DieNullfunktion ist in derMathematik, insbesondere derAnalysis, eineFunktion, derenFunktionswert unabhängig vom übergebenen Wert immer die ZahlNull ist. Allgemeiner ist dieNullabbildung oder derNulloperator in derlinearen Algebra eine Abbildung zwischen zweiVektorräumen, die stets denNullvektor desZielraums ergibt. Noch allgemeiner wird die Nullabbildung in derAlgebra gefasst und dort ist sie eine Abbildung von einer beliebigenMenge in eine Menge, auf der eineVerknüpfung mitneutralem Element definiert ist, die immer dieses neutrale Element ergibt. Die Nullfunktion hat viele Eigenschaften und wird in der Mathematik oft als Beispiel oder als Gegenbeispiel verwendet. Sie ist dietrivialeLösung einer Reihe mathematischerProbleme, wie zum Beispielhomogenerlinearer Differentialgleichungen undIntegralgleichungen.

In der reellenAnalysis ist die Nullfunktion die reelleFunktion${\displaystyle \varphi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$, die jedem Argument die ZahlNull zuordnet, das heißt, es gilt

${\displaystyle \varphi (x)=0}$

für alle${\displaystyle x\in \mathbb{R}}$. Mit Hilfe desIdentitätssymbols wird die Nullfunktion auch durch

${\displaystyle \varphi \equiv 0}$

notiert. DerGraph der Nullfunktion ist die gesamtex-Achse. Gelegentlich wird derDefinitionsbereich der Nullfunktion auch auf eineTeilmenge${\displaystyle \mathrm{\Omega }\subset \mathbb{R}}$ eingeschränkt.

Die Nullfunktion ist ein Spezialfall folgender Funktionenklassen:

• Sie ist eine speziellekonstante Funktion${\displaystyle f(x)=c}$, und zwar gerade diejenige, deren Konstante${\displaystyle c=0}$ ist.
• Sie ist eine speziellelineare Funktion${\displaystyle f(x)=mx+b}$, und zwar diejenige, derenSteigung${\displaystyle m=0}$ undOrdinatenabschnitt${\displaystyle b=0}$ sind.
• Sie ist eine speziellePolynomfunktion${\displaystyle f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0}$, nämlich dasNullpolynom, bei dem alle Koeffizienten${\displaystyle a_i=0}$ sind. DerGrad des Nullpolynoms wird meist nicht als${\displaystyle 0}$, sondern als${\displaystyle -\mathrm{\infty }}$ definiert.

Die Nullfunktion ist als einzige Funktion gleichzeitiggerade und ungerade, das heißt, es gilt

${\displaystyle \varphi (x)=\varphi (-x)=-\varphi (x)}$.

Weiter ist sie wederpositiv noch negativ, stattdessen ist sie sowohl nichtpositiv als auch nichtnegativ, also

${\displaystyle \varphi (x)\le 0}$   und  ${\displaystyle \varphi (x)\ge 0}$.

DieNullstellen der Nullfunktion sind damit alle Zahlen der Definitionsmenge und ihreNichtnullstellenmenge ist demnachleer. Das Minimum und das Maximum der Nullfunktion sind ebenfalls Null:

${\displaystyle \underset{x\in \mathbb{R}}{max}\varphi (x)=\underset{x\in \mathbb{R}}{min}\varphi (x)=0}$.

Weiterhin ist die Nullfunktion, wie jede konstante Funktion, gleichzeitigmonoton steigend und fallend (jedoch nicht streng) und, wie jede lineare Funktion, gleichzeitigkonvex und konkav.

Die Nullfunktion ist eineglatte Funktion, also beliebig oftstetigdifferenzierbar, wobei jede ihrerAbleitungen wieder die Nullfunktion selbst ist, das heißt

${\displaystyle {\varphi }^{(n)}(x)=\varphi (x)}$

für jedes${\displaystyle n\in \mathbb{N}}$. Neben den Vielfachen derExponentialfunktion ist die Nullfunktion die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft. Die Nullfunktion selbst ist wiederum die Ableitung einer konstanten Funktion und allgemein die${\displaystyle (n+1)}$-te Ableitung eines Polynoms vom Grad${\displaystyle n}$.

DasIntegral der Nullfunktion ergibt unabhängig von den Integrationsgrenzen immer Null, also

${\displaystyle {\int }_a^b\varphi (x)dx=0}$.

für alle${\displaystyle a,b\in \mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\}}$. Die Nullfunktion ist damit die einzige Polynomfunktion, die über den gesamten reellen Zahlen integrierbar ist.Stammfunktion der Nullfunktion ist die Nullfunktion selbst und, da dieIntegrationskonstante frei wählbar ist, auch jede konstante Funktion.

Die Nullfunktion ist die triviale Lösung der vierCauchy-Funktionalgleichungen:^[1]

Weiter löst die Nullfunktion jede homogenelineare Differentialgleichung der Form

${\displaystyle a_n(x)f^{(n)}(x)+a_{n-1}(x)f^{(n-1)}+\cdots +a_1(x)f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=0}$

und jede homogene lineareIntegralgleichung der Art

${\displaystyle \lambda f(x)+{\int }_a^{x}K(x,y)f(y)dy=0}$

mitIntegralkern${\displaystyle K(x,y)}$ und Vorfaktor${\displaystyle \lambda }$. Umgekehrt wird eine inhomogene lineare Differential- oder Integralgleichung nie durch die Nullfunktion gelöst.

In derlinearen Algebra heißt eine Abbildung${\displaystyle \varphi :V\to W}$ zwischen zweiVektorräumen${\displaystyle V}$ und${\displaystyle W}$ über dem gleichenKörper${\displaystyle K}$ Nullabbildung oder Nulloperator, wenn für alle Vektoren${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle \varphi (v)=0_W}$

gilt, wobei${\displaystyle 0_W}$ der eindeutig bestimmteNullvektor von${\displaystyle W}$ ist. Gelegentlich wird die Nullabbildung auch direkt durch${\displaystyle 0}$ notiert, sofern aus dem Kontext klar ist, ob die Nullabbildung oder die Zahl Null gemeint ist. Auch hier kann der Definitionsbereich der Nullabbildung auf eine Teilmenge${\displaystyle U\subset V}$ eingeschränkt werden.

• die reelle Nullfunktion des vorangegangenen Abschnitts und allgemeiner reelle oderkomplexe Funktionen ein oder mehrerer Variablen, deren Funktionswert die Zahl Null oder der Nullvektor ist
• jede Abbildung von einem beliebigen Vektorraum${\displaystyle V}$ in denNullvektorraum${\displaystyle \{0\}}$ und jedelineare Abbildung vom Nullvektorraum in einen beliebigen Vektorraum${\displaystyle W}$^[2]
• eine quadratische Matrix, die in ihrcharakteristisches Polynom eingesetzt wird, nach demSatz von Cayley-Hamilton^[3]
• dieDeterminantenfunktion auf der Menge dersingulären quadratischenMatrizen^[4]

Die Nullabbildung ist einelineare Abbildung, also ein Vektorraumhomomorphismus, das heißt, es gilt

${\displaystyle \varphi (av+bw)=a\varphi (v)+b\varphi (w)}$

für alle${\displaystyle v,w\in V}$ und${\displaystyle a,b\in K}$. Sie liegt also imVektorraum der linearen Abbildungen${\displaystyle L(V,W)}$ und ist dort selbst der Nullvektor.

Jede Nullabbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen wird bezüglich beliebiger Basen durch eineNullmatrix der Größe${\displaystyle \dim W\times \dim V}$ dargestellt.^[5] IhrKern ist ganz${\displaystyle V}$, ihrBild${\displaystyle \{0_W\}}$ und somit ihrRang immer${\displaystyle 0}$. Ist${\displaystyle V=W}$, dann ist besitzt die Nullabbildung als einzigenEigenwert die Zahl Null und der zugehörige Eigenraum ist ganz${\displaystyle V}$.

Sind${\displaystyle V}$ und${\displaystyle W}$normierte Räume mit jeweiligenNormen${\displaystyle \Vert \cdot {\Vert }_V}$ und${\displaystyle \Vert \cdot {\Vert }_W}$, dann ist dieOperatornorm der Nullabbildung

${\displaystyle \Vert \varphi \Vert =\underset{\Vert v{\Vert }_V=1}{sup}\Vert \varphi (v){\Vert }_W=\Vert 0_W{\Vert }_W=0}$.

Die Nullabbildung selbst stellt für${\displaystyle W=\mathbb{R}}$ eineHalbnorm dar.

Allgemein löst die Nullabbildung jede homogene lineare Operatorgleichung

${\displaystyle \mathcal{L}u=0}$,

wobei${\displaystyle \mathcal{L}\in L(V,W)}$ einlinearer Operator ist,${\displaystyle u}$ die gesuchte Funktion und${\displaystyle 0}$ die Nullfunktion ist. Umgekehrt wird eine inhomogene lineare Operatorgleichung, bei der also die rechte Seite ungleich der Nullfunktion ist, nie durch die Nullabbildung gelöst.

Ist${\displaystyle X}$ eineMenge und${\displaystyle Y}$ einMagma mit Eins, das heißt eine Menge versehen mit einer zweistelligenVerknüpfung${\displaystyle \ast }$ mitneutralem Element${\displaystyle 0}$, dann heißt eine Abbildung${\displaystyle \varphi :X\to Y}$ Nullabbildung, wenn für alle${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle \varphi (x)=0}$

gilt. Wichtige Beispiele für${\displaystyle (Y,\ast )}$ sindMonoide,Gruppen,Ringe,Moduln und – wie im vorangegangenen Abschnitt – Vektorräume.

• dieboolesche Funktion derKontradiktion in einenbooleschen Ring bzw. eineboolesche Algebra
• diePolynomfunktion${\displaystyle x^q-x}$ in einemPolynomring über einemendlichen Körper mit${\displaystyle q}$ Elementen^[6]
• die${\displaystyle k}$-te Potenz einernilpotenten Abbildung in einen Ring, wenn${\displaystyle k}$ größer oder gleich demNilpotenzindex der Abbildung ist^[7]
• dasNullmaß, das jeder Menge${\displaystyle A}$ den Wert${\displaystyle \mu (A)=0}$ zuordnet

• Sind${\displaystyle X}$ und${\displaystyle Y}$ zwei Magmen,${\displaystyle Y}$ mit Eins, dann ist die Nullabbildung einMagmenhomomorphismus.
• Sind${\displaystyle X}$ und${\displaystyle Y}$ zwei Ringe, dann ist die Nullabbildung einRinghomomorphismus. Ist${\displaystyle X}$ eineinfacher Ring (beispielsweise ein Körper oder einSchiefkörper), dann ist jeder Ringhomomorphismus entwederinjektiv oder die Nullabbildung.^[8]
• Sind${\displaystyle X}$ und${\displaystyle Y}$ zwei Moduln, dann ist die Nullabbildung einModulhomomorphismus.
• Sind${\displaystyle X}$ und${\displaystyle Y}$ zweiAlgebren über einem Ring, dann ist die Nullabbildung einAlgebrenhomomorphismus.

• Annihilator (Mathematik)
• Nullring
• Nullteiler

• Martin Barner, Friedrich Flohr:Analysis I. de Gruyter, 2000,ISBN 3-11-016778-6. 
• Siegfried Bosch:Lineare Algebra. Springer, 2009,ISBN 3-540-76437-2. 
• Christian Karpfinger, Kurt Meyberg:Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. Springer, 2008,ISBN 3-8274-2018-0. 
• Gilbert Strang:Lineare Algebra. Springer, 2003,ISBN 3-540-43949-8. 

1. ↑Barner, Flohr:Analysis I.S. 247. 
2. ↑Bosch:Lineare Algebra.S. 78. 
3. ↑Bosch:Lineare Algebra.S. 204. 
4. ↑Bosch:Lineare Algebra.S. 141. 
5. ↑Bosch:Lineare Algebra.S. 93. 
6. ↑Karpfinger, Meyberg:Algebra: Gruppen – Ringe – Körper.S. 158. 
7. ↑Karpfinger, Meyberg:Algebra: Gruppen – Ringe – Körper.S. 181. 
8. ↑Karpfinger, Meyberg:Algebra: Gruppen – Ringe – Körper.S. 172. 

• Eric W. Weisstein:Zero Map. In:MathWorld (englisch).
• matte, yark: Zero Map. In:PlanetMath. (englisch)

• Analysis
• Algebra
• Mathematische Funktion

• Wikipedia:Wikidata P2812 verschieden