In derGeometrie ist einNormalenvektor, auchNormalvektor, einVektor, derorthogonal (d. h. rechtwinklig, senkrecht) auf einerGeraden,Kurve,Ebene, (gekrümmten)Fläche oder einerhöherdimensionalen Verallgemeinerung eines solchen Objekts steht. Eine Gerade mit diesem Vektor als Richtungsvektor heißtNormale. EinNormaleneinheitsvektor oder eineEinheitsnormale ist ein Normalenvektor der Länge 1.

In diesem Artikel wird zunächst der Fall von Geraden in der Ebene und von Ebenen im dreidimensionalen Raum behandelt (Lineare Algebra undanalytische Geometrie), dann der Fall von Kurven in der Ebene und von Flächen im Raum (Differentialgeometrie).

Ein Normalenvektor einer Geraden${\displaystyle g}$ in der Ebene ist ein vomNullvektor verschiedener Vektor, der senkrecht auf dieser Geraden steht, also der Richtungsvektor einer Geraden, die senkrecht auf${\displaystyle g}$ steht, sprich einerOrthogonalen oderNormalen zu${\displaystyle g}$.^[1]

Hat${\displaystyle g}$ den Richtungsvektor${\displaystyle \overrightarrow{v}=(a,b)}$, so sind die beiden Vektoren${\displaystyle (-b,a)}$ und${\displaystyle (b,-a)}$ Normalenvektoren. Durchläuft man die Gerade in der Richtung von${\displaystyle \overrightarrow{v}}$, so weist${\displaystyle (-b,a)}$ nach links und${\displaystyle (b,-a)}$ nach rechts.

Sei${\displaystyle g}$ eine Gerade in der Ebene${\displaystyle {\mathbb{R}}^2}$ und${\displaystyle \overrightarrow{v}}$ ein Richtungsvektor der Geraden${\displaystyle g}$. Der Normalenvektor ist nicht eindeutig und kann mit Mengenschreibweise definiert werden:

${\displaystyle \overrightarrow{n}:=\{\overrightarrow{u}\in {\mathbb{R}}^2\mathrm{\setminus }\{\overrightarrow{0}\}\mid \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0\}}$

Eine sprachliche Formulierung ist dieser Mengenschreibweise ist: Der Normalenvektor ist definiert als die Menge aller Vektoren${\displaystyle \overrightarrow{u}}$ (ohne den Nullvektor) für die gilt, dass dasSkalarprodukt von${\displaystyle \overrightarrow{u}}$ und einem Richtungsvektor der Geraden${\displaystyle \overrightarrow{v}}$ gleich Null ist.

Wenn also für einen beliebigen Vektor${\displaystyle \overrightarrow{u}\in {\mathbb{R}}^2}$,${\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0}$ gilt, so ist${\displaystyle \overrightarrow{u}}$ ein Normalenvektor der Geraden${\displaystyle g}$.

Ist die Gerade in derNormalform

${\displaystyle y=mx+c}$

gegeben, so ist der Vektor${\displaystyle (1,m)}$ ein Richtungsvektor der Geraden und${\displaystyle (-m,1)}$ und${\displaystyle (m,-1)}$ sind Normalenvektoren. Für${\displaystyle m\ne 0}$ hat also jede Normale die Steigung${\displaystyle -\frac{1}{m}}$.Ist${\displaystyle m=0}$, also${\displaystyle g}$ horizontal, so ist jede Normale vertikal, hat also eine Gleichung der Form${\displaystyle x=a}$.^[1]

Ist die Gerade in der allgemeinen Form

${\displaystyle ax+by=d}$

gegeben, so ist${\displaystyle (a,b)}$ ein Normalenvektor.^[1]

Aus einem Normalenvektor${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ lässt sich ein Normaleneinheitsvektor${\displaystyle {\overrightarrow{n}}_0}$ berechnen, indem${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ durch seine Länge (Norm, Betrag) dividiert wird. Der Vektor${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ wird mithin normiert.

${\displaystyle {\overrightarrow{n}}_0=\frac{1}{\Vert \overrightarrow{n}\Vert }\overrightarrow{n}}$

Der zweite Normaleneinheitsvektor${\displaystyle -{\overrightarrow{n}}_0}$ ergibt sich durch Multiplikation des obigen Normaleneinheitsvektors mit${\displaystyle -1}$. Jeder Normalenvektor kann durch Multiplikation eines Normaleneinheitsvektors mit einerreellen Zahl ungleich null gebildet werden.

EinNormalenvektor einer Ebene${\displaystyle E}$ im dreidimensionalen Raum ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht, also der Richtungsvektor einer Geraden, die senkrecht auf${\displaystyle E}$ steht, sprich einerOrthogonalen oderNormalen zu${\displaystyle E}$.^[1]

Ist die Ebene durch dieKoordinatengleichung

${\displaystyle ax+by+cz=d}$

gegeben, so ist${\displaystyle (a,b,c)}$ ein Normalenvektor.^[1] Ist die Koordinatengleichung nach${\displaystyle z}$ aufgelöst,

${\displaystyle z=ax+by+c}$,

so ist${\displaystyle (-a,-b,1)}$ ein nach oben weisender und${\displaystyle (a,b,-1)}$ ein nach unten weisender Normalenvektor.

Ist${\displaystyle E}$ durch zwei aufspannende Vektoren${\displaystyle \overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)}$ und${\displaystyle \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)}$ gegeben (Punkt-Richtungs-Form oderParameterform), führt die Bedingung, dass der Normalenvektor${\displaystyle \overrightarrow{n}=(n_1,n_2,n_3)}$ senkrecht auf${\displaystyle \overrightarrow{u}}$ und${\displaystyle \overrightarrow{v}}$ steht, auf einlineares Gleichungssystem für die Komponenten${\displaystyle n_1,n_2,n_3}$ von${\displaystyle \overrightarrow{n}}$:

Jede von${\displaystyle (0,0,0)}$ verschiedene Lösung liefert einen Normalenvektor.^[1]

Eine andere Möglichkeit, Normalenvektoren zu bestimmen, bietet dasKreuzprodukt. Der Vektor

${\displaystyle \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{u}_2\cdot v_3-u_3\cdot v_2\\ u_3\cdot v_1-u_1\cdot v_3\\ u_1\cdot v_2-u_2\cdot v_1\end{array}\right)}$

steht senkrecht auf${\displaystyle \overrightarrow{u}}$ und${\displaystyle \overrightarrow{v}}$, und${\displaystyle \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}}$ bilden in dieser Reihenfolge einRechtssystem.^[1]

Wie im Fall der Gerade in der Ebene erhält man aus einem Normalenvektor einen Normaleneinheitsvektor, indem man ihn durch seine Länge dividiert, einen zweiten durch Multiplikation mit${\displaystyle -1}$ und alle andern Normalenvektoren durch Multiplikation mit reellen Zahlen ungleich 0.

Eine Ebene wird durch einen Normalenvektor sowie einen auf der Ebene liegenden Punkt eindeutig bestimmt, sieheNormalenform undhessesche Normalform.^[1]

In derAnalysis und in derDifferentialgeometrie ist der Normalenvektor zu einer ebenenKurve (in einem bestimmten Punkt) ein Vektor, der auf demTangentialvektor in diesem Punkt orthogonal (senkrecht) steht. Die Gerade in Richtung des Normalenvektors durch diesen Punkt heißtNormale, sie ist orthogonal zurTangente.^[1]

Ist die Kurve alsGraph einerdifferenzierbarenFunktion${\displaystyle f}$ gegeben, so hat die Tangente im Punkt${\displaystyle p=(x_0,f(x_0))}$ die Steigung${\displaystyle m_t=f^{\prime }(x_0)}$, die Steigung der Normalen beträgt also

${\displaystyle m_n=-\frac{1}{m_t}=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}.}$

Die Normale im Punkt${\displaystyle p=(x_0,f(x_0))}$ ist dann durch die Gleichung

${\displaystyle y=f(x_0)+m_n(x-x_0),}$

also durch

${\displaystyle y=f(x_0)-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)}$

gegeben.^[1]

Ist die ebene Kurve inParameterform gegeben,${\displaystyle c(t)=(x(t),y(t))}$, so ist${\displaystyle \dot{c}(t)=(\dot{x}(t),\dot{y}(t))}$ ein Tangentialvektor im Punkt${\displaystyle c(t)}$ und${\displaystyle (\dot{y}(t),-\dot{x}(t))}$ ein nach rechts weisender Normalenvektor. Hier bezeichnet, wie in der Differentialgeometrie üblich, der Punkt die Ableitung nach dem Kurvenparameter.^[1]

BeiRaumkurven bilden die Normalenvektoren in einem Punkt${\displaystyle P}$ (wie im Fall der Geraden im Raum) einen zweidimensionalenUntervektorraum, der zugehörigeaffine Unterraum durch${\displaystyle P}$, ist die zur Kurve in${\displaystyle P}$ senkrechte Ebene. In der elementaren Differentialgeometrie wählt man einenEinheitsvektor aus, der in die Richtung zeigt, in die die Kurve gekrümmt ist. Diesen nennt manHauptnormalen(einheits)vektor, sieheFrenetsche Formeln.

Entsprechend ist der Normalenvektor einer gekrümmtenFläche in einem Punkt der Normalenvektor derTangentialebene in diesem Punkt.

Ist die Fläche durch dieParameterdarstellung

${\displaystyle F:U\subset {\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3,(u,v)\mapsto F(u,v)}$

gegeben, so sind die beiden Vektoren

${\displaystyle F_u(u,v):=\frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }u}(u,v)}$ und${\displaystyle F_v(u,v):=\frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }v}(u,v)}$

Spannvektoren der Tangentialebene im Punkt${\displaystyle F(u,v)}$. (Hier wird vorausgesetzt, dass die Fläche bei${\displaystyle (u,v)}$regulär ist, also dass${\displaystyle F_u(u,v)}$ und${\displaystyle F_v(u,v)}$linear unabhängig sind.) Ein Normalenvektor im Punkt${\displaystyle F(u,v)}$ ist ein Vektor, der senkrecht auf${\displaystyle F_u(u,v)}$ und${\displaystyle F_v(u,v)}$ steht, z. B. der durch das Kreuzprodukt gegebene und dann normierteHauptnormalenvektor

${\displaystyle N(u,v):=\frac{F_u(u,v)\times F_v(u,v)}{\left|F_u(u,v)\times F_v(u,v)\right|}.}$

Hier bezeichnen die senkrechten Striche dieeuklidische Norm des Vektors.^[2]

Ist die Fläche implizit durch eine Gleichung gegeben,

${\displaystyle g(x,y,z)=0}$,

wobei${\displaystyle g:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}}$ eine differenzierbare Funktion ist, so ist derGradient

${\displaystyle \mathrm{grad}g(x,y,z)=\left(\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }x}(x,y,z),\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }y}(x,y,z),\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }z}(x,y,z)\right)}$

ein Normalenvektor der Fläche im Punkt${\displaystyle (x,y,z)}$ (vorausgesetzt, dass er dort nicht verschwindet).

Ist die Fläche als Graph einer differenzierbaren Funktion${\displaystyle f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}}$ gegeben, so ist

${\displaystyle \left(-\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,y),-\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(x,y),1\right)}$

ein nach oben weisender Normalenvektor im Punkt${\displaystyle p=(x,y,f(x,y))}$. Dies erhält man, indem man verwendet, dass die Abbildung${\displaystyle F(x,y)=(x,y,f(x,y))}$ eine Parametrisierung ist oder dass die Fläche durch die Gleichung

${\displaystyle g(x,y,z):=z-f(x,y)=0}$

dargestellt wird.^[1][2]

Der Begriff des Normalenvektors lässt sich verallgemeinern auf

1. affine Unterräume (verallgemeinerte Ebenen) in euklidischen Räumen höhererDimension (insbesondere aufHyperebenen),
2. Flächen,Hyperflächen undUntermannigfaltigkeiten in euklidischen Räumen höherer Dimension,
3. Flächen, Hyperflächen und Untermannigfaltigkeiten vonRiemannschen Mannigfaltigkeiten,
4. Nichtglatte Objekte, wie konvexe Körper undrektifizierbare Mengen.

In derAnalysis undDifferentialgeometrie spielen Normalenvektoren eine zentrale Rolle bei der Berechnung vonOberflächeninhalten undOberflächenintegralen. Im Bereich derComputergrafik werden Normalenvektoren unter anderem genutzt, um festzustellen, ob eine Fläche dem Benutzer zugewandt ist oder nicht, um letztere von der Bildberechnung auszuschließen (Back-Face Culling). Des Weiteren werden sie zur Berechnung von Lichteinfall und Reflexionen benötigt.

• Eric W. Weisstein:normal vector. In:MathWorld (englisch).

1. ↑^abcdefghijklNormale,Normalenform,Normalenvektor.Ebenengleichung,Geradengleichung In:Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004,ISBN 3-411-04275-3, S. 89–93, 154–156, 299–300
2. ↑^ab Kurt Endl,Wolfgang Luh:Analysis. Band 2. 7. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989,ISBN 3-89104-455-0, S. 375–387.

• Analytische Geometrie
• Elementare Differentialgeometrie