EineParallelprojektion ist eineAbbildung von Punkten des dreidimensionalen Raums auf Punkte einer gegebenenEbene, wobei die Projektionsstrahlen zueinanderparallel sind. Treffen die Projektionsstrahlen imrechten Winkel auf die Projektionsebene, handelt es sich um eineOrthogonalprojektion. Treffen die Projektionsstrahlen schräg auf die Bildebene, handelt es sich um eine schräge Parallelprojektion beziehungsweise eineAxonometrie.^[1] Eine Parallelprojektion kann als Grenzfall einerZentralprojektion angesehen werden, bei der sich das Projektionszentrum imUnendlichen befindet. Parallelprojektionen dienen häufig dazu,Schrägbilder von geometrischen Körpern herzustellen.

Den Bildpunkt eines beliebigen Punktes im Raum erhält man bei einer Parallelprojektion dadurch, dass man dieParallele zur Projektionsrichtung durch diesen Punkt mit der Projektionsebene zum Schnitt bringt.Geraden werden durch eine Parallelprojektion im Allgemeinen wieder auf Geraden abgebildet. Das gilt jedoch nicht für Parallelen zur Projektionsrichtung, da diese in Punkte übergehen. Die Bildgeraden von parallelen Geraden sind – soweit definiert – ebenfalls parallel zueinander. Die Länge einer Strecke bleibt erhalten, wenn diese parallel zur Projektionsebene verläuft. Die Größe eines projiziertenWinkels stimmt normalerweise nicht mit der Größe des ursprünglichen Winkels überein. Aus diesem Grund wird einRechteck im Allgemeinen auf einParallelogramm abgebildet, aber nur in Ausnahmefällen auf ein Rechteck. Ähnliches gilt fürKreise, die im Allgemeinen inEllipsen übergehen.

Im Allgemeinen treffen die Projektionsstrahlen schräg auf die Projektionsfläche. Man spricht dann von einerschrägen oderschiefen Parallelprojektion. Beispiele hierfür sind dieKavalierprojektion undVogelperspektive.

Am häufigsten wird eineOrthogonalprojektion (auchorthogonale oderorthographische Parallelprojektion genannt) angewendet. Hier treffen die Projektionsstrahlen im rechten Winkel auf die Projektionsebene. Auf dieser Projektion beruhen dietechnischen Zeichnungen der Ingenieure und Architekten, wobei der Sonderfall dominiert, dass eine der drei Hauptebenen der oft würfelförmigen technischen Gegenstände parallel zur Projektionsfläche ist (Dreitafelprojektion). Um Zeichnungen mit räumlichem Eindruck zu erstellen, wird diese Parallelität aufgehoben. Die Gegenstände werden geneigt. Je nach Neigungswinkel(n) entstehen zum BeispielIsometrien oderDimetrien. Die so erhaltenen Bilder werden oft fälschlicherweise als Bilder in Kavalierperspektive angesehen. Die Orthogonalprojektion entspricht einerFotografie mit einemtelezentrischen Objektiv oder näherungsweise einer Fotografie aus großer Entfernung, vorteilhaft mit einemTeleobjektiv aufgenommen.

Soll ein Punkt${\displaystyle P}$ auf eine (inNormalenform gegebene) Ebene${\displaystyle E:\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{x}-d=0}$ mittels einer Parallelprojektion mit der Projektionsrichtung${\displaystyle \overrightarrow{v}}$ abgebildet werden, so ist der Bildpunkt von${\displaystyle P}$ der Schnittpunkt der Geraden${\displaystyle g}$ durch${\displaystyle P}$ mit dem Richtungsvektor${\displaystyle \overrightarrow{v}}$:

${\displaystyle g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP}+\lambda \overrightarrow{v},\lambda \in \mathbb{R}}$

Lässt man Ebene und Gerade schneiden, so ergibt sich für den Parameter${\displaystyle \lambda }$:

${\displaystyle \lambda =\frac{d-\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{n}}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}}}$

Setzt man diesen in die Gerade${\displaystyle g}$ ein, so erhält man den Schnittpunkt dieser mit${\displaystyle E}$ und damit den Bildpunkt${\displaystyle P^{\prime }}$:

${\displaystyle \overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\overrightarrow{OP}+\frac{d-\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{n}}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}}\cdot \overrightarrow{v}}$

Ist die Projektionsrichtung gleich der Normalenrichtung der Ebene${\displaystyle (\overrightarrow{v}=\overrightarrow{n})}$, so erhält man als Spezialfall dieOrthogonalprojektion des Punkts auf die Ebene.

In dersynthetischen Geometrie spielt die Parallelprojektion einer Geraden in einer affinen Ebene auf eine andere Gerade der gleichen Ebene eine grundlegende Rolle. Die Definition lautet hier:Sei${\displaystyle A}$ eineaffine Ebene und seien${\displaystyle g}$ und${\displaystyle h}$verschiedene Geraden der Ebene aufgefasst als Mengen der auf ihr liegenden Punkte. Einebijektive Abbildung${\displaystyle \pi :g\to h}$ heißt Parallelprojektion von${\displaystyle g}$ auf${\displaystyle h}$, wenn gilt:

1. Schneiden sich${\displaystyle g}$ und${\displaystyle h}$ in einem Punkt${\displaystyle S}$, dann gilt${\displaystyle \pi (S)=S}$.
2. Für zwei verschiedene Punkte${\displaystyle P,Q\in g}$, die nicht zu${\displaystyle h}$ gehören, gilt stets

${\displaystyle P\pi (P)\parallel Q\pi (Q)}$.

Ergänzend wird aus formalen Gründen definiert: Für${\displaystyle g=h}$ ist dieidentische Abbildung die einzige Parallelprojektion.

Die wichtigsten formalen Eigenschaften der so definierten Parallelprojektionen zwischen Geraden einer beliebigen, aber hier fest gewählten affinen Ebene:

• Jede Parallelprojektion der Ebene ist umkehrbar und ihre Umkehrabbildung ist eine Parallelprojektion.
• Zu zwei beliebigen Geraden${\displaystyle g,h}$ der Ebene existiert stets eine Parallelprojektion${\displaystyle \pi :g\to h}$.

• Diese Parallelprojektion ist die Identität, falls${\displaystyle g=h}$ ist.
• Für${\displaystyle g\ne h}$ ist eine solche Parallelprojektion durch ein einziges Punkt-Bildpunktpaar${\displaystyle (P,\pi (P))}$ eindeutig bestimmt, sofern${\displaystyle P}$ nicht der Schnittpunkt der Geraden ist.
• Wählt man zwei Punkte${\displaystyle P\in g,P^{\prime }\in h}$, die beide nicht Schnittpunkte der Geraden${\displaystyle g}$ und${\displaystyle h}$ sind, dann existiert genau eine Parallelprojektion von${\displaystyle g}$ auf${\displaystyle h}$, die${\displaystyle P}$ auf${\displaystyle P^{\prime }}$ abbildet.

• DieKomposition von zwei Parallelprojektionen der Ebene,${\displaystyle {\pi }_{12}:g_1\to g_2,{\pi }_{23}:g_2\to g_3}$,${\displaystyle {\pi }_{23}\circ {\pi }_{12}:g_1\to g_3}$ ist stets eine bijektive Abbildung, aber sie ist im Allgemeinen keine Parallelprojektion.

Der Begriff der Parallelprojektion erlaubt es, den Begriff derAffinität aufnichtdesarguesche affine Ebenen zu verallgemeinern. Allgemein wird definiert:

EineKollineation${\displaystyle \alpha :A\to A}$ auf einer affinen Ebene heißtAffinität, wenn für jede Gerade${\displaystyle g\subset A}$ die Einschränkung${\displaystyle {\alpha |}_g:g\to \alpha (g)}$ durch eine endliche Komposition von Parallelprojektionen darstellbar ist.

Durch diese Definition und die formalen Eigenschaften der Parallelprojektionen bilden die verallgemeinerten Affinitäten eineUntergruppe derGruppe aller Kollineationen auf der affinen Ebene. Die ergänzende Definition für Parallelprojektionen, mit der die identische Abbildung der Ebene zu einer Affinität wird, sichert die Existenz wenigstens einer Affinität. Es ist nicht bekannt, ob es affine Ebenen gibt, auf denen die identische Abbildung die einzige Affinität ist.

Affinitäten erben durch ihre Definition und die formalen Eigenschaften der Parallelprojektionen alleInvarianzeigenschaften der Parallelprojektionen:

In einer affinen Ebene, die demaffinen Fano-Axiom genügt, ist die Mitte von zwei Punkten invariant unter Parallelprojektionen und daher auch unter Affinitäten.

In eineraffinen Translationsebene gilt

• Sind dreikollineare Punkte${\displaystyle (T,P,Q)}$kommensurabel, dann sind es auch ihre Bilder unter jeder Parallelprojektion und jeder Affinität.
• DerStreckungsfaktor und dasTeilverhältnis von drei verschiedenen kollinearen und kommensurablen Punkten sind invariant unter Parallelprojektionen und Affinitäten.

Da umgekehrt jede teilverhältnistreue Kollineation auf einerdesargueschen Ebene die verallgemeinerte Definition einer Affinität erfüllt, sind für desarguesche Ebenen genau die teilverhältnistreuen Kollineationen Affinitäten. Eine desarguesche Ebene ist stets isomorph zu einerKoordinatenebene über einemSchiefkörper und eine affine Translationsebene mit der Zusatzeigenschaft, dass kollineare Punkte stets kommensurabel sind.

Damit fällt der verallgemeinerte Begriff „Affinität“ für desarguesche Ebenen mit dem aus der analytischen Geometrie gewohnten zusammen.

EineTranslation in einer affinen Inzidenzebene ist stets eineAffinität im Sinne der verallgemeinerten Definition (vgl. den HauptartikelAffine Translationsebene). Allerdings existieren auch affine Inzidenzebenen, die außer der Identität keine weitere Translation zulassen.

• Satz von Cauchy, über die mittlere Fläche konvexer Körper bei Parallelprojektion
• Axonometrie,orthogonale Axonometrie

Darstellende Geometrie:

• Fucke, Kirch, Nickel:Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998,ISBN 3-446-00778-4. 
• Cornelie Leopold:Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005,ISBN 3-17-018489-X. 
• Kurt Peter Müller:Raumgeometrie: Raumphänomene – Konstruieren – Berechnen. Mathematik-ABC für das Lehramt. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2004, 2. Kapitel, 2.2.3,S. 38 ff. (Schiefe Parallelprojektion). 
• Eduard Stiefel:Lehrbuch der darstellenden Geometrie. In:Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften. Mathematische Reihe. 2. veränderte Auflage.Band 6. Birkhäuser, Basel/Stuttgart 1960 (Ausführliche und anwendungsnahe Darstellung der senkrechten Parallel- und speziell Dreitafelprojektion). 

Synthetische Geometrie:

• Wendelin Degen und Lothar Profke:Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. In:Mathematik für das Lehramt an Gymnasien. 1. Auflage. Teubner, Stuttgart 1976,ISBN 3-519-02751-8. 

Zur Geschichte des Begriffes:

• Jeremy Gray:Worlds out of nothing. A course in the history of geometry of the 19th Century. 1. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2007,ISBN 978-0-85729-059-5, 1. Kapitel. 
• Gaspard Monge:Géométrie descriptive. 7. Auflage. Paris 1847 (französisch,archive.org – Erste systematische Behandlung der Dreitafelprojektionen und der Parallelprojektion im allgemeinen, Erstauflage 1811). 
• Guido Schreiber:Lehrbuch der darstellenden Geometrie. nach Monge’s Géométrie descriptive. 1. vollständig bearbeitete Auflage. Herder, Karlsruhe und Freiburg 1928 (archive.org – Stark überarbeitete deutsche Übersetzung des Lehrbuchs von G. Monge). 

1. ↑Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp:Leitfaden Geometrie. Für Studierende der Lehrämter. 6., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Spektrum. Springer Fachmedien Verlag, Wiesbaden 2014,ISBN 978-3-658-06465-5,S. 329 und 331. 

• Darstellende Geometrie
• Technisches Zeichnen
• Perspektive
• Geometrische Abbildung
• Synthetische Geometrie