Oktaeder bedeutetAchtflächner und bezeichnet in umfassender Bedeutung jedes Polyeder mit acht Seiten. Dazu zählen neben weitgehend unregelmäßigen Polyedern auch:

• (regelmäßige) Siebeneck-Pyramide^[1]
• (regelmäßiger) Sechseck-Pyramidenstumpf
• (regelmäßiges) SechseckigesPrisma^[2]
• (regelmäßiger)Tetraederstumpf
• Viereck-Doppelpyramide

• 
  Siebeneck-Pyramide
• 
  Sechseck-Pyramidenstumpf
• 
  Sechseck­prisma
• 
  Tetraeder­stumpf
• 
  Viereck-Doppelpyramide

Ist das Viereck der Viereck-Doppelpyramide ein Quadrat und sind die Kanten zu den beiden anderen Ecken genauso lang wie die Seiten des Vierecks, so ergibt sich ein regelmäßiger Achtflächner aus kongruenten Seiten, gleichlangen Kanten und gleichen Winkeln in allen Ecken.Im allgemeinen Sprachgebrauch wird mit Oktaeder nur dieser regelmäßige Polyeder bezeichnet.

Dieser Artikel handelt im Folgenden vom Oktaeder als regelmäßiger Achtflächner.

Oktaeder
Art der Seitenflächen	gleichseitige Dreiecke
Anzahl der Flächen	8
Anzahl der Ecken	6
Anzahl der Kanten	12
Schläfli-Symbol	{3,4}
dual zu	Hexaeder (Würfel)
Körpernetz
Anzahl verschiedener Netze	11
Anzahl Kanten in einer Ecke	4
Anzahl Ecken einer Fläche	3

Das (auch, v. a.österr.: der) regelmäßigeOktaeder [ɔktaˈeːdɐ] (vonaltgriechischὀκτάεδροςoktáedros, deutsch‚achtseitig‘)^[3] ist einer der fünfplatonischen Körper, genauer ein regelmäßigesPolyeder(Vielflach,Vielflächner) mit

• 8kongruentengleichseitigen Dreiecken alsSeitenflächen
• 12 gleich langen Kanten und
• 6 Ecken, in denen jeweils vier Seitenflächen zusammentreffen

Es ist sowohl eine gleichseitige vierseitigeDoppelpyramide mitquadratischer Grundfläche – in seiner Eigenschaft als das regelmäßigeKreuzpolytop der dritten Dimension – als auch ein gleichseitigesAntiprisma mit einemgleichseitigen Dreieck alsGrundfläche.

Wegen seiner hohenSymmetrie – alleEcken, Kanten undFlächen sind untereinander gleichartig – ist das Oktaeder einreguläres Polyeder. Es hat:

• 3 vierzähligeDrehachsen${\displaystyle C_4}$ (durch gegenüberliegende Ecken)
• 4 dreizählige Drehachsen${\displaystyle C_3}$ (durch dieMittelpunkte gegenüberliegenderFlächen)
• 6 zweizählige Drehachsen${\displaystyle C_2}$ (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
• 9Symmetrieebenen (3 Ebenen durch je vier Ecken (z. B. rot), 6 Ebenen durch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte (z. B. grün))
• 14Drehspiegelungen (6 um 90° mit denEbenen durch je vier Ecken und 8 um 60° mit Ebenen durch je sechs Kantenmitten)

und ist

• punktsymmetrisch zum Mittelpunkt.

Insgesamt hat dieSymmetriegruppe des Oktaeders – dieOktaedergruppe oder Würfelgruppe – 48 Elemente.

Euklid beschreibt und beweist im dreizehnten Buch seines WerkesElemente, unter Proposition 14, die Konstruktion des Oktaeders.

Um den Aufwand zu minimieren, enthält die folgendesphärischen Darstellung nur die Schritte, die für das Oktaeder vonnöten sind. Von Vorteil ist hierzu die Anwendung einer sogenanntenDynamische-Geometrie-Software (DGS).

Gegeben sei eineUmkugel, z. B mit dem Radius gleich${\displaystyle 1}$ und deren Mittelpunkt${\displaystyle O}$. Beim Bestimmen der${\displaystyle x-,y-}$ und${\displaystyle z-}$Achsen eines kartesischenKoordinatensystems ergeben sich die Punkte${\displaystyle A,BC}$ und${\displaystyle D}$ auf der Oberfläche der Umkugel.

Vorab ist die Kantenlänge${\displaystyle a}$ des Oktaeders als Verbindung des Punktes${\displaystyle A}$ mit${\displaystyle C}$, sprich${\displaystyle |AC|=a}$, festzulegen.^[5]

Für die eigentliche Konstruktion reichen vier Hauptschritte aus. Es beginnt mit dem Ziehen des ersten Kreises mit Richtung${\displaystyle z-}$Achse um Mittelpunkt${\displaystyle O}$ und Radius${\displaystyle |AO|}$. Anschließend wird der erste Eckpunkt${\displaystyle E}$ beliebig auf dem Kreis positioniert. Der darauffolgende zweite (nicht eingezeichnete) Kreis mit Richtung parallel zur${\displaystyle z-}$Achse und Radius gleich der Kantenlänge${\displaystyle |CF|}$ um${\displaystyle E}$, erzeugt die Eckpunkte${\displaystyle F}$ und${\displaystyle H}$. Der dritte und letzte Kreis mit gleichem Radius und gleicher Richtung um${\displaystyle F}$ liefert den noch offenen Eckpunkt${\displaystyle G}$. Nach dem abschließenden Verbinden der betreffenden Eckpunkte ist das Oktaeder${\displaystyle EFGHCD}$ fertiggestellt.

Das Oktaeder ist das zum Hexaeder (Würfel)dualePolyeder (Bild 1) und umgekehrt.

Zweiregelmäßige Tetraeder (siehe Bild 2: ein Tetraeder in Rottönen, das andere in Grüntönen) können in einemWürfel so einbeschrieben werden, dass dieEcken zugleich Würfelecken und die KantenDiagonalen der Würfelflächen sind. DieVereinigungsmenge ist einSterntetraeder.

DiedreidimensionaleSchnittmenge der zwei Tetraeder (Bild 3) ist ein Oktaeder mit halber Seitenlänge. Setzt man auf die 8Seitenflächen des OktaedersTetraeder auf, entsteht ebenfalls ein Sterntetraeder.

Wird ein Oktaeder von einemregelmäßigen Tetraeder umschrieben (Bild 4), sind die 6Ecken des Oktaeders dieMittelpunkte der 6 Tetraederkanten und liegen 4 der 8 Oktaederflächen in denSeitenflächen eines der beiden möglichen Tetraeder. Das Oktaeder entsteht also, wenn von einem Tetraeder mit doppelter Kantenlänge 4 Tetraeder mit derselben Seitenlänge abgeschnitten werden.

Mithilfe von Oktaeder undWürfel können zahlreicheKörper konstruiert werden, die ebenfalls dieOktaedergruppe alsSymmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

• dasabgestumpfte Oktaeder mit 8Sechsecken und 6Quadraten
• dasKuboktaeder mit 8 Dreiecken und 6 Quadraten, also mit 14Flächen, und 12Ecken
• denabgestumpften Würfel mit 8Dreiecken und 6Achtecken

als Durchschnitte eines Oktaeders mit einem Würfel (siehearchimedische Körper) und

• dasRhombendodekaeder mit 8 + 6 = 14 Ecken und 12Rauten als Flächen

alskonvexe Hülle einer Vereinigung eines Oktaeders mit einemWürfel.

Die folgende Tabelle ist eine Zusammenstellung von metrischen Eigenschaften eines regulären Oktaeders, die im nächsten Abschnitt hergeleitet werden.

Größen eines Oktaeders mit Kantenlängea
Volumen	${\displaystyle V=\frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3\approx \mathrm{0,471}\cdot a^3}$	ohne Raumwinkel${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ in den Ecken
Oberflächeninhalt	${\displaystyle A_O=2\sqrt{3}{a}^2\approx \mathrm{3,464}\cdot a^2}$
Umkugelradius	${\displaystyle r_u=\frac{a}{\sqrt{2}}\approx \mathrm{0,707}\cdot a}$
Kantenkugelradius	${\displaystyle r_k=\frac{a}{2}=0,5\cdot a}$
Inkugelradius	${\displaystyle r_i=\frac{a}{\sqrt{6}}\approx \mathrm{0,408}\cdot a}$
Verhältnis von Volumen  zu Umkugelvolumen	${\displaystyle \frac{V}{V_{UK}}=\frac{1}{\pi }\approx \mathrm{0,318}}$
Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks	${\displaystyle \alpha ={60}^{\circ }}$
Winkel zwischen benachbarten Flächen	${\displaystyle \beta =2\arctan \sqrt{2}\approx 109,{47}^{\circ }}$
Winkel zwischen Grundfläche und Seitenfläche	${\displaystyle \gamma =\arctan \sqrt{2}\approx 54,{73}^{\circ }}$
Raumwinkel in den Ecken	${\displaystyle \mathrm{\Omega }=8\arctan \sqrt{2}-2\pi \approx \mathrm{1,359}35\mathrm{s}\mathrm{r}}$
Sphärizität	${\displaystyle \mathrm{\Psi }=\sqrt[3]{\frac{\pi }{3\sqrt{3}}}\approx \mathrm{0,846}}$

Ein Oktaeder mit der Kantenlänge${\displaystyle a}$ kann man sich aus zwei quadratischenPyramiden mit der Quadratlänge und derSeitenkantenlänge gleich${\displaystyle a}$ zusammengesetzt denken. Wendet man den Satz von Pythagoras auf die Höhe${\displaystyle h}$, eine halbe Diagonale der Grundfläche und eine Seitenkante an, ergibt sich

${\displaystyle h=\frac{a}{\sqrt{2}}}$.

Damit lassen sich die Punkte eines regulären Oktaeders mit der Kantenlänge${\displaystyle a}$ in einem kartesischen Koordinatensystem so beschreiben:

• ${\displaystyle \left(\pm \frac{a}{2},\pm \frac{a}{2},0\right),\left(0,0,\pm \frac{a}{\sqrt{2}}\right)}$

Aus der Zeichnung erkennt man, dass für den Winkel${\displaystyle \gamma }$ zwischen der Grundfläche und einer Seitenfläche${\displaystyle \tan \gamma =\frac{h}{\frac{a}{2}}=\sqrt{2}}$ gilt. Also ist der

• Winkel zwischen der Grundfläche und einer Seitenfläche gleich

${\displaystyle \gamma =\arctan \sqrt{2}\approx 54,{73}^{\circ }}$

und der

• Winkel zwischen zwei Seitenflächen ist

${\displaystyle \beta =2\gamma \approx 109,{47}^{\circ }}$

Die Kugel, die die Kanten des Oktaeders berührt, berührt das Basisquadrat der Pyramide von innen. Also ist der

• Kantenkugelradius${\displaystyle r_k=\frac{a}{2}=0,5a}$

Die Umkugel geht durch alle Oktaederpunkte und es ist der

• Umkugelradius${\displaystyle r_u=h=\frac{a}{\sqrt{2}}\approx 0,71a}$

Der Inkugelradius ist (im Bild) der Abstand des Nullpunktes zur Gerade in der y-z-Ebene durch die Punkte${\displaystyle \left(0,\frac{a}{\sqrt{2}}\right),\left(\frac{a}{2},0\right)}$ . Sie hat die Gleichung${\displaystyle 2y+\sqrt{2}z-a=0}$. Berechnet man den Abstand mit Hilfe derHessesche Normalform ergibt sich der

• Innenkugelradius${\displaystyle r_i=\frac{a}{\sqrt{6}}\approx 0,41a}$

Die Oberfläche des Oktaeders ist die Summe der 8 Dreiecksflächen. Die Fläche eines regelmäßigen 3-Ecks ist${\displaystyle A_3=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2}$. Damit ist die

• Oberfläche des Oktaeders:${\displaystyle A_O=2\sqrt{3}{a}^2}$.

Das Volumen des Oktaeders ist die Summe der Volumina der 2 quadratischen Pyramiden.Das Volumen einer Pyramide ist${\displaystyle \frac{h}{3}{a}^2=\frac{a^3}{3\sqrt{2}}}$ und das

• Volumen des Oktaeders ist${\displaystyle V=\frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3}$.

Der Raumwinkel${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ist der Flächeninhalt des in dem Bild durch rote Punkte markierten sphärischen Vierecks der Einheitskugel in der Oktaederecke. Betrachtet man nur die obere Hälfte (Pyramide) des Oktaeders, so erhält man ein sphärisches Dreieck, dessen Winkel in den unteren Punkten jeweils gleich dem halben Winkel${\displaystyle \gamma }$ zwischen Seitenflächen des Okteders ist (siehe Bild oben). Der Winkel im oberen Punkt ist gleich dem Winkel${\displaystyle \beta =2\gamma }$. Damit hat dassphärische Dreieck den Flächeninhalt

${\displaystyle A_3=\gamma +\gamma +2\gamma -\pi =4\gamma -\pi }$.

Der Raumwinkel${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ist der Flächeninhalt des sphärischen Vierecks:

• ${\displaystyle \mathrm{\Omega }=2A_3=8\gamma -2\pi =8\arctan \sqrt{2}-2\pi \approx \mathrm{1,359}35\mathrm{s}\mathrm{r}}$.

Der Raumwinkel entspricht der Fläche einesKugelsegments auf der Einheitskugel mit einem halben Öffnungswinkel${\displaystyle \theta \approx 38,4^{\circ }}$.

Das Oktaeder kann alsMenge vonPunkten imdreidimensionaleneuklidischen Raum definiert werden, wo dieSumme derabsoluten Beträge der 3Koordinaten imkartesischen Koordinatensystem höchstens so groß ist wie derUmkugelradius${\displaystyle r_u=\frac{a}{\sqrt{2}}}$. Formal lässt sich diese Menge aufschreiben als

${\displaystyle \left\{x\in {\mathbb{R}}^3\mid {\Vert x\Vert }_1\le r_u\right\}=\left\{(x_1,x_2,x_3)\mid \left|x_1\right|+\left|x_2\right|+\left|x_3\right|\le r_u\right\}}$

Dabei ist${\displaystyle {\Vert x\Vert }_1}$ dieBetragssummennorm oder 1-Norm desVektors${\displaystyle x}$. Für das Innere des Oktaeders gilt und für die Oberfläche gilt${\displaystyle {\Vert x\Vert }_1=r_u}$. Nach dieser Definition ist derMittelpunkt des Oktaeders derKoordinatenursprung und seineEcken${\displaystyle (r_u,0,0)}$,${\displaystyle (-r_u,0,0)}$,${\displaystyle (0,r_u,0)}$,${\displaystyle (0,-r_u,0)}$,${\displaystyle (0,0,r_u)}$,${\displaystyle (0,0,-r_u)}$ liegen auf den 3 Achsen deskartesischen Koordinatensystems.

Allgemeiner kann ein Oktaeder, das eine beliebige Lage imdreidimensionaleneuklidischen Raum hat, mithilfe vonVektoren definiert werden. Ist${\displaystyle \overrightarrow{m}}$ derOrtsvektor desMittelpunkts und sind${\displaystyle \overrightarrow{u}}$,${\displaystyle \overrightarrow{v}}$,${\displaystyle \overrightarrow{w}}$orthogonale Richtungsvektoren, die den Mittelpunkt des Oktaeders mit 3 Ecken verbinden, also einOrthogonalsystem desdreidimensionalenVektorraums${\displaystyle {\mathbb{R}}^3}$, dann lässt sich dieMenge derPunkte des Oktaeders definieren als die Menge der Vektoren^[6]

${\displaystyle \left\{\overrightarrow{m}+t_1\cdot \overrightarrow{u}+t_2\cdot \overrightarrow{v}+t_3\cdot \overrightarrow{w}\in {\mathbb{R}}^3\mid {\Vert t\Vert }_1\le r_u\right\}=\left\{\overrightarrow{m}+t_1\cdot \overrightarrow{u}+t_2\cdot \overrightarrow{v}+t_3\cdot \overrightarrow{w}\in {\mathbb{R}}^3\mid \left|t_1\right|+\left|t_2\right|+\left|t_3\right|\le r_u\right\}}$

Die Analoga des Oktaeders in beliebigerDimension${\displaystyle n}$ werden als${\displaystyle n}$-dimensionaleKreuzpolytope bezeichnet und sind ebenfalls regulärePolytope. Das${\displaystyle n}$-dimensionale Kreuzpolytop hat${\displaystyle 2\cdot n}$ Ecken und wird von${\displaystyle 2^n}$${\displaystyle n-1}$-dimensionalenSimplexen (alsFacetten) begrenzt. Dasvierdimensionale Kreuzpolytop hat 8 Ecken, 24 gleich lange Kanten, 32gleichseitige Dreiecke alsSeitenflächen und 16Tetraeder als Facetten. Daseindimensionale Kreuzpolytop ist eineStrecke, daszweidimensionale Kreuzpolytop ist dasQuadrat, dasdreidimensionale Kreuzpolytop ist das Oktaeder.

Ein Modell für das${\displaystyle n}$-dimensionale Kreuzpolytop ist dieEinheitskugel bezüglich derSummennorm

${\displaystyle {\Vert x\Vert }_1=\left|x_1\right|+\cdots +\left|x_n\right|}$ für${\displaystyle x=(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n}$

imVektorraum${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$. Und zwar ist das (abgeschlossene) Kreuzpolytop daher

• die Menge

${\displaystyle \left\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid {\Vert x\Vert }_1\le 1\right\}=\left\{(x_1,\dots ,x_n)\mid \left|x_1\right|+\cdots +\left|x_n\right|\le 1\right\}}$.

• diekonvexe Hülle der${\displaystyle 2\cdot n}$ Eckpunkte${\displaystyle \pm e_i}$, wobei${\displaystyle e_i}$ dieEinheitsvektoren sind.
• derDurchschnitt der${\displaystyle 2^n}$ Halbräume, die durch dieHyperebenen der Form

${\displaystyle \pm x_1\pm \cdots \pm x_n=1}$

bestimmt werden und den Ursprung enthalten.

DasVolumen des${\displaystyle n}$-dimensionalenKreuzpolytops beträgt${\displaystyle \frac{(2\cdot r{)}^n}{n!}}$, wobei${\displaystyle r>0}$ derRadius derKugel um denKoordinatenursprung bezüglich der Summennorm ist. Die Beziehung lässt sich mittelsRekursion und demSatz von Fubini beweisen.^[7]

Das Oktaeder hat elfNetze^[8]. Das heißt, es gibt elf Möglichkeiten, ein hohles Oktaeder durch Aufschneiden von 5 Kanten aufzuklappen und in derEbene auszubreiten. Die anderen 7 Kanten verbinden jeweils die 8gleichseitigen Dreiecke des Netzes. Um ein Oktaeder so zu färben, dass keine benachbartenFlächen dieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 2 Farben.

Das Oktaeder hat einen ihm zugeordneten ungerichtetenplanaren Graphen mit 6Knoten, 12Kanten und 8 Gebieten, der 4-regulär ist, d. h. von jedem Knoten gehen 4 Kanten aus, sodass derGrad für alle Knoten gleich 4 ist. Bei planaren Graphen ist die genauegeometrische Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Oktaedergraphen entsprechen den Ecken des Würfel.

DieKnoten des Oktaedergraphen können mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 3 ist. Außerdem können dieKanten mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind. Mit 3 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für dieKantenfärbung gleich 4 ist (das nebenstehende Bild veranschaulicht diese Färbungen).

Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für dieFlächen oder Gebiete zu bestimmen, ist derduale Graph (Würfelgraph) mit 8Knoten, 12Kanten und 6 Gebieten hilfreich. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des Oktaedergraphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehebijektive Funktion und Abbildung oben). Die Knoten des Würfelgraphen können mit 2 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, sodass die chromatische Zahl des Würfelgraphen gleich 2 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 2 ist, sind 2 Farben für eine solche Flächenfärbung des Oktaeders oder eine Färbung der Gebiete des Oktaedergraphen nötig.^[9]

Die 5 aufgeschnittenenKanten jedesNetzes (siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken (Knoten) einenSpannbaum des Oktaedergraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Oktaedernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man alsdualen Graphen jeweils einem Baum mit 8 Knoten und 7 Kanten und dem maximalen Knotengrad 3. Jede Fläche des Oktaeders wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommt nicht jedegraphentheoretische Konstellation (sieheIsomorphie von Graphen) solcher Bäume vor, aber einige mehrfach.

Der Oktaedergraph besitzt 32Hamiltonkreise und 1488Eulerkreise.^[10]

Derdreidimensionaleeuklidische Raum kann lückenlos mitplatonischen Körpern oderarchimedischen Körpern gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden kann. Solche dreidimensionalenParkettierungen werdenRaumfüllung genannt. Die folgenden Raumfüllungen enthalten Oktaeder:

• 
  Raumfüllung mit Oktaeder undTetraeder
• 
  Raumfüllung mitKuboktaeder und Oktaeder
• 
  Raumfüllung mitHexaederstumpf und Oktaeder

In derChemie können sich bei der Vorhersage vonMolekülgeometrien nach demVSEPR-Modell oktaedrischeMoleküle ergeben. Auch inKristallstrukturen, wie derkubisch flächenzentriertenNatriumchlorid-Struktur (Koordinationszahl 6), taucht das Oktaeder in derElementarzelle auf, genauso in derKomplexchemie, falls sich 6Liganden um einZentralatom lagern.

Einige in der Natur vorkommendeMinerale, z. B. dasAlaun und auchDiamant,kristallisieren in oktaedrischer Form aus.

In Rollenspielen werden oktaedrischeSpielewürfel verwendet und dort als „W8“, also als Würfel mit 8 Flächen, bezeichnet.

• Oktaederzahlen
• Diederwinkel
• Polyeder
• Platonischer Körper

Commons: Oktaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Oktaeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Euklid: Stoicheia. Buch XIII.14. Oktaeder einer Kugel ...
• Oktaeder. – Mathematische Basteleien

1. ↑Heim, Gunter: Rhetos Lexikon der Mathematik. Abgerufen am 13. Juli 2023. 
2. ↑Heim, Gunter: Rhetos Lexikon der Mathematik. Abgerufen am 13. Juli 2023. 
3. ↑Wilhelm Pape, Max Sengebusch (Bearb.):Handwörterbuch der griechischen Sprache. 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (zeno.org [abgerufen am 12. März 2020]). 
4. ↑Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.14., S. 14
5. ↑Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.18., S. 24
6. ↑Susumu Onaka, Department of Materials Science and Engineering, Tokyo Institute of Technology:Simple equations giving shapes of various convex polyhedra: the regular polyhedra and polyhedra composed of crystallographically low-index plane
7. ↑Martin Henk, Jürgen Richter-Gebert, Günter M. Ziegler, Technische Universität Berlin:Basic properties of convex polytopes
8. ↑Eric Weisstein: Regular Oktahedron. Netze. In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 27. Juni 2020. 
9. ↑Mike Zabrocki: HOMEWORK #3 SOLUTIONS - MATH 3260. (PDF) York University, Mathematics and Statistics, Toronto, 2003, S. 3, abgerufen am 31. Mai 2020. 
10. ↑Eric Weisstein: Octahedral Graph. In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 27. Juni 2020. 

• Platonischer Körper