EineOktaederzahl ist eine Zahl, die sich nach der Formel

${\displaystyle \frac{n(2n^2+1)}{3}}$

aus einernatürlichen Zahl${\displaystyle n}$ berechnen lässt.^[1]Die ersten Oktaederzahlen sind

0, 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891, … (FolgeA005900 inOEIS)

Bei einigen Autoren ist die Null keine Oktaederzahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Der Name Oktaederzahl leitet sich aus einer geometrischen Eigenschaft ab. Legt man Kugeln zu einemOktaeder, indem manQuadrate übereinanderlegt, deren Seitenlängen von oben nach unten jeweils um eins zunehmen und nach Erreichen der Kantenlänge${\displaystyle n}$ jeweils um eins abnehmen, dann entspricht die Anzahl der Kugeln einer Oktaederzahl.Dabei ist${\displaystyle n}$ die Anzahl dieser Quadrate mit der Kantenlänge von eins bis${\displaystyle n}$ und damit auch die Anzahl der Kugeln, die eine Kante des Oktaeders bilden. Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einergeometrischen Figur zählen die Oktaederzahlen zu denfigurierten Zahlen, zu denen auch dieDreieckszahlen,Quadratzahlen undTetraederzahlen gehören.

Ein Oktaeder, der wie oben beschrieben aus Kugeln aufgebaut ist, lässt sich in zwei Pyramiden quadratischer Grundfläche zerlegen, wobei eine Pyramide mit der Kantenlänge${\displaystyle n-1}$ kopfüber unter einer Pyramide mit der Kantenlänge${\displaystyle n}$ liegt. Daher ist die${\displaystyle n}$-te Oktaederzahl${\displaystyle O_n}$ die Summe von zwei aufeinanderfolgendenquadratischen Pyramidalzahlen:^[1]

${\displaystyle O_n=P_{n-1}+P_n}$.

Wenn${\displaystyle O_n}$ die${\displaystyle n}$-te Oktaederzahl und${\displaystyle T_n}$ die${\displaystyle n}$-teTetraederzahl ist, dann ist

${\displaystyle O_n+4T_{n-1}=T_{2n-1}}$.

Geometrisch lässt sich dieser Zusammenhang so darstellen: Wenn bei einem Oktaeder der Kantenlänge${\displaystyle n}$ an vier Seiten, die nicht nebeneinander liegen, jeweils einTetraeder der Kantenlänge${\displaystyle n-1}$ „angeklebt“ wird, ergibt sich ein Tetraeder der Kantenlänge${\displaystyle 2n-1}$.

Eine andere Relation ergibt sich aus der Tatsache, dass sich ein Oktaeder in vier (verzerrte) Tetraeder zerlegen lässt, die jeweils an zwei Flächen aneinanderstoßen:

${\displaystyle O_n=T_n+2T_{n-1}+T_{n-2}}$.

Diese Zerlegung lässt sich auch so darstellen, dass der Oktaeder zunächstwie oben beschrieben in zwei Pyramiden quadratischer Grundfläche mit den Kantenlängen${\displaystyle n}$ und${\displaystyle n-1}$ zerlegt wird und dann jede dieser Pyramiden wiederum in zwei (verzerrte) Tetraeder zerlegt wird: Die Pyramide mit der Kantenlänge${\displaystyle n}$ wird in Tetraeder mit den Kantenlängen${\displaystyle n}$ und${\displaystyle n-1}$ zerlegt, die Pyramide mit der Kantenlänge${\displaystyle n-1}$ wird in Tetraeder mit den Kantenlängen${\displaystyle n-1}$ und${\displaystyle n-2}$ zerlegt.

Wenn zwei Tetraeder der Kantenlänge${\displaystyle n-1}$ an gegenüberliegende Seiten eines Oktaeders mit der Kantenlänge${\displaystyle n}$ „angeklebt“ werden, ergibt sich einRhomboeder.^[2] Ein Rhomboeder kann als verzerrter Würfel betrachtet werden, die Anzahl der Kugeln in einem solchen Rhomboeder ist also eineKubikzahl und es gilt

${\displaystyle O_n+2T_{n-1}=n^3}$.

Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Oktaederzahlen ist einezentrierte Quadratzahl:^[1]

${\displaystyle O_n-O_{n-1}=C_{4,n}=n^2+(n-1{)}^2}$.

Eine Oktaederzahl ist also auch die Anzahl von Kugeln in einer Pyramide aus zentrierten Quadraten; daher nannteFrancesco Maurolico in seinem BuchArithmeticorum libri duo (1575) diese Zahlen „pyramides quadratae secundae“.

Die Anzahl von Kugeln in einem Oktaeder aus zentrierten Quadraten ist einezentrierte Oktaederzahl. Sie ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Oktaederzahlen und lässt sich nach der Formel

${\displaystyle O_n+O_{n-1}=\frac{(2n-1)(2n^2-2n+3)}{3}}$

berechnen. Diese ersten Zahlen dieser Folge sind

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, 1561, 2047, 2625, … (FolgeA001845 inOEIS)

Die Anzahl der Kugeln, die eine Kante des Oktaeders bilden, kann auf folgende Weise bei gegebener Oktaederzahl ermittelt werden:

${\displaystyle n=\frac{1}{3}\sqrt{6}\sinh [\frac{1}{3}\mathrm{arsinh}(\frac{9}{2}\sqrt{6}{O}_n)]}$

${\displaystyle n=\frac{1}{6}\sqrt{3}(\sqrt[3]{\sqrt{972O_n^2+8}+18\sqrt{3}{O}_n}-\sqrt[3]{\sqrt{972O_n^2+8}-18\sqrt{3}{O}_n})}$

Die Funktion

${\displaystyle \frac{x(x+1{)}^2}{(x-1{)}^4}=1x+6x^2+19x^3+\cdots }$

enthält in ihrer Reihenentwicklung (rechte Seite der Gleichung) jeweils die${\displaystyle n}$-te Oktaederzahl als Koeffizient zu${\displaystyle x^n}$. Sie wird deshalberzeugende Funktion der Oktaederzahl genannt.

Die unendliche Summe der Kehrwerte von den Quadraten der Oktaederzahlen ist elementar darstellbar:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{O_n^2}=\frac{15{\pi }^2}{4}+\frac{225}{8}-[\frac{3\pi }{2}\coth (\frac{\sqrt{2}\pi }{2})+\frac{9\sqrt{2}}{4}{]}^2}$

Dagegen kann die unendliche Summe der Kehrwerte von den ersten und dritten Potenzen nicht elementar dargestellt werden.

Die unendliche Summe der Kehrwerte der Oktaederzahlen nimmt den Wert 3γ + 3/2 ψ[1+2^(-1/2) i] + 3/2 ψ[1-2^(-1/2) i] an.

Hierbei steht γ für dieMascheroni-Konstante und ψ für dieDigamma-Funktion, die Ableitung des Logarithmus naturalis der Gammafunktion.

• Eric W. Weisstein:Oktaederzahl. In:MathWorld (englisch).

1. ↑^abcJohn Horton Conway,Richard Kenneth Guy:The Book of Numbers. Springer-Verlag, 1996,ISBN 0-387-97993-X,S. 50 (englisch). 
2. ↑John G. Burke:Origins of the science of crystals. University of California Press, 1966,S. 88 (englisch,google.com). 

• Figurierte Zahl