In derMathematik kommt derBegriff derOszillation in derTopologie vor, einem derTeilgebiete der Mathematik. Er tritt ebenfalls in derAnalysis und hier insbesondere inIntegralrechnung auf. Statt von der Oszillation spricht man auch von derSchwankung oder derSchwankungsbreite. Die Oszillation dient bei der Untersuchung vonStetigkeitsfragen zuAbbildungen vontopologischen Räumen inmetrische Räume dazu, in einem gewissen Sinne dieUnstetigkeit einer Abbildung zu messen. Mit dem Begriff der Oszillation verwandt ist der desStetigkeitsmoduls von Abbildungenmetrischer Räume.^{[1][2][3][4][5][6][7][8][9]}

Sei${\displaystyle (a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}}$ eine Folge reeller Zahlen. Die Oszillation${\displaystyle \omega (a_n)}$ ist definiert als Differenz zwischen demLimes superior und Limes inferior von${\displaystyle (a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}}$:

${\displaystyle \omega (a_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{a}_n-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{a}_n}$.

Die Oszillation einer Folge ist genau dann null, wenn die Folge konvergiert. Die Oszillation ist nicht definiert, wenn Limes Superior und Limes Inferior beide gleichzeitig gleich${\displaystyle +\mathrm{\infty }}$ oder gleich${\displaystyle -\mathrm{\infty }}$ sind, wenn also die Folgebestimmt divergiert.

Gegeben sei ein topologischer Raum${\displaystyle (X,\mathcal{O})}$, ein metrischer Raum${\displaystyle (Y,d_Y)}$ sowie eineAbbildung${\displaystyle f:X\to Y}$.

Für eine beliebigenicht-leereTeilmenge${\displaystyle U\subseteq X}$ versteht man unter der Oszillation von${\displaystyle f}$ auf${\displaystyle U}$ bzw. unter der Schwankung von${\displaystyle f}$ auf${\displaystyle U}$ denDurchmesser derBildmenge${\displaystyle f(U)}$ bezüglich derMetrik${\displaystyle d_Y}$, also diejenigeGröße${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_f(U)}$, welche folgendermaßen definiert ist:

${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_f(U):={\mathrm{diam}}_{d_Y}f(U)=sup\{d_Y(f(a),f(b)):a,b\in U\}\in [0,\mathrm{\infty }]}$

Es wird im Allgemeinen auch die Oszillation${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_f(U)=\mathrm{\infty }}$ nicht ausgeschlossen, wenn – wie im Falleunbeschränkter Funktionen möglich –kein endlichesSupremum existiert.

Ein häufig betrachteter Fall ist der, dass${\displaystyle Y=\mathbb{R}}$ ist, wobei${\displaystyle d_Y}$ dieBetragsmetrik, also die durch dieBetragsfunktion gegebene darstellt, während zugleich${\displaystyle f}$ auf${\displaystyle U}$beschränkt ist. Unter diesen Gegebenheiten ist

${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_f(U)=\underset{x\in U}{sup}f(x)-\underset{x\in U}{inf}f(x)}$^[10]

Hinsichtlich der Bezeichnung findet man statt${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_f(U)}$ auch${\displaystyle \omega (f,U)}$ oder${\displaystyle \sigma (f,U)}$; manchmal auch, jedoch eher in englischsprachigen Quellen,${\displaystyle \mathrm{osc}(f,U)}$.

Für einenPunkt${\displaystyle x\in X}$ definiert man:

${\displaystyle {\omega }_f(x):=inf\{{\mathrm{\Omega }}_f(U):U\in {\mathcal{U}}_x\}\in [0,\mathrm{\infty }]}$^[11]

Man nennt diese Größe die Oszillation von${\displaystyle f}$ im Punkte${\displaystyle x}$ oder die Oszillation von${\displaystyle f}$ in (bei)${\displaystyle x}$ oder auch die Punktschwankung von${\displaystyle f}$ in (bei)${\displaystyle x}$. Das obigeInfimum wird dabei definitionsgemäß über alle${\displaystyle x}$-Umgebungen imUmgebungsfilters${\displaystyle {\mathcal{U}}_x}$ gebildet. Es genügt jedoch für dessen Bestimmung auch schon, allein dieoffenen Umgebungen innerhalb${\displaystyle {\mathcal{U}}_x}$ oder gar nur die${\displaystyle x}$-Umgebungen einer beliebigen in${\displaystyle {\mathcal{U}}_x}$ enthaltenenUmgebungsbasis zu betrachten.

Statt${\displaystyle {\omega }_f(x)}$ gibt es auch die Schreibung${\displaystyle \omega (x;f)}$ bzw.${\displaystyle s_f(x)}$ . Daneben ist, sofern aus dem Kontext heraus die Abhängigkeit von${\displaystyle f}$ keiner Hervorhebung bedarf, die einfache Schreibung${\displaystyle \omega (x)}$ bzw.${\displaystyle s(x)}$ zu finden.

Wird dietopologische Struktur von${\displaystyle (X,\mathcal{O})}$ ebenfalls durch eine Metrik${\displaystyle d_X}$ erzeugt, so hat der Umgebungsfilter des Punktes${\displaystyle x\in X}$ die${\displaystyle ϵ}$-Umgebungen${\displaystyle U_{ϵ}(x)}$   (${\displaystyle ϵ>0}$) alsUmgebungsbasis und es gilt:

${\displaystyle {\omega }_f(x)=\underset{ϵ\to 0+}{lim}{\mathrm{\Omega }}_f(U_{ϵ}(x))}$

Untersuchungen zur Oszillation treten oft – etwa in der Integralrechnung – für den Fall auf, dass die betrachteten Funktionen aufreellenIntervallen leben, also${\displaystyle X=[a,b]\subset \mathbb{R}=Y}$ ist und zugleich${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb{R}}$ einebeschränkte Funktion ist.

Da für einen Punkt${\displaystyle x\in \mathbb{R}}$ dieoffenen Intervalle der Form${\displaystyle U=(x-ϵ,x+ϵ)\subseteq \mathbb{R}}$ und auch dieabgeschlossenen Intervalle der Form${\displaystyle U=[x-ϵ,x+ϵ]\subseteq \mathbb{R}}$  ${\displaystyle (ϵ>0)}$ eine Umgebungsbasis bilden, hat man:

${\displaystyle {\omega }_f(x)=\underset{ϵ\to 0+}{lim}{\mathrm{\Omega }}_f((x-ϵ,x+ϵ)\cap [a,b])=\underset{ϵ\to 0+}{lim}{\mathrm{\Omega }}_f([x-ϵ,x+ϵ]\cap [a,b])}$.

Für die Funktion

ist${\displaystyle {\omega }_f(x)=0}$ für${\displaystyle x\ne 0}$ und${\displaystyle {\omega }_f(0)=2}$.

1. Die Funktion${\displaystyle {\omega }_f:x\mapsto {\omega }_f(x)\in [0,\mathrm{\infty }]}$ ist eineoberhalb stetige Funktion.
2. Für eine Abbildung von einem topologischen in einen metrischen Raum ist Stetigkeit in einem Punkte gleichbedeutend damit, dass in diesem Punkt die Oszillation gleich Null ist. Mit anderen Worten heißt das für${\displaystyle x\in X}$ ist${\displaystyle f}$ in${\displaystyle x}$ stetig genau dann, wenn${\displaystyle {\omega }_f(x)=0}$ ist. Eine Abbildung von einem topologischen in einen metrischen Raum ist folglich stetig genau dann, wenn sie in keinem Punkte eine Oszillation größer Null aufweist.
3. Bezeichnet man mit${\displaystyle \mathrm{\Delta }(f)}$ die Menge derUnstetigkeitsstellen von${\displaystyle f}$ und setzt man${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_N(f)=\{x\in X:{\omega }_f(x)\ge \frac{1}{N}\}}$ mit${\displaystyle N\in \mathbb{N}}$, so gilt

   ${\displaystyle \mathrm{\Delta }(f)=\bigcup _{N=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Delta }}_N(f)}$.

4. Die${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_N(f)}$ sind allesamt abgeschlossene Mengen und damit ist${\displaystyle \mathrm{\Delta }(f)}$ stets eineF_σ-Menge.
5. Ist${\displaystyle X=[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]\subset {\mathbb{R}}^n}$ ein abgeschlossenesn-dimensionales Intervall und${\displaystyle f}$ eine beschränkte reelle Funktion, so ist${\displaystyle f}$ dann und nur dannRiemann-Darboux-integrierbar, wenn die${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_N(f)}$ allesamtJordan-Nullmengen sind.

Der mit der Oszillation verwandte Begriff des Stetigkeitsmoduls wurde vonHenri Léon Lebesgue im Jahre 1910 eingeführt. DasStetigkeitsmodul zu einer Abbildung${\displaystyle f}$ zwischen zwei metrischen Räume${\displaystyle (X,d_X)}$ und${\displaystyle (Y,d_Y)}$ und einer gegebenen reellen Zahl${\displaystyle \eta >0}$ ist dabei die folgende Größe${\displaystyle \omega (f;\eta )}$:

${\displaystyle \omega (f;\eta )=sup\{d_Y(f(a),f(b)):a,b\in X\wedge d_X(a,b)\le \eta \}\in [0,\mathrm{\infty }]}$^[12]

Der Stetigkeitsmodul hat folgende Eigenschaften:

1. ${\displaystyle \omega (f;0)=0}$.
2. ${\displaystyle \eta \mapsto \omega (f;\eta )}$ istmonoton steigend.
3. ${\displaystyle \eta \mapsto \omega (f;\eta )}$ istsubadditiv.
4. ${\displaystyle \underset{\eta \to 0}{lim}\omega (f;\eta )=0}$ ist gleichbedeutend damit, dass${\displaystyle f}$gleichmäßig stetig ist.

• Beschränkte Variation

• Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.):Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete.Band 4:S–Z. Aulis Verlag, Köln 1978,ISBN 3-7614-0242-2. 
• John J. Benedetto:Real Variable and Integration. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1976,ISBN 3-519-02209-5. 
• Nicolas Bourbaki:Elements of Mathematics. General Topology. Part 2 (= ADIWES International Series in Mathematics). Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA 1966. 
• Harro Heuser:Lehrbuch der Analysis. Teil 1 (= Mathematische Leitfäden). 16., durchgesehene Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 2006,ISBN 978-3-8351-0131-9. 
• Kazimierz Kuratowski:Topology. New edition, revised and augmented Auflage. Volume 1. Academic Press, New York / London 1966 (Aus dem Französischen übersetzt von J. Jaworowski). 
• Serge Lang:Analysis. Hrsg.: Willi Jäger. Inter European Editions, Amsterdam 1977,ISBN 0-201-04152-9 (Deutsche Übersetzung von Bernd Wollring). 
• John C. Oxtoby:Measure and Category. A Survey of the Analogies between Topological and Measure Spaces (= Graduate Texts in Mathematics.Band 2). 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin u. a. 1987,ISBN 3-540-90508-1. 
• Guido Walz [Red.]:Lexikon der Mathematik in sechs Bänden.Band 4. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2002,ISBN 3-8274-0436-3. 
• Guido Walz [Red.]:Lexikon der Mathematik in sechs Bänden.Band 5. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2002,ISBN 3-8274-0437-1. 
• Stephen Willard:General Topology. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1970 (MR0264581). 

1. ↑Lexikon der Mathematik in sechs Bänden.Band 4,S. 128–129. 
2. ↑Lexikon der Schulmathematik.Band 4,S. 941–942. 
3. ↑H. Heuser:Lehrbuch der Analysis. 2006,S. 241, 470–473. 
4. ↑J. J. Benedetto:Real Variable and Integration. 1976,S. 24. 
5. ↑S. Lang:Analysis. 1977,S. 403. 
6. ↑J. C. Oxtoby:Measure and Category. 1987,S. 31 ff. 
7. ↑S. Willard:General Topology. 1970,S. 177. 
8. ↑N. Bourbaki:Elements of Mathematics. 1966,S. 151. 
9. ↑K. Kuratowski:Topology. 1966,S. 208. 
10. ↑Stellenweise wird sogar eine noch allgemeinere Situation zugrunde gelegt. Dann betrachtet man in${\displaystyle (X,\mathcal{O})}$ einenicht-leereTeilmenge${\displaystyle A\subseteq X}$ sowie eineAbbildung${\displaystyle f:A\to Y}$ und definiert dann${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_f(U):=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}{\mathrm{m}}_{{\mathrm{d}}_{\mathrm{Y}}}f(A\cap U)=sup\{d_Y(f(a),f(b)):a,b\in (A\cap U)\}\in [0,\mathrm{\infty }]}$. Aus Vereinfachungsgründen wird dann bei${\displaystyle A\cap U=\mathrm{\varnothing }}$  ${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_f(U)=\mathrm{\infty }}$ gesetzt. Vgl. hierzu S. Willard:General Topology. 1970,S. 177. 
11. ↑Bei N. Bourbaki:Elements of Mathematics. 1966,S. 151.  wird diese Größe auch allgemeiner für${\displaystyle A\subseteq X}$,${\displaystyle f:A\to Y}$ und${\displaystyle x\in \overline{A}}$ definiert.
12. ↑Lexikon der Mathematik in sechs Bänden.Band 5,S. 108. 

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