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Mittelsenkrechte

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aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

(S): In derebenen Geometrie ist dieMittelsenkrechte oder dasMittellot^[1] oder (österreichisch) dieStreckensymmetrale^[2] diejenigeGerade durch denMittelpunkt einer Strecke, die auf der Streckesenkrecht steht.

Die Verallgemeinerung auf drei Dimensionen ist dieMittellotebene einer Strecke.

Anwendungen:

Mittelsenkrechten tragen oft zur Lösung von geometrischen Problemen bei, z. B.

bei der zeichnerischen Bestimmung des Mittelpunktes einer Strecke, um einenThaleskreis zu konstruieren,
bei der Bestimmung desUmkreismittelpunktes eines Dreiecks,
bei der zeichnerischen Rekonstruktion des Mittelpunktes eines Kreises, wenn 3 Punkte des Kreises gegeben sind,
bei der Bestimmung einer Geraden oder Ebene, um durchSpiegeln an dieser einen Punkt $A {\displaystyle A}$ auf einen Punkt $B {\displaystyle B}$ abzubilden.
InVoronoi-Diagrammen spielen sie eine Rolle als Begrenzungen.

Weitere Definitionen

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In der Ebene

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Zur Definition(S) in der Einleitung sind die folgenden Definitionen(D) und(M2) äquivalent:

(D): Die Mittelsenkrechte einer Strecke

A B {\displaystyle AB}

ist dieMenge aller Punkte

X {\displaystyle X}

mit der Eigenschaft

|XA|=|XB|

Der Beweis (siehe Bild im nächsten Abschnitt) folgt aus der Eigenschaft $|MA|=|MB|$ des Mittelpunktes $M {\displaystyle M}$ und demSatz des Pythagoras:

|XA|^{2}=|XM|^{2}+|MA|^{2}=|XM|^{2}+|MB|^{2}=|XB|^{2}\;.

Die Gleichung $|XA|=|XB|$ lässt sich auch so interpretieren: $X {\displaystyle X}$ ist der Mittelpunkt eines Kreises, der durch $A {\displaystyle A}$ und $B {\displaystyle B}$ geht.Damit gibt es die weitere Definition:

(M2): Die Mittelsenkrechte einer Strecke

A B {\displaystyle AB}

ist die Menge derMittelpunkte allerKreise, die durch

A, B {\displaystyle A,B}

gehen.

Im Raum

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Geht man von Punkten $A, B {\displaystyle A,B}$ im 3-dimensionalen Raum aus, so definiert man (analog zum ebenen Fall):

(D): Die Mittellotebene einer Strecke

A B {\displaystyle AB}

ist dieMenge aller Punkte

X {\displaystyle X}

mit der Eigenschaft

|XA|=|XB|

Der Nachweis der Äquivalenz zur Definition in der Einleitung verläuft analog zum ebenen Fall.

Konstruktion der Mittelsenkrechten und des Mittelpunktes

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Aufgrund der Definition(D) der Mittelsenkrechten und der Tatsache, dass eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist, genügt es, zwei Punkte $X_{1},X_{2}$ zu finden mit der Eigenschaft $|X_{i}A|=|X_{i}B|$ :

Mittelsenkrechte

Man konstruiert die Mittelsenkrechte zu zwei gegebenen Punkten $A {\displaystyle A}$ und $B {\displaystyle B}$ , indem man um diese beiden Punkte mit einemZirkel Kreisbögen zeichnet mit gleichemRadius, der größer als die halbe Länge der Strecke zwischen den beiden Punkten sein muss. Die zwei Schnittpunkte $X_{1},X_{2}$ dieser beiden Kreislinien bestimmen die Mittelsenkrechte der Strecke $A B {\displaystyle AB}$ .^[3]

Mittelpunkt

Da die Konstruktion der Mittelsenkrechten ohne Kenntnis des Mittelpunktes $M {\displaystyle M}$ auskommt, kann man den Mittelpunkt als Schnitt der so konstruierten Mittelsenkrechten mit der Strecke $A B {\displaystyle AB}$ bestimmen.

Gleichungen

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Sind ${\vec {a}},{\vec {b}}$ und ${\vec {m}}:={\tfrac {{\vec {a}}+{\vec {b}}}{2}}$ die Ortsvektoren der Punkte $A, B {\displaystyle A,B}$ und $M {\displaystyle M}$ , so ist $M {\displaystyle M}$ der Mittelpunkt von $A, B {\displaystyle A,B}$ und ${\vec {a}}-{\vec {b}}$ einNormalenvektor der Mittelsenkrechten. EineNormalenform der Mittelsenkrechten ist dann $({\vec {x}}-{\vec {m}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})=0$ . Ersetzen von ${\vec {m}}$ durch ${\tfrac {{\vec {a}}+{\vec {b}}}{2}}$ und Ausmultiplizieren liefert die Gleichung der Mittelsenkrechten in Vektorform:

(V):

\quad {\vec {x}}\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})={\tfrac {1}{2}}({\vec {a}}^{2}-{\vec {b}}^{2}).

Mit $A=(a_{1}|a_{2})$ und $B=(b_{1}|b_{2})$ erhält man dieKoordinatenform:

(K2):

\quad (a_{1}-b_{1})x+(a_{2}-b_{2})y={\frac {1}{2}}(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2}).

Falls $b_{2}\neq a_{2}$ , kann man zur expliziten Form (sieheOrthogonalität undPunktsteigungsform)

(E2):

\quad y=m(x-x_{0})+y_{0}

mit $\;m=-{\tfrac {b_{1}-a_{1}}{b_{2}-a_{2}}}$ , $\;x_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{1}+b_{1})\;$ und $\;y_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{2}+b_{2})\;$ übergehen.

Die Vektordarstellung derMittellotebene ist wörtlich gleich mit(V). Die Koordinatendarstellung ist um eine Koordinate erweitert:

(K3):

\quad (a_{1}-b_{1})x+(a_{2}-b_{2})y+(a_{3}-b_{3})z={\frac {1}{2}}(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2}+a_{3}^{2}-b_{3}^{2})\ .

Beispiele

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Für jede Position der Strecke ${\overline {AB}}$ (grün) auf der zu ihr rechtwinkligen Geraden $g_{1}$ (blau) gilt für die Mittelsenkrechte $m_{s}$ (rot) die Geradengleichung $4x+8y=5$

{\displaystyle {\overline {AB}}} — Für jede Position der Strecke ${\overline {AB}}$ (grün) auf der zu ihr rechtwinkligen Geraden $g_{1}$ (blau) gilt für die Mittelsenkrechte $m_{s}$ (rot) die Geradengleichung $4x+8y=5$

In der Ebene

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${\overline {AB}}$ (grün) sei die Strecke mit den Endpunkten $A=(2{,}5|-5)$ und $B=(6|2)$ . Dann ist $a_{1}=2{,}5,\;b_{1}=6,\;a_{2}=-5$ und $b_{2}=2.$

Setzt man diese Werte in die obige Koordinatengleichung(K2) ein, so ergibt sich für dieGeradengleichung der Mittelsenkrechten:

{\begin{aligned}(2{,}5-6)x+(-5-2)y&={\frac {2{,}5^{2}-6^{2}}{2}}+{\frac {(-5)^{2}-2^{2}}{2}}\\-3{,}5x-7y&=-{\frac {8{,}75}{2}}\,{\bigg |}\,\cdot (-2)\\7x+14y&={\frac {17{,}5}{2}}\,{\bigg |}\,\cdot {\frac {4}{7}}\\4x+8y&=5\end{aligned}}

Im Raum

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Für $A=(2|1{,}5|1)$ und $B=(1|2{,}5|5)$ ergibt sich aus der obigen Gleichung(K3) die Koordinatengleichung der Mittellotebene

{\begin{aligned}x-y-4z&=-12{,}5\,\Leftrightarrow \\2x-2y-8z&=-25.\end{aligned}}

Die Mittellotebene (blau) verläuft rechtwinklig zur Strecke ${\overline {AB}}$ (grün) durch deren Mittelpunkt $M {\displaystyle M}$ (rot)

Mittelsenkrechten im Dreieck

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Die Mittelsenkrechten einesDreiecks schneiden sich in einem Punkt, nämlich imUmkreismittelpunkt des Dreiecks. Dieser Umkreis geht durch alle Ecken des Dreiecks (siehe dazu auch:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck).^[4]

Imgleichschenkligen Dreieck kann die Mittelsenkrechte, für denWinkel am Scheitel der beiden gleichen Schenkel, auch die Funktion derWinkelhalbierenden erfüllen. Dies ist insbesondere dann vorteilhaft, wenn der Scheitel nicht innerhalb der Zeichenebene liegt.

Mittelsenkrechte im gleichschenkligen Dreieck quasi alsWinkelhalbierende; der Scheitel liegt außerhalb der Zeichenebene

Dreieck mit Mittelsenkrechten und Umkreis

Siehe auch

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Symmetrale

Literatur

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Rolf Baumann:Geometrie. Mit Übungen und Lösungen. Mentor, München 2002, Kapitel 3.1.
Cornelia Niederdrenk-Felgner:Lambacher-Schweizer. Lehrbuch der Mathematik für die 7. Klasse (G9) an Gymnasien (Baden-Württemberg). Klett, Stuttgart 1994,ISBN 3-12-731370-5.

Weblinks

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Wiktionary: Mittelsenkrechte – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

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↑Dieter Neßelmann:Axiomatische Geometrie. 22. Februar 2010, 5. Ergänzungen,S. 143,Definition 5.5.3 (online [PDF;6,5 MB; abgerufen am 24. April 2021]).
↑Karl Strubecker:Vorlesungen über Darstellende Geometrie. In:Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher.Band 12. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967, II. Parallelprojektion und perspektive Affinität,S. 18 (online [PDF;12,6 MB; abgerufen am 24. April 2021]).
↑Stefan Friedl:Elementargeometrie. 2017, 3.3. Die Bestimmung des Mittelpunkts einer Strecke mit Zirkel und Lineal,S. 37,Abbildung 44. Konstruktion der Mittelsenkrechte der Strecke ${\overline {AB}}$ (online [PDF;13,1 MB; abgerufen am 24. April 2021]).
↑Stefan Friedl:Elementargeometrie. 2017, 3.5. Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks,S. 40 (online [PDF;13,1 MB; abgerufen am 24. April 2021]).

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Kategorie:

Ebene Geometrie

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