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Newtonsche Gesetze

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Newtons erstes und zweites Gesetz, in Latein, aus der Originalausgabe derPrincipia Mathematica von 1687.

Im Jahr 1687 erschienIsaac Newtons WerkPhilosophiae Naturalis Principia Mathematica (lat.; ‚Mathematische Prinzipien derNaturphilosophie‘), in dem Newton drei Grundsätze derBewegungslehre formuliert, die als dieNewtonschen Axiome,Grundgesetze der Bewegung,Newtonsche Prinzipien oder auchNewtonsche Gesetze bekannt sind. Sie werden in Newtons Werk mitLex prima,Lex secunda undLex tertia (‚Erstes/Zweites/Drittes Gesetz‘) bezeichnet, oder zusammengenommen mitaxiomata, sive leges motus (‚Axiome oder Gesetze der Bewegung‘).

DieseGesetze bilden das Fundament derKlassischen Mechanik. Obwohl sie im Rahmen moderner physikalischer Theorien wie derQuantenmechanik und derRelativitätstheorie nicht uneingeschränkt gelten, sind mit ihrer Hilfe innerhalb des weiten Gültigkeitsbereiches der klassischen Mechanik zuverlässigeVorhersagen möglich.

Meistens werden die drei Gesetze in vereinfachter Form so wiedergegeben:

Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.
Kraft gleichMasse malBeschleunigung:
${\vec {F}}=m\cdot {\vec {a}}$
Kraft gleich Gegenkraft: Eine Kraft von Körper A auf Körper B geht immer mit einer gleich großen, aber entgegen gerichteten Kraft von Körper B auf Körper A einher:
${\vec {F}}_{A\to B}=-{\vec {F}}_{B\to A}$

Zudem ging Newton davon aus, dass zwei Kräfte mit einemKräfteparallelogramm zu einer resultierenden Kraft zusammengefasst werden können. Das Axiom vom Kräfteparallelogramm wurde auch als viertes Newtonsches Gesetz bezeichnet, während in moderner Literatur meist das allgemeinereSuperpositionsprinzip als viertes Newtonsches Gesetz genannt wird.

Überblick

Erstes Newtonsches Gesetz

Das erste Newtonsche Gesetz wird auchlex prima,Trägheitsprinzip,Trägheitsgesetz oderInertialgesetz genannt. Das Trägheitsprinzip macht Aussagen über die Bewegung von physikalischen Körpern inInertialsystemen:

„Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder dergleichförmig geradlinigen Bewegung, sofern jener nicht durch einwirkendeKräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird.“

Lateinischer Originaltext:

Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare.^[1]

Die Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ ist also in Betrag und Richtung konstant. Eine Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch Ausübung einer Kraftvon außen erreicht werden, beispielsweise durch dieGravitationskraft oder dieReibungskraft. Man beachte, dassinnere Kräfte, also Kräfte zwischen den Teilen eines zusammengesetzten Körpers, seine Bewegung als Ganzes nicht beeinflussen.

Andere Formulierungen lauten:

Wirkt auf einen Körper keine Kraft, so ist seine Geschwindigkeit zeitlich konstant.^[2]

Wenn auf einen Massenpunkt keine Kraft wirkt, so ist seinImpuls konstant.^[3] Dabei ist der Impuls das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit.

Daraus folgt nicht, dass gar keine Kraft wirkt, wenn er sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Dasselbe Ergebnis tritt nämlich auch dann ein, wenn mehrere Kräfte auf ihn wirken, die einander in ihrer Wirkung aufheben. In diesem Fall befindet er sich imKräftegleichgewicht und es wirkt keineresultierende Kraft.

Die obigen Fassungen gelten nur dann, wenn die Bewegung in einem Inertialsystem beschrieben wird. Das erste Newtonsche Gesetz ist dann lediglich ein Spezialfall des zweiten.^[4] In den modernen Werken zurtheoretischen Mechanik wird meist zunächst dasBezugssystem definiert und das erste Newtonsche Gesetz in der folgenden oder einer ähnlichen Fassung eingeführt.

Es gibtKoordinatensysteme, in denen sich jeder kräftefreie Massepunkt geradlinig gleichförmig bewegt oder ruht. Diese besonders wichtigen Koordinatensysteme werden Inertialsysteme genannt.^[5]

Das erste Newtonsche Axiom wird somit als Definition für den Begriff des Inertialsystems genutzt.

Zweites Newtonsches Gesetz

Stadler-Eurodual-Lokomotive mit der Grundgleichung der Mechanik.

Das zweite Newtonsche Gesetz wird auchlex secunda,Aktionsprinzip oder (in derTechnischen Mechanik)Impulssatz genannt,^[6] wobei jedoch mit letzterem in der Physik nur derImpulserhaltungssatz bezeichnet wird.

Es ist die Grundlage für viele Bewegungsgleichungen derMechanik:

„DieÄnderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraftproportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.“

Lateinischer Originaltext:

„Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.“

Formal wird dieser Zusammenhang zwischen Kraft und Bewegungsänderung als ${\dot {\vec {v}}}\propto {\vec {F}}$ ausgedrückt, beziehungsweise als ${\dot {\vec {p}}}\propto {\vec {F}}$ . Hierbei sind ${\dot {\vec {v}}}$ die Änderungsrate der Geschwindigkeit, also dieBeschleunigung, und ${\dot {\vec {p}}}$ die Änderungsrate des Impulses. ${\vec {F}}$ bezeichnet die resultierende äußere Kraft. Sofern für die Kraft einekohärente Einheit verwendet wird, wie beispielsweiseNewton iminternationalen Einheitensystem, so kann die letzte Beziehung auch als Gleichung geschrieben werden:

{\vec {F}}={\dot {\vec {p}}}

Ersetzt man in dieser Gleichung den Impuls durch $m{\vec {v}}$ , so erhält man ${\vec {F}}=m{\dot {\vec {v}}}$ , beziehungsweise

{\vec {F}}=m{\vec {a}}

mit der Beschleunigung ${\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}$ . Vor allem in der letzten Schreibweise wird diese Beziehung häufig alsGrundgleichung der Mechanik bezeichnet (siehe Abschnitt weiter unten). Sie wurde in dieser Weise erstmals 1750 vonLeonhard Euler formuliert.^[7] Für die Bewegung in einer Dimension, d. h. ohne Änderung der Richtung, geht die Formulierung aufJakob Hermann zurück.

In seinem Originalwerk hat Newton für die einwirkende Kraft ${\vec {F}}$ und die resultierende Bewegungsänderung eineProportionalität postuliert, allerdings nicht in einer der heute üblichen Formen (wie $F\propto {\dot {p}},\ F=\mathrm {const} \cdot {\dot {p}},\ F/{\dot {p}}=\mathrm {const}$ ) ausgedrückt und erst recht nicht einander gleichgesetzt (d. h. $\mathrm {const} =1$ ). Er arbeitete, wie in seiner Zeit üblich, vorrangig mit Quotienten zweier gleichartiger Dinge (entsprechend z. B. $F_{1}/F_{2}={\dot {p}}_{1}/{\dot {p}}_{2}$ ), nicht mit Quotienten (oder Produkten) von Dingen verschiedener Art. Die mathematischeGleichsetzung von begrifflich so verschiedenen Dingen wie Kraft und Impulsänderung (genauer: Impulsänderungsrate ${\dot {p}}$ ) wurde erst später vonLeonhard Euler (in der Form ${\vec {F}}={\dot {\vec {p}}}$ ) undd’Alembert (in der Form ${\vec {F}}_{\mathrm {traeg} }=-m{\ddot {\vec {x}}}$ für die Trägheitskraft ${\vec {F}}_{\mathrm {traeg} }=-{\vec {F}}$ ) formuliert.^[8]

Die Darstellung ${\vec {F}}={\dot {\vec {p}}}$ wird auch alsImpulssatz bezeichnet, vor allem in Literatur zurTechnischen Mechanik und zurStrömungslehre. In Worten ausgedrückt bedeutet sie, dass die zeitliche Änderung des Impulses eines Körpers der resultierenden äußeren Kraft entspricht, die auf diesen Körper wirkt. Diese Darstellung ist allgemeiner als die darunter genannte Form von Euler, da sie auch Bewegungen von Körpern mit veränderlicher Masse (beispielsweiseRaketen) beschreibt. Das 2. Newtonsche Gesetz kann auch inintegraler Form dargestellt werden:

\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {F}}(t)\,\mathrm {d} t={\vec {p}}_{1}-{\vec {p}}_{0}=\Delta {\vec {p}}

Das Integral der Kraft über die Zeit oder (im Falle einer konstanten Kraft) das Produkt aus Kraft und Einwirkungsdauer wird auch alsKraftstoß bezeichnet. Die Kraft kann somit als Ursache für die Änderung des Impulses gedeutet werden. Kräfte, die parallel oder antiparallel zur Bewegungsrichtung wirken, verändern denBetrag des Impulses; wirken sie rechtwinklig zur Bewegung, so ändern sie dessenRichtung; Kräfte, die schiefwinklig angreifen, beeinflussen beides. Falls die resultierende Kraft null ist, folgt daraus derImpulserhaltungssatz.^[9]^[10]^[11]^[12] (siehe Erstes Newtonsches Gesetz)

Drittes Newtonsches Gesetz

Das dritte Newtonsche Gesetz, auchlex tertia,Wechselwirkungsprinzip,Gegenwirkungsprinzip, oderReaktionsprinzip genannt, besagt:

„Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“

Lateinischer Originaltext:

„Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi.“

{\vec {F}}_{A\to B}=-{\vec {F}}_{B\to A}

Das Wechselwirkungsprinzip wird auch als Prinzip vonactio undreactio bezeichnet.

Im Unterschied zum Kräftegleichgewicht wirken die beiden Kräfte ${\vec {F}}_{A\to B}$ und ${\vec {F}}_{B\to A}$ nicht auf denselben, sondern aufverschiedene Körper. Sie heben sich also nicht gegenseitig auf.

Das dritte Newtonsche Gesetz setzt voraus, dass die Wirkung der wechselseitigen Kräfte auf beide Körper unmittelbar, also gleichzeitig erfolgt. Während das bei Körpern, die sich direkt berühren, naheliegend ist, macht es bei weit voneinander entfernten Körpern eine unverzüglicheFernwirkung erforderlich. Dies ist nach heutigem Verständnis der Physik nicht möglich. In derspeziellen Relativitätstheorie (und damit derElektrodynamik) und derallgemeinen Relativitätstheorie zeigt sich, dass das dritte Newtonsche Gesetz nicht immer anwendbar ist – verwendbar ist weiterhin dieImpulserhaltung des Gesamtsystems (Teilchen plus Feld).^[13] Der Unterschied zwischen der von Newton postulierten Fernwirkung und der verzögerten Kraftübertragung durch Felder wirkt sich vor allem auf relativ zueinander bewegte Körper aus, die Verzögerung ist gut durch Beobachtungen bestätigt.

Das Wechselwirkungsprinzip lässt sich auch so formulieren, dass in einem aus mehreren Körpern bestehenden System die Vektorsumme der Kräftezwischen den Körpern gleich Null ist.

Superpositionsprinzip der Kräfte

In Newtons Werk wird dasPrinzip der ungestörten Überlagerung oderSuperpositionsprinzip der Mechanik als Zusatz zu den Bewegungsgesetzen beschrieben.

„Wirken auf einen Punkt (oder einenstarren Körper) mehrere Kräfte ${\vec {F}}_{1},{\vec {F}}_{2},\dots ,{\vec {F}}_{n}$ , so addieren sich diese vektoriell zu einer resultierenden Kraft ${\vec {F}}$ auf.“

{\vec {F}}_{\text{res}}={\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2}+\dots +{\vec {F}}_{n}

Später wurde dieses Superpositionsprinzip auch alslex quarta, alsviertes Newtonsches Gesetz bezeichnet.

Grundgleichung der Mechanik

Die Gleichung

{\vec {F}}=m{\vec {a}}

ist zentral für das Verständnis von Bewegungsvorgängen. Sie umfasst das 1. und 2. Newtonsche Gesetz und stellt einen quantitativen Zusammenhang zwischen der Kraft ${\vec {F}}$ , die auf einen Körper der Masse $m {\displaystyle m}$ einwirkt, und der Bewegung bzw. Bewegungsänderung des Körpers her. Wirken mehrere Kräfte auf den Körper ein, ist für ${\vec {F}}$ die resultierende Kraft zu nehmen, das ist dieVektorsumme aller einwirkenden Kräfte.Für diese Gleichung gibt es hauptsächlich drei Lesarten:

Kennt man die Masse eines Körpers und die gewünschte Beschleunigung, dann kann man mit der Gleichung ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ die dafür erforderliche Kraft berechnen. Beispielsweise erfährt man so, welche Schubkraft die Düsen eines Flugzeugs aufbringen müssen, um es beim Start ausreichend zu beschleunigen.
Kennt man die Kräfte, die auf einen Körper einwirken, und damit die resultierende Kraft ${\vec {F}}$ , so kann man mit der Beziehung ${\vec {a}}={\tfrac {\vec {F}}{m}}$ die Änderung seiner Bewegung vorhersagen. Im einfachsten Fall ist die Kraft konstant und es ergibt sich daher eine konstante Beschleunigung. Im allgemeinen Fall hängt die Kraft jedoch vom Ort ${\vec {x}}$ , von der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ und von der Zeit $t {\displaystyle t}$ ab: ${\vec {F}}={\vec {F}}(t,{\vec {x}},{\vec {v}})$ . Dann ergibt sich eineDifferentialgleichung zweiter Ordnung. Die allgemeine Lösung dieser DGL umfasst alle prinzipiell mögliche Bewegungen desMassenmittelpunkts des Körpers. Die spezielle Lösung der tatsächlichen Bewegung findet man durch die Lösung des Anfangswertproblems. Ein einfaches Beispiel für diese Lesart der Grundgleichung der Mechanik ist derfreie Fall. Hier ist wegen der gleichbleibenden Stärke des Gravitationsfeldes die Fallbeschleunigung konstant: ${\vec {a}}={\tfrac {{\vec {F}}_{\text{G}}}{m}}={\vec {g}}$ . Ein etwas komplizierteres Beispiel findet sich in diesem Artikel weiter unten („Harmonischer Oszillator“).
Kennt man die (resultierende) Kraft und die Beschleunigung, die durch sie hervorgerufen wird, so kann man mit der Gleichung $m={\tfrac {F}{a}}$ die Masse des Körpers bestimmen. Dies nutzt man in den meistenWaagen, die tatsächlich dieGewichtskraft messen, aber eine „Masse“ anzeigen, wobei dieFallbeschleunigung als konstantes Verhältnis zwischen diesen beiden Größen vorausgesetzt wird.

Anwendungsbeispiele

Last an einer festen Rolle

Eine Last (10,2 kg) an einer festen Rolle

Als einfaches Anwendungsbeispiel soll hier eine Last dienen, die an einem Seil hängt, das über eine feste Rolle läuft (siehe Abbildung).

Auf die Last wirkt eineGewichtskraft $F=mg$ von (beispielsweise) 100 N nach unten. Gleichzeitig wirkt durch das gespannte Seil auf die Last eine Kraft von 100 N nach oben. Diese beide Kräfte heben sich auf. Die Last befindet sich also im Kräftegleichgewicht. Nach dem ersten Newtonschen Gesetz befindet sie sich entweder in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf oder ab. Entgegen der Intuition ist für das Heben und Senken einer Last die gleiche Kraft erforderlich.
Wenn man das Seil loslässt, wird die Last immer noch mit einer Kraft von 100 N nach unten gezogen. Es fehlt aber die nach oben gerichtete Kraft. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz beginnt die Last nun beschleunigt nach unten zu fallen. Die Fallbeschleunigung berechnet sich nach der Grundgleichung der Mechanik aus der Kraft und der Masse der Last: $a={\frac {F}{m}}=g$ . Offensichtlich hängt diese Beschleunigung nur vomSchwerefeld der Erde, nicht aber von der Masse der Last ab. (Mit anderen Worten: Auf der Erde fallen alle Körper gleich schnell, sofern andere Kräfte als die Gewichtskraft zu vernachlässigen sind).
Wenn ein Mensch mit der Kraft nach unten zieht, die in der Abbildung durch den roten Pfeil dargestellt wird, so erfährt er selbst nach dem dritten Newtonschen Gesetz eine nach oben wirkende Kraft. Dies wird spätestens dann offensichtlich, wenn er versucht, eine Last anzuheben, die schwerer ist als er selbst.
Auch die Gewichtskraft, die den frei fallenden Körper nach unten beschleunigt (actio), bewirkt eine entgegengesetzte, also nach oben gerichtete Kraft (reactio). Da die Gewichtskraft von der Gravitation der Erde hervorgerufen wird, muss also diese ebenso große Kraft auf die Erde wirken. Wegen ihrer enormen Masse ist die Beschleunigung der Erde nach oben aber nicht zu bemerken.
Man könnte den zweiten Punkt auch anders betrachten: Sobald man das Seil loslässt, wirkt keine (offensichtliche) Kraft mehr auf die Last. Betrachtet man den nun eintretenden Zustand als kräftefrei, so folgt nach dem ersten Newtonschen Gesetz, dass das Bezugssystem, in dem die frei fallende Last ruht, ein Inertialsystem ist. Demnach ist die zuvor wirksame Seilkraft nach dem zweiten Newtonschen Gesetz als eine nach oben beschleunigende Kraft zu sehen. Das Gewicht der Last ist dann nichts anderes als die Trägheit, die sich einer Beschleunigung nach oben widersetzt. Die Überlegung, dass diese Betrachtungsweise ebenso korrekt ist wie die weiter oben beschriebene, führt zumÄquivalenzprinzip derallgemeinen Relativitätstheorie.

Horizontales Federpendel (Harmonischer Oszillator)

Eine Masse $m {\displaystyle m}$ kann sich reibungsfrei in horizontaler Richtung bewegen. Sie ist über eine Feder mit der Wand verbunden. Am Ort $x=0$ ist die Feder entspannt. Die Masse erfährt in horizontaler Richtung keine Kraft. Man bezeichnet diese Position auch als „Gleichgewichtslage“, da hier Kräftegleichgewicht herrscht. (In vertikaler Richtung wirkt die Gewichtskraft nach unten und die Stützkraft des Bodens nach oben. Diese beiden Kräfte heben sich gegenseitig auf. Da sich daran während der gesamten Bewegung der Masse nichts ändert, werden diese beiden Kräfte im Weiteren nicht mehr berücksichtigt).

Um die Feder um die Strecke $x {\displaystyle x}$ zu dehnen, ist nach demHookeschen Gesetz eine Kraft $F_{\mathrm {Feder} }=Dx$ erforderlich. Folglich übt die Feder nach dem dritten Newtonschen Gesetz die Gegenkraft $F=-Dx$ auf die Masse aus. Das negative Vorzeichen zeigt an, dass die Kraft entgegen der Auslenkung stets zur Gleichgewichtslage hin wirkt.
Da nur in der Gleichgewichtslage $x=0$ keine Kraft wirkt, ist es nach dem ersten Newtonschen Gesetz nur dort möglich, dass der Körper in Ruhe verharrt. An jedem anderen Ort wird er mehr oder weniger stark beschleunigt.
Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt

F(t)=ma(t)=-Dx(t)

Die Beschleunigung ist per Definition die zweite zeitliche Ableitung des Orts:

a(t)={\ddot {x}}(t)

. Es ergibt sich also eine lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung:

m{\ddot {x}}(t)+Dx(t)=0

Die Lösungen dieser Differentialgleichungen sind zeitlich periodische Funktionen der Gestalt

x(t)={\hat {x}}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{0})

. Die Masse kann also Schwingungen um die Gleichgewichtslage ausführen. Die Parameter

{\hat {x}}

und

\varphi _{0}

ergeben sich aus den Anfangsbedingungen, dieKreisfrequenz

\omega

aus der Masse und der Federhärte:

\omega ={\sqrt {\frac {D}{m}}}

.

Geschichte

Als Erster erkannteGalileo Galilei zu Beginn des 17. Jahrhunderts das Trägheitsprinzip und formulierte auch schon, dass die kräftefreie Bewegung sich beliebig weit geradlinig fortsetze. Er nutzte dies zur ersten korrekten Behandlung der Bewegungen von Körpern auf der Erde imfreien Fall, imschiefen Wurf und auf derschiefen Ebene.^[14]^[15] Die erste eindeutige Formulierung als allgemeines Prinzip der kräftefreien Bewegungen gabRené Descartes 1644. Bereits vor der Newtonschen Formulierung als erstes Axiom (Lex Prima), ab Mitte des 17. Jahrhunderts, war das Trägheitsprinzip der Ausgangspunkt zur Begründung verschiedener mechanischer Gesetzmäßigkeiten, wie vor allem aus der Stoßtheorie und der Theorie starrer Körper. In diesem Sinne ist das Trägheitsprinzip in der zeitlich vorausgehenden Mechanik vonChristiaan Huygens fest verankert.^[16] Newton war dann der Erste, der das Trägheitsprinzip auch zur Begründung von Gesetzen derHimmelsmechanik einbrachte und somit auf die Bewegung der irdischen Körperund derHimmelskörper verallgemeinerte. Darin besteht auch seine besondere Leistung.^[17] In den Werken der Antike, die noch bis ins Spätmittelalter als korrekt angesehen wurden, war man der Meinung, dass die Bewegungen auf der Erde und diejenigen am Himmel verschiedenen Gesetzmäßigkeiten gehorchen. Newton erkannte sie als zwei Spezialfälle eines allgemeinen Gesetzes. Außerdem erklärte Newton damit die geradlinige, unbeschleunigte Bewegung zum Normalfall. Nur wenn die Bewegung eines Körpers davon abweicht, muss man dies mit der Wirkung von Kräften erklären. Noch kurz vor Newton ging man davon aus, dass die Kreisbewegung der Normalfall wäre.^[18]

Literatur

Isaac Newton:Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. 3. Auflage. Innys, Regiae Societatis typographos, London 1726 (uni-goettingen.de [abgerufen am 30. Juli 2017]).
Jerry Marion, Stephen Thornton:Classical Dynamics of Particles and Systems. Harcourt College Publishers, 1995,ISBN 0-03-097302-3.
G. R. Fowles, G. L. Cassiday:Analytical Mechanics. 6. Auflage. Saunders College Publishing, 1999,ISBN 0-03-022317-2.
Ulrich Hoyer:Ist das zweite Newtonsche Bewegungsaxiom ein Naturgesetz? In:Zeitschrift für allgemeine Wissenschaftstheorie. Band VIII, 1977, S. 292–301,doi:10.1007/BF01800698.

Weblinks

Wikisource: Mathematische Principien der Naturlehre (Die Wolfers-Übersetzung, 1872) – Quellen und Volltexte

Commons: Newton's laws of motion – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

↑Philosophiae naturalis principia mathematica. London, 1726 S. 13 (GDZ) – fast ebenso in der Auflage Genf 1739, S. 20 (Digitalisat, 60 of 589):„Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.“
↑Brandt, Damen:Mechanik – Vom Massenpunkt zum starren Körper. Springer, 2016, S. 12.
↑Gross et al.:Technische Mechanik – Kinetik. 13. Auflage. Springer, 2015, S. 36.
↑Bartelmann et al. (Hrsg.):Theoretische Physik. Springer, 2015, S. 10.
↑Tobias Henz, Gerald Langhanke:Pfade durch die Theoretische Mechanik 1. Springer, 2016, S. 42.
Beinahe gleichlautend auch bei Nolting:Grundkurs Theoretische Physik 1 – Klassische Mechanik. Die Newtonsche Mechanik und ihre mathematischen Grundlagen: anschaulich – axiomatisch – abstrakt. 10. Auflage. Springer, 2013, S. 173.
↑Mathias Fraaß: Impulssatz. (PDF) beuth-hochschule.de, 2006, abgerufen am 1. September 2020.
↑L. Euler:Découverte d'un nouveau principe de mécanique. Memoires de l’Academie royal des sciences, Berlin, Band 6, 1752, S. 185 – Euler Opera Omnia, Serie 2, Band 5, 1957.
↑H. Schecker:Der Weg zum physikalischen Kraftbegriff von Aristoteles bis Newton. In:Naturwissenschaften im Unterricht Physik/Chemie. 36, Nr. 34, 1988, (gekürzte Fassung (Memento vom 20. Januar 2012 imInternet Archive)).
↑Dreyer:Technische Mechanik – Kinetik, Kinematik. 11. Auflage. Springer, S. 123–125.
↑Holzmann, Meyer, Schumpich:Technische Mechanik – Kinetik und Kinematik. 12. Auflage. Springer, S. 123–125.
↑Mahnken:Technische Mechanik – Dynamik. 2. Auflage. Springer, S. 329 f.
↑Henz, Langhake:Pfade durch die Theoretische Mechanik 1. Springer, 2016, S. 140.
↑Skriptum Elektrodynamik und Relativitätstheorie, S. 4 (PDF; 13,4 MB).
↑Stillman Drake:Galileo and the Law of Inertia. In:American Journal of Physics.Band 32, 1964,S. 601–608,doi:10.1119/1.1970872.
↑Roberto Torretti:The Philosophy of Physics. Cambridge University Press, Cambridge 1999,S. 20–30.
↑David Speiser,Le ‘Horologium Oscillatorium‘ de Huygens et le ‘Principia‘. In: Revue Philosophique de Louvain, Vol. 86 (4), 1988, S. 485–504.
↑Lichtenegger:Schlüsselkonzepte zur Physik – von den Newton-Axiomen bis zur Hawking-Strahlung. Springer, 2015, S. 14.
↑Wilfried Kuhn:Ideengeschichte der Physik. Springer, 2. Auflage, 2016, S. 218.

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