DasTrigondodekaeder, ein Polyeder, das ausschließlich von 12 regelmäßigen Dreiecken begrenzt ist, die 18 Kanten bilden und die in 8 Ecken zusammenlaufen
Polyeder weisen neben planaren Flächen auch ausschließlich geradlinige Kanten auf, da sich planareFlächen alsTeilmenge vonEbenen nur inGeraden schneiden.
Polyeder weisen folgende Eigenschaften auf:
Topologie
Anzahl und Art der Seitenflächen
Lage der Seitenflächen zueinander
Anzahl und Länge der Kanten
Anzahl der Ecken
Anzahl der Flächen/Kanten in jeder Ecke
Größen
Volumen (wenn jede Fläche eine eindeutige Orientierung hat)
Konstruieren lassen sich Polyeder, indem mindestens vier Punkte (die nicht in einer Ebene liegen) durch Kanten miteinander verbunden werden. Die Eckenanzahl der entstehenden Begrenzungsflächen ist davon abhängig, wie viele Punkte jeweils in dieser Ebene liegen. Da drei Punkte je eine Ebene aufspannen, entstehen mindestens Dreiecke.Liegen vier oder mehr Punkte „geschickt“ in einer Ebene, entstehen als Begrenzungsflächen Vier- oder Mehrecke.
Konstruieren lassen sich Polyeder, indem der Raum durch mindestens vier Ebenen geteilt wird. Die Anzahl der notwendigen Ebenen ist die Anzahl der Flächen des Polyeders. Schnittpunkte zweier Ebenen bilden die Kanten des Polyeders (Anzahl), die Schnittpunkte dreier oder mehrerer Ebenen die Eckpunkte (Anzahl). Damit sich in einer Ecke mehr als drei Ebenen bzw. Flächen treffen, müssen sich „geschickt“ mehr als drei Ebenen in einem Punkt treffen.
Polyeder, wie sie uns im Alltag begegnen bzw. wie man sie von der Schulmathematik her kennt (vgl. vorhergehender Abschnitt), sind dreidimensional und beschränkt, also – im Sinne derTopologie –kompakte Teilmengen des dreidimensionalen euklidischen Raums. Sie zählen damit zu dengeometrischen Körpern. Ein Polyeder heißt dabei dreidimensional, wenn es in keiner Ebene vollständig enthalten ist. Ein Polyeder heißt beschränkt, wenn es eine Kugel gibt, in der es vollständig enthalten ist. Unbeschränkte Polyeder mit nur einer Ecke werden Polyederkegel genannt. Dazu zählen etwa dieTrieder (englischtrihedron).
Häufig sind dreidimensionale Polyeder zudemkonvex. Ein Polyeder heißt konvex, wenn für je zwei Punkte des Polyeders die Verbindungsstrecke zwischen diesen Punkten vollständig im Polyeder liegt. Zum Beispiel ist das nebenstehende Dodekaeder konvex. Ein Beispiel eines nicht-konvexen Polyeders ist das unten gezeigte toroidale Polyeder.
Reguläre Polyeder, platonische, archimedische, catalanische und Johnson-Körper
Alle Seitenflächen sindkongruent (deckungsgleich).
AlleEcken sind gleichartig, das heißt, für je zwei Ecken kann man das Polyeder sodrehen oderspiegeln, dass in überführt wird und das neue Polyeder mit dem ursprünglichen zur Deckung kommt.
Die Flächen eines orthogonalen Polyeders treffen sich imrechten Winkel. Seine Kanten verlaufen parallel zu den Achsen eineskartesischen Koordinatensystems. Mit Ausnahme desQuaders sind orthogonale Polyeder nicht konvex. Sie erweitern die zweidimensionalenorthogonalen Polygone in die dritte Dimension. Orthogonale Polyeder kommen in deralgorithmischen Geometrie zum Einsatz. Dort bietet ihre eingeschränkte Struktur Vorteile beim Bewältigen ansonsten ungelöster Probleme (beliebiger Polyeder). Ein Beispiel ist das Entfalten der Polyederflächen in ein polygonales Netz.
Chirale Polyeder sind Vielflächner, die topologisch nicht mit ihrem Spiegelbild übereinstimmen. Beispiele in drei Dimensionen sind der abgeschrägte Würfel und das schiefeDekaeder. Sie weisenHändigkeit auf, das heißt, sie besitzen eine rechtshändige und eine linkshändige Variante, die durch Spiegelung aufeinander abgebildet werden können.[5]
mit der Euler-Charakteristik. Für einenTorus zum Beispiel ist. Das rechts abgebildete Polyeder ist ein Beispiel dafür. Es hat 24 Ecken, 72 Kanten und 48 Flächen:.
Für alle Polyeder ist die Anzahl der Flächen mit ungerader Eckenanzahl (die jeweils gleich der Anzahl der Kanten ist) gerade. Das folgt daraus, dass die Summe der Anzahl der Kanten aller Seitenflächen gerade ist, weil diese Summe die doppelte Anzahl der Kanten des Polyeders ist.
Außerdem ist für alle Polyeder die Anzahl der Ecken, wo eine ungerade Anzahl von Flächen (die jeweils gleich der Anzahl der Kanten ist) zusammentrifft, gerade. Das folgt daraus, dass die Summe der Anzahl der Kanten, die an den Ecken zusammentreffen, gerade ist, weil diese Summe die doppelte Anzahl der Kanten des Polyeders ist.
Für jedes konvexe Polyeder gilt dieUngleichung, weil jede Fläche benachbart zu mindestens 3 Kanten ist und jede Kante genau 2 Flächen begrenzt. Daraus und aus derGleichung (Eulerscher Polyedersatz) folgt. Außerdem gilt, weil in jeder Ecke mindestens 3 Kanten zusammentreffen und zu jeder Kante genau 2 Ecken gehören. Daraus und aus dem eulerschen Polyedersatz folgt.
Ein konvexes Polyeder mit Flächen hat also mindestens und höchstens Ecken. Daraus folgt außerdem, dass ein Polyeder mit Ecken mindestens und maximal Flächen hat.
Ein Geodätisches Polyeder: minimale Anzahl von Ecken bei gegebener Anzahl von Flächen
Bei gegebener Anzahl von Flächen wird die minimale Anzahl von Ecken erreicht, wenn das Polyeder bei gerader Flächenzahl nur von Dreiecksflächen, bei ungerader Flächenzahl von einem Viereck und Dreiecken begrenzt wird. Das ist unter anderem beimTetraeder, beimOktaeder, beimIkosaeder, bei denDeltaedern, bei einigencatalanischen Körpern und bei allenDoppelpyramiden der Fall. Weitere Beispiele sind diegeodätischen Polyeder.
Ein Goldberg-Polyeder: maximale Anzahl von Ecken bei gegebener Anzahl von Flächen
Bei gegebener Anzahl von Flächen wird stattdessen die maximale Anzahl von Ecken erreicht, wenn sich in jeder Ecken immer nur 3 Flächen und 3 Kanten treffen. Das ist unter anderem beimTetraeder, beimWürfel, beimDodekaeder, bei einigenarchimedischen Körpern und bei allenPrismen der Fall. Weitere Beispiele sind dieGoldberg-Polyeder.
Diese Polyeder weisen für eine gegebene Anzahl von Flächen (oder Ecken) auch jeweils das Minimum oder das Maximum an Kanten auf.
Beispiele für Polyeder mit einer bestimmten Flächenzahl
Polyeder werden nur in Ausnahmefällen (im Allgemeinen der Körper mit maximaler Symmetrie, die platonischen Körper) nach der Anzahl der begrenzenden Flächen klassifiziert.
So versteht man unter Oktaeder (3,3,3,3,3,3,3,3) eher einen platonischen Körper als einen Zylinder mit sechsseitiger Grundfläche (6,6,4,4,4,4,4,4).
Die Anzahl von Polyedern mit verschiedenen Topologien bei gegebener Seitenanzahl wächst überexponential mit der Seitenanzahl.
Ein Tetraeder ist eindeutig.
Ein Pentaeder ist eine fünfseitige Pyramide oder ein dreiseitiges Prisma.
Bei Oktaedern gibt es schon 257 konvexe Polyeder, hinzu kommt noch eine größere Zahl an konkaven Polyedern.
Bei Dodekaedern gibt es schon mehr als 6 Millionen konvexe Polyeder, bei Tetradekaedern wird schon die Milliarde erreicht.
Der Name eines Polyeders weist im Allgemeinen auf dessen Verwandtschaft und dessen Konstruktionsprinzip hin, manchmal auch auf Gegenstände des alltäglichen Lebens.Polyeder, deren Name „-dekaeder“ enden, brauchen nicht einmal 12 Flächen zu haben (Ausgehöhltes Dodekaeder mit 20 Flächen), teilweise gibt es nur in der Konstruktionskette Zwölfflächner oder Polyeder, die von einer bestimmten Polygonart 12 Flächen haben (Rhombenikosidodekaeder mit 62 Flächen).
Für jedes konvexe Polyeder existiert einduales Polyeder. Das duale Polyeder hat genau eineFläche für jedeEcke von, und zwei Flächen von grenzen aneinander genau dann, wenn die entsprechenden Ecken von durch eine Kante verbunden sind. Die Ecken von wiederum entsprechen genau den Flächen von. Anders ausgedrückt: es gibt einebijektive Zuordnung der Ecken des Polyeders auf die Flächen des dualen Polyeders, so dass zwei Ecken von genau dann benachbart sind, wenn die zugeordneten Flächen von aneinander grenzen. Entsprechend sind auch die Kanten des Polyeders den Kanten des dualen Polyeders bijektiv zugeordnet. Ebenso gibt es eine Bijektion zwischen den Flächen von und den Ecken von. Das Dual des Würfels ist beispielsweise der Oktaeder (siehe Abbildung): jeder Seitenfläche des Würfels, also jedemQuadrat, entspricht eine Ecke des Oktaeders (in der Abbildung ist die Ecke gerade derMittelpunkt des Quadrats), und jeder Ecke des Würfels entspricht eine Seitenfläche des Oktaeders (die Ecke liegt genau senkrecht über dem Schwerpunkt dieses Dreiecks). Umgekehrt ist das Dual des Oktaeders wieder der Würfel.
Abstrakte Polyeder haben auch Duale, die zusätzlich erfüllen, dass sie die gleicheEuler-Charakteristik undOrientierbarkeit wie das ursprüngliche Polyeder haben. Diese Form derDualität beschreibt jedoch nicht die Form eines dualen Polyeders, sondern nur seinekombinatorische Struktur. Für einige Definitionen nichtkonvexer geometrischer Polyeder existieren Polyeder, deren abstrakte Duale unter derselben Definition nicht als geometrische Polyeder realisiert werden können.
Das Prinzip der Begrenzung des dreidimensionalen Raums durch ebene Flächen, also zweidimensionale Teile einer Ebene, lässt sich auf mehr als drei Dimensionen ausdehnen. Im Vierdimensionalen ist es dasPolychor, allgemein das d-dimensionalePolytop. Vielfach wird neben dem Begriff des Polytops auch der Begriff „Polyeder“ für nicht notwendigerweise dreidimensionale Räume verwendet.
Vor allem in derTopologie nennt man eine Teilmenge des einPolyeder, wenn sietriangulierbar ist, wenn sie also alsVereinigung derSimplexe einessimplizialen Komplexes gebildet werden kann.[7][8] DashomöomorpheBild eines solchen allgemeinenPolyeders bezeichnet man alskrummes Polyeder und die Bilder der beteiligten Simplexe alskrumme Simplexe.[9]
In derlinearen Optimierung ist ein (konvexes) Polyeder im definiert als der Schnitt von endlich vielenHalbräumen.[10] Nach dieser Definition ist ein Polyeder nicht notwendigerweise beschränkt. Ein beschränktes nichtleeres Polyeder wird dann als Polytop bezeichnet. Nach demZerlegungssatz für konvexe Polyeder ist eine Teilmenge des genau dann ein Polyeder, wenn sie sich als Summe eines konvexen Polytops und eines (konvexen) polyedrischen Kegels darstellen lässt.
↑Eva-Maria Krech, Eberhard Stock, Ursula Hirschfeld, Lutz Christian Anders:Deutsches Aussprachewörterbuch. 1. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin, New York 2009,ISBN 978-3-11-018202-6,S.833.
↑nur Betonung:Polyeder, das. duden.de, Cornelsen Verlag GmbH, Berlin, Deutschland, abgerufen am 7. Dezember 2022.
↑Stefan Kleineret al.:Duden Aussprachewörterbuch. Der Duden in zwölf Bänden, Band 6. 7. Auflage. Dudenverlag, Berlin 2015,ISBN 978-3-411-04067-4,S.693.
↑Wilhelm Pape, Max Sengebusch (Bearb.):Handwörterbuch der griechischen Sprache. 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (zeno.org [abgerufen am 12. März 2020]).
↑Rainer E. Burkhard, Uwe T. Zimmermann:Einführung in die Mathematische Optimierung (= Springer-Lehrbuch). Springer, Berlin/Heidelberg 2013,ISBN 978-3-642-28673-5,S.19.
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