Eine${\displaystyle p}$-Multilinearform${\displaystyle \omega }$ ist in der Mathematik eineFunktion, die${\displaystyle p}$Argumenten${\displaystyle v_i\in V_i,i\in \{1,\dots ,p\}}$ aus${\displaystyle K}$-Vektorräumen${\displaystyle V_1,\dots ,V_p}$ einen Wert${\displaystyle \omega (v_1,\dots ,v_p)\in K}$ zuordnet und in jeder Komponente linear ist. Im allgemeineren Fall, dass der Bildraum selbst ein Vektorraum ist, oder Bild- und ZielräumeModuln sind, spricht man von einermultilinearen Abbildung.

Eine Abbildung

heißt Multilinearform, wenn für alle${\displaystyle v_j\in V_j,j\in \{1,\dots ,p\}}$ und alle${\displaystyle i\in \{1,\dots ,p\}}$ folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

Für alle${\displaystyle \lambda \in K}$ gilt

${\displaystyle \omega \left(v_1,\dots ,\lambda v_i,\dots ,v_p\right)=\lambda \omega \left(v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_p\right)}$

und für alle${\displaystyle w\in V_i}$

${\displaystyle \omega \left(v_1,\dots ,v_i+w,\dots ,v_p\right)=\omega \left(v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_p\right)+\omega \left(v_1,\dots ,w,\dots ,v_p\right)}$.

Die Menge aller multilinearen Abbildungen${\displaystyle {\mathcal{J}}^p(V_1,\dots ,V_p)}$ bildet einen${\displaystyle K}$-Vektorraum. Im Fall${\displaystyle V_1=\cdots =V_p=:V}$ schreibt man${\displaystyle {\mathcal{J}}^p(V):={\mathcal{J}}^p(V,\dots ,V)}$.

Eine Multilinearform${\displaystyle \omega \in {\mathcal{J}}^p(V)}$ heißt alternierend, falls sie null ergibt, wenn zweimal derselbe Vektor eingesetzt wird, d. h.

${\displaystyle \omega \left(\dots ,v,\dots ,v,\dots \right)=0}$

für alle${\displaystyle v\in V}$.^[1]

In diesem Fall folgt auch, dass die Form schiefsymmetrisch ist, das heißt, dass sie bei Vertauschung von zwei beliebigen Argumenten ihrVorzeichen wechselt, also

${\displaystyle \omega \left(v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_j,\dots ,v_p\right)=-\omega \left(v_1,\dots ,v_j,\dots ,v_i,\dots ,v_p\right)}$

für alle${\displaystyle v_k\in V,k\in \{1,\dots ,p\}}$ und${\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,p\},i\ne j}$. Die umgekehrte Implikation – dass alle schiefsymmetrischen Multilinearformen alternierend sind – gilt aber nur, wenn dieCharakteristik von${\displaystyle K}$ nicht 2 ist, also zum Beispiel für${\displaystyle K=\mathbb{R}}$.^[1]

Ist allgemeiner${\displaystyle \pi \in S_p}$ eine beliebigePermutation der Indizes, dann gilt

${\displaystyle \omega \left(v_{\pi (1)},\dots ,v_{\pi (p)}\right)=\mathrm{sign}(\pi )\cdot \omega \left(v_1,\dots ,v_p\right)}$,

wobei${\displaystyle \mathrm{sign}(\pi )}$ dasSignum der Permutation bezeichnet.

Die Menge aller alternierenden Multilinearformen${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}^p(V)}$ ist einUntervektorraum von${\displaystyle {\mathcal{J}}^p(V)}$. Wichtig ist der Spezialfall${\displaystyle p=\dim V}$. Dann ist${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}^p(V)}$ ein eindimensionaler Unterraum von${\displaystyle {\mathcal{J}}^p(V)}$, und seine Elemente heißenDeterminantenfunktionen.

Auf dem durch alle${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}^p(V),p=0,1,2,\dots }$ erzeugten Vektorraum lässt sich die Struktur einerAlgebra definieren. Diese Algebra heißtGraßmann-Algebra.

1. Linearformen sind genau die 1-Multilinearformen.
2. Bilinearformen sind genau die 2-Multilinearformen. Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen (wenn die Charakteristik von${\displaystyle K}$ nicht 2 ist).
3. Bildet man aus${\displaystyle n}$ Vektoren durch Zusammenfassen eine quadratischeMatrix, so ist dieDeterminante dieser Matrix eine alternierende, normierte Multilinearform. Im dreidimensionalen Fall ist also${\displaystyle \omega }$ definiert durch
   
   eine alternierende 3-Multilinearform. Dabei sind die Vektoren${\displaystyle v_1,v_2,v_3}$ folgendermaßen in Koordinaten dargestellt:
   ${\displaystyle v_1=\left(\begin{array}{c}{v}_{1x}\\ v_{1y}\\ v_{1z}\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}{v}_{2x}\\ v_{2y}\\ v_{2z}\end{array}\right),v_3=\left(\begin{array}{c}{v}_{3x}\\ v_{3y}\\ v_{3z}\end{array}\right)}$.
4. KovarianteTensoren sind Multilinearformen: In dem Fall, dass alle Vektorräume${\displaystyle V_i}$ identisch sind (also${\displaystyle V_i=V}$), ist die${\displaystyle p}$-Multilinearform auch ein kovarianter Tensor${\displaystyle p}$-ter Stufe. Im selben Fall sind die alternierenden${\displaystyle p}$-Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren${\displaystyle p}$-ter Stufe.
5. EineDifferentialform ordnet einem Punkt einerMannigfaltigkeit eine alternierende Multilinearform auf dem zugehörigenTangentialraum zu.

• Gerd Fischer:Lineare Algebra. Vieweg-Verlag,ISBN 3-528-03217-0.
• Hans-Joachim Kowalsky,Gerhard O. Michler:Lineare Algebra. De Gruyter, Berlin 2003,ISBN 978-3-11-017963-7.

1. ↑^abArkady L'vovich Onishchik:Multilinear mapping. In:Michiel Hazewinkel (Hrsg.):Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag undEMS Press, Berlin 2002,ISBN 1-55608-010-7 (englisch,encyclopediaofmath.org). 

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