In derKategorientheorie (einem Teilgebiet derMathematik) betrachtet man sogenannte(abstrakte) Kategorien, die jeweils gegeben sind durch eineKlasse vonObjekten und für je zwei Objekte${\displaystyle X}$ und${\displaystyle Y}$ eine Klasse vonMorphismen von${\displaystyle X}$ nach${\displaystyle Y}$ (auch alsPfeile bezeichnet).

Man schreibt:

${\displaystyle f:X\to Y}$.

Zu der Kategorie gehört noch eine partielle Verknüpfung der Morphismen, die bestimmte Bedingungen erfüllen muss.

Interpretiert man Mengen mit gleicherStruktur als Objekte und dieFunktionen zwischen den zugrunde liegenden Mengen, die mit deren Strukturverträglich sind, als zugehörige Morphismen, so spricht man von einerkonkreten Kategorie. Die Verknüpfung der Morphismen entspricht dann der gewöhnlichenHintereinanderausführung von Funktionen. Es gibt aber auch ganz anders gebildete konkrete Kategorien, in denen Morphismen nicht als Funktionen zwischen den Objekten auftreten, etwa die KategorieToph, deren Objekte topologische Räume und deren MorphismenHomotopieklassen stetiger Funktionen sind, oder die KategorieRel, deren Objekte Mengen und deren MorphismenRelationen sind.

Konkrete Beispiele von Morphismen sindHomomorphismen der Kategorien, die in derAlgebra studiert werden (z. B.Gruppen oderRinge),stetige Funktionen zwischentopologischen Räumen,differenzierbare Funktionen zwischendifferenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

JedeQuasiordnung${\displaystyle (M,\lesssim )}$ definiert eine Kategorie, in der die Objekte die Elemente von${\displaystyle M}$ sind und ein Morphismus${\displaystyle x\to y}$ genau dann existiert, wenn${\displaystyle x\lesssim y}$.

In einerFunktorkategorie sind die Morphismen dienatürlichen Transformationen zwischen den Funktoren.

Für manche Kategorien gibt es besondere Bezeichnungen für Morphismen.

• EinHomöomorphismus ist ein Isomorphismus zwischen topologischen Räumen.
• EinDiffeomorphismus ist ein Isomorphismus zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.
• EineIsometrie ist ein Isomorphismus in der Kategorie dermetrischen Räumen mit dennichtexpansiven stetigen Abbildungen.
• Einelineare Abbildung ist ein (Homo-)Morphismus zwischenVektorräumen.

Die Verknüpfung (Hintereinanderausführung, Komposition) von Morphismen, in Zeichen:${\displaystyle \circ }$, wird oft in einemkommutativen Diagramm dargestellt, beispielsweise

• Jedes Objekt${\displaystyle X}$ einer Kategorie hat einenidentischen Morphismus, geschrieben${\displaystyle {\mathrm{id}}_X:X\to X,}$ der für alle Morphismen${\displaystyle f:X\to Y}$ einrechtsneutrales Element und für alle Morphismen${\displaystyle g:Y\to X}$ ein linksneutrales Element der Komposition ist, sodass stets${\displaystyle f\circ {\mathrm{id}}_X=f}$ und${\displaystyle {\mathrm{id}}_X\circ g=g}$ gilt.
• Wenn ein Morphismus${\displaystyle f:X\to Y}$ eineRechtsinverse besitzt, d. h. wenn es einen Morphismus${\displaystyle g:Y\to X}$ mit${\displaystyle f\circ g={\mathrm{id}}_Y}$ gibt, dann heißt${\displaystyle f}$Retraktion. Analog bezeichnet man mitSchnitt (Sektion, Koretraktion) einen Morphismus, der eine Linksinverse besitzt.
• Ist${\displaystyle f:X\to Y}$ sowohl eine Retraktion als auch eine Sektion, dann heißt${\displaystyle f}$Isomorphismus. In dem Fall können die Objekte${\displaystyle X}$ und${\displaystyle Y}$ als gleichartig innerhalb ihrer Kategorie betrachtet werden (Isomorphismen sind beispielsweise in der konkreten Kategorie der Mengen diebijektiven Abbildungen).
• Ein Morphismus von${\displaystyle X}$ nach${\displaystyle X}$ heißtEndomorphismus von${\displaystyle X.}$
• Ein Endomorphismus, der gleichzeitig ein Isomorphismus ist, heißtAutomorphismus.
• Ein Morphismus${\displaystyle f:X\to Y}$ mit folgender Eigenschaft heißtEpimorphismus:

  Sind${\displaystyle g,h:Y\to Z}$ beliebige Morphismen mit${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$, dann ist stets${\displaystyle g=h}$ (z. B. ist jedersurjektive Homomorphismus ein Epimorphismus).

• Ein Morphismus${\displaystyle f:X\to Y}$ mit folgender Eigenschaft heißtMonomorphismus:

  Sind${\displaystyle g,h:W\to X}$ beliebige Morphismen mit${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$, dann ist stets${\displaystyle g=h}$ (z. B. ist jederinjektive Homomorphismus ein Monomorphismus).

• Ein Epimorphismus${\displaystyle f}$ heißtextremal wenn aus${\displaystyle f=v\circ w}$ und${\displaystyle v}$ ist ein Monomorphismus, stets folgt:${\displaystyle v}$ ist ein Isomorphismus.
• Ein Monomorphismus${\displaystyle f}$ heißtextremal, wenn aus${\displaystyle f=w\circ v}$ und${\displaystyle v}$ ist ein Epimorphismus, stets folgt${\displaystyle v}$ ist ein Isomorphismus.
• Ist${\displaystyle f}$ sowohl ein Epimorphismus als auch ein Monomorphismus, dann ist${\displaystyle f}$ einBimorphismus. Nicht jeder Bimorphismus ist ein Isomorphismus. Es ist jedoch jeder Morphismus ein Isomorphismus, der Epimorphismus und Sektion, oder Monomorphismus und Retraktion ist.

  Ein Beispiel für einen Bimorphismus, der kein Isomorphismus ist, liefert die Einbettung der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen als Homomorphismus von Ringen.

• Martin Brandenburg:Einführung in die Kategorientheorie. Mit ausführlichen Erklärungen und zahlreichen Beispielen. Springer Spektrum, Berlin 2015,ISBN 978-3-662-47067-1. 
• Samuel Eilenberg,Saunders Mac Lane:General theory of natural equivalences. In:Transactions of the American Mathematical Society.Band 58,Nr. 2, September 1945,S. 231–294. 
• Saunders Mac Lane:Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics.Band 5). 2. Auflage. Springer, New York 1998,ISBN 0-387-90035-7. 

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