funktion.

Es gilt

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_s(1)=\zeta (s)}$

und

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_s(-1)=-\eta (s)}$

Der Buchstabe${\displaystyle \zeta }$ stellt dabei dieRiemannsche Zetafunktion und der Buchstabe${\displaystyle \eta }$ dieDirichletsche Etafunktion^[1] dar.

Für größeres${\displaystyle s}$ sind keine weiteren derartigen Formeln bekannt.

Die zwei bekanntesten Werte desDilogarithmus und somit desPolylogarithmus mit Indexzahl Zwei sind die folgenden Werte:

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_2(1)=\frac{1}{6}{\pi }^2}$

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_2(-1)=-\frac{1}{12}{\pi }^2}$

Diese beiden Werte gehen direkt aus der folgenden Integralidentität für denDilogarithmus hervor:

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_2(x)-\frac{1}{4}{\mathrm{Li}}_2(x^2)=\frac{1}{2}{\mathrm{Li}}_2(x)-\frac{1}{2}{\mathrm{Li}}_2(-x)={\int }_0^1\frac{\arcsin (xy)}{\sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}y}$

Durch das Einsetzen der Werte${\displaystyle x=1}$ sowie${\displaystyle x=-1}$ erscheinen direkt die soeben genannten Funktionswerte.

Und die nun gezeigte Formel geht wiederum aus dieserAreatangens-Hyperbolicus-Cardinalis-Formel durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich${\displaystyle x}$ hervor:

${\displaystyle \frac{1}{x}\mathrm{artanh}(x)={\int }_0^1\frac{y}{\sqrt{(1-x^2{y}^2)(1-y^2)}}\mathrm{d}y}$

Für die drei kleinsten positiven Werte vom Index${\displaystyle s}$ sind im Folgenden die Funktionswerte an der Stelle des inneren Klammerwertes${\displaystyle 1/2}$ angegeben:

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_1\left(\frac{1}{2}\right)=\ln 2}$

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{12}\left({\pi }^2-6{\ln }^{2}2\right)}$

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_3\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{24}\left(4{\ln }^{3}2-2{\pi }^2\ln 2+21\zeta (3)\right)}$

Die folgende Bildertafel zeigt die komplexen Ebenendiagramme für die Polylogarithmen.

Die erste Zeile zeigt die Diagramme für die Polylogarithmen von negativem Index und Nullindex und die zweite Zeile diejenigen von positivem Index:

Verschiedene Polylogarithmusfunktionen in der komplexen Ebene

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_{-3}(z)}$	${\displaystyle {\mathrm{Li}}_{-2}(z)}$	${\displaystyle {\mathrm{Li}}_{-1}(z)}$	${\displaystyle {\mathrm{Li}}_0(z)}$
${\displaystyle {\mathrm{Li}}_1(z)}$	${\displaystyle {\mathrm{Li}}_2(z)}$	${\displaystyle {\mathrm{Li}}_3(z)}$

Die Ableitung der Polylogarithmen sind wieder Polylogarithmen:

${\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}{\mathrm{Li}}_n(x)=\frac{1}{x}{\mathrm{Li}}_{n-1}(x)}$

Der Polylogarithmus lässt sich für alle komplexen${\displaystyle z,s}$ durch

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_s(z)=\frac{z}{2}+{\ln }^{s-1}\frac{1}{z}\mathrm{\Gamma }(1-s,-\ln z)+2z{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (s\arctan t-t\ln z)}{(1+t^2{)}^{s/2}({\mathrm{e}}^{2\pi t}-1)}\text{d}t}$

Auf derAbel-Plana-Summenformel basiert diese für den gesamten komplexen Raum gültige Gleichung.

mit Hilfe des Integralausdrucks für dieLerchsche Zeta-Funktion darstellen. Dabei ist${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(s,z)={\int }_z^{\mathrm{\infty }}{t}^{s-1}{\mathrm{e}}^{-t}\text{d}t}$ dieunvollständige Gammafunktion der unteren Grenze.

Die mehrdimensionalen Polylogarithmen sind folgendermaßen definiert:^[2]

${\displaystyle {\mathrm{L}}_{a_1,\dots ,a_m}(z)=\sum _{n_1>\cdots >n_m>0}\frac{z^{n_1}}{n_1^{a_1}\cdots n_m^{a_m}}}$

Der Polylogarithmus ist ein Spezialfall der transzendentenLerchschen Zeta-Funktion:

${\displaystyle {\mathrm{Li}}_s(z)=z\cdot \mathrm{\Phi }(z,s,1)}$

Nielsen fand folgende Verallgemeinerung für den Polylogarithmus:^[3]

${\displaystyle {\mathrm{S}}_{n,p}(z)=\frac{(-1{)}^{n+p-1}}{(n-1)!p!}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\left(\ln (t)\right)}^{n-1}{\left(\ln (1-zt)\right)}^p}{t}\text{d}t}$

Es gilt:

${\displaystyle {\mathrm{S}}_{n-1,1}(z)={\mathrm{Li}}_n(z)}$

• Fermi-Dirac-Integral
• Legendresche Chi-Funktion
• Debyesche Funktionen

• Alexander Goncharov:Polylogarithms in arithmetic and geometry. (PDF; 228 kB) In:Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Zürich, 1994). Birkhäuser, Basel 1995, Vol. 1, 2, S. 374–387.
• Milton Abramowitz,Irene Stegun:Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York 1964,ISBN 978-0-486-61272-0,Abs. 27.7.

• Eric W. Weisstein:Dilogarithm,Trilogarithm undPolylogarithm. In:MathWorld (englisch).
• David H. Bailey, David J. Broadhurst:A seventeenth-order polylogarithm ladder.arxiv:math.CA/9906134

1. ↑Eric W. Weisstein:Dirichlet Eta Function. In:MathWorld (englisch).
2. ↑Eric W. Weisstein:Multidimensional Polylogarithms. In:MathWorld (englisch).
3. ↑Eric W. Weisstein:Nielsen Generalized Polylogarithm. In:MathWorld (englisch).

• Analytische Funktion

• Wikipedia:Wikidata P2812 verschieden