DermetrischeTensor (auchMetriktensor oderMaßtensor) dient dazu, mathematischeRäume, insbesondere differenzierbareMannigfaltigkeiten, mit einem Maß für Abstände und Winkel auszustatten.

Dieses Maß muss nicht notwendig alle Bedingungen erfüllen, die in der Definition einesmetrischen Raums an eineMetrik gestellt werden: imMinkowski-Raum derSpeziellen Relativitätstheorie gelten diese Bedingungen nur für Abstände, die entweder einheitlichraumartig oder einheitlichzeitartig sind.

Für dieDifferentialgeometrie und dieAllgemeine Relativitätstheorie bedeutsam ist, dass der metrische Tensor, anders als eine überinneres Produkt undNorm definierte Metrik, vom Ort abhängen kann.

Der metrische Tensor${\displaystyle g}$ über einemaffinen Punktraum${\displaystyle A}$ mit reellemVerschiebungsvektorraum${\displaystyle V}$ ist eine Abbildung von${\displaystyle A}$ in den Raum der Skalarprodukte auf${\displaystyle V}$. Das heißt, für jeden Punkt${\displaystyle P\in A}$ ist

${\displaystyle g(P):V\times V\to \mathbb{R}}$

einepositiv definite,symmetrischeBilinearform.

In Anlehnung an die Unterscheidung zwischenMetrik und Pseudometrik wird manchmal auch der Fall betrachtet, dass${\displaystyle g(P)}$ für einige oder alle Punkte${\displaystyle P}$ nur positiv semidefinit ist, d. h. die Forderung der Definitheit

${\displaystyle g(P)\left(\overrightarrow{x},\overrightarrow{x}\right)>0}$ für alle${\displaystyle 0\ne \overrightarrow{x}\in V}$

wird abgeschwächt zu

${\displaystyle g(P)\left(\overrightarrow{x},\overrightarrow{x}\right)\ge 0}$ für alle${\displaystyle \overrightarrow{x}\in V}$.

Ein solcher Tensor${\displaystyle g}$ heißt dannpseudometrischer Tensor.

Ein metrischer Tensor definiert eine (vom Punkt${\displaystyle P}$ abhängige) Länge (Norm)${\displaystyle \Vert \overrightarrow{x}{\Vert }_P}$ auf dem Vektorraum${\displaystyle V}$:

${\displaystyle \Vert \overrightarrow{x}{\Vert }_P=\sqrt{g(P)\left(\overrightarrow{x},\overrightarrow{x}\right)}}$

Analog zumStandardskalarprodukt ist der Winkel${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$ im Punkt${\displaystyle P}$ zwischen zwei Vektoren${\displaystyle \overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V}$ definiert durch:

${\displaystyle \cos \theta =\frac{g(P)(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})}{\sqrt{g(P)(\overrightarrow{x},\overrightarrow{x})}\sqrt{g(P)(\overrightarrow{y},\overrightarrow{y})}}}$

Wenn ein lokales Koordinatensystem${\displaystyle (x^i)}$ auf${\displaystyle V}$ mit Basis${\displaystyle (e_i)}$ aus${\displaystyle V}$ gewählt wird, schreibt man die Komponenten von${\displaystyle g}$ als${\displaystyle g_{ij}(P)=g(P)(e_i,e_j)}$. Unter Verwendung dereinsteinschen Summenkonvention ist dann für die Vektoren${\displaystyle \overrightarrow{x}=x^i{\overrightarrow{e}}_i}$ und${\displaystyle \overrightarrow{y}=y^i{\overrightarrow{e}}_i}$

${\displaystyle g(P)\left(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\right)=g_{ij}(P)x^i{y}^j}$.

Im Sinne derKategorientheorie ist der metrische Tensor kontravariant, da unter (affin) linearen injektiven Abbildungen${\displaystyle \phi :(A,V)\to (B,W)}$ natürlicherweise aus einem metrischen Tensor auf${\displaystyle (B,W)}$ ein metrischer Tensor auf${\displaystyle (A,V)}$konstruiert werden kann,

${\displaystyle ({\phi }^{\ast }g)(P)(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=g(\phi (P))({\phi }_{\ast }(\overrightarrow{x}),{\phi }_{\ast }(\overrightarrow{y}))}$.

In derPhysik wird der metrische Tensor, oder besser seine Koordinatendarstellung${\displaystyle g_{ij}}$ alskovariant bezeichnet, da sich seine Komponenten unter einem Koordinatenwechsel in jedem Index wie die Basis transformieren. Ist ein Koordinatenwechsel als

${\displaystyle x^k=A^k{}_i{\tilde{x}}^i}$ bzw.${\displaystyle {\tilde{x}}^i=(A^{-1}{)}^i{}_k{x}^k}$

gegeben, so transformieren sich Basisvektoren als

${\displaystyle {\tilde{e}}_i=A^k{}_i{e}_k=(A^T{)}_i{}^k{e}_k}$

und es gilt für den metrischen Tensor

${\displaystyle {\tilde{g}}_{ij}=g(P)({\tilde{e}}_i,{\tilde{e}}_j)=(A^T{)}_i{}^k(A^T{)}_j{}^l{g}_{kl}.}$

Ist eine differenzierbare Kurve${\displaystyle \gamma :[a,b]\to A}$ im affinen Punktraum gegeben, so hat diese in jedem Zeitpunkt${\displaystyle t}$ einen Tangentialvektor

${\displaystyle \overrightarrow{x}(t)=\dot{\gamma }(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\gamma (t)}$.

Der gesamten Kurve oder einem Segment davon kann man nun mit Hilfe des metrischen Tensors eine Länge

${\displaystyle L_{[a,b]}(\gamma )={\int }_a^b\sqrt{g(\gamma (t))(\overrightarrow{x}(t),\overrightarrow{x}(t))}\mathrm{d}t={\int }_a^b\Vert \dot{\gamma }(t){\Vert }_{\gamma (t)}\mathrm{d}t}$

zuordnen.

Der Ausdruck

${\displaystyle \mathrm{d}{s}^2=g_{ij}\mathrm{d}{x}^i\mathrm{d}{x}^j}$,

wieder unter der Verwendung der Summenkonvention, heißtLinienelement. Substituiert man gemäß der Kettenregel

${\displaystyle \mathrm{d}{x}^i=\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t}$ und${\displaystyle \mathrm{d}{x}^j=\frac{\mathrm{d}{x}^j}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t}$,

so ergibt sich

${\displaystyle \mathrm{d}{s}^2=g_{ij}\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{x}^j}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}{t}^2}$.

${\displaystyle \mathrm{d}s}$ ist daher der Integrand des obigen Integrals zur Bestimmung einerKurvenlänge.

Hat man eine${\displaystyle p}$-dimensionaleUntermannigfaltigkeit einesriemannschen Raumes mit der Metrik${\displaystyle (g_{ij})}$, die mittels der Parameterdarstellung

${\displaystyle q^i=q^i(t^1,t^2,\dots ,t^p),i=1,\dots ,n}$

gegeben ist, wird eine Metrik${\displaystyle (a_{\alpha \beta })}$ induziert. Die${\displaystyle t^{\alpha }}$ nennt maninduzierte Koordinaten. Betrachtet man eine Kurve

${\displaystyle t^{\alpha }=t^{\alpha }(t),a\le t\le b,\alpha =1,\dots ,p}$

auf dieser Teilmannigfaltigkeit, so erhält man für die Bogenlänge gemäß derKettenregel

${\displaystyle s={\int }_a^b\sqrt{g_{ij}\frac{\mathrm{d}{q}^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{q}^j}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t={\int }_a^b\sqrt{g_{ij}\frac{\mathrm{\partial }{q}^i}{\mathrm{\partial }{t}^{\alpha }}\frac{\mathrm{d}{t}^{\alpha }}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{\partial }{q}^j}{\mathrm{\partial }{t}^{\beta }}\frac{\mathrm{d}{t}^{\beta }}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t={\int }_a^b\sqrt{g_{ij}\frac{\mathrm{\partial }{q}^i}{\mathrm{\partial }{t}^{\alpha }}\frac{\mathrm{\partial }{q}^j}{\mathrm{\partial }{t}^{\beta }}\frac{\mathrm{d}{t}^{\alpha }}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{t}^{\beta }}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t}$.

Die Größe

${\displaystyle a_{\alpha \beta }:=g_{ij}\frac{\mathrm{\partial }{q}^i}{\mathrm{\partial }{t}^{\alpha }}\frac{\mathrm{\partial }{q}^j}{\mathrm{\partial }{t}^{\beta }}}$

ist derinduzierte Metriktensor. Mit diesem ergibt sich die Kurvenlänge schließlich als

${\displaystyle s={\int }_a^b\sqrt{a_{\alpha \beta }\frac{\mathrm{d}{t}^{\alpha }}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{t}^{\beta }}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t}$.

In einemeuklidischen Raum mitkartesischen Koordinaten ist der metrische Tensor durch dieEinheitsmatrix

${\displaystyle g_{ij}={\delta }_{ij}}$

gegeben. Im euklidischen Raum ist nämlich das Skalarprodukt${\displaystyle ⟨x,y⟩=\sum _{i=1}^n{x}^i{y}^i}$ gegeben und nach Voraussetzung soll der metrische Tensor diesem Skalarprodukt entsprechen.Also gilt für diesen in lokalen Koordinaten${\displaystyle g_{ij}=⟨e_i,e_j⟩={\delta }_{ij},}$wobei${\displaystyle e_1,\dots ,e_n}$ die Vektoren derStandardbasis sind.Für beliebige Vektoren${\displaystyle x=x^i{e}_i}$ und${\displaystyle y=y^j{e}_j}$ des euklidischen Raums gilt

${\displaystyle g_{ij}{x}^i{y}^j={\delta }_{ij}{x}^i{y}^j=\sum _{i=1}^n{x}^i{y}^i.}$

Hier wird dieeinsteinsche Summenkonvention verwendet.

Für die Kurvenlänge

${\displaystyle L={\int }_a^b\sqrt{{\left(\mathrm{d}x\right)}^2}}$

und den Winkel

${\displaystyle \cos \theta =\frac{\mathbf{u}\mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\cdot |\mathbf{v}|}}$

erhält man die üblichen Formeln derVektoranalysis.

Wenn eine Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten eingebettet ist, dann ergibt sich ihr metrischer Tensor aus derJacobi-Matrix${\displaystyle J}$ der Einbettung als

${\displaystyle g=J^{T}J.}$

In einigen anderen Koordinatensystemen lautet der metrische Tensor und das Linienelement des Euklidischen Raums wie folgt:

• InPolarkoordinaten${\displaystyle (x^1,x^2)=(r,\theta )}$:

, bzw.

${\displaystyle \mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\theta }^2}$

• InZylinderkoordinaten${\displaystyle (x^1,x^2,x^3)=(r,\phi ,z)}$:

, bzw.

${\displaystyle \mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\phi }^2+\mathrm{d}{z}^2}$

• InKugelkoordinaten${\displaystyle (x^1,x^2,x^3)=(r,\theta ,\phi )}$:

, bzw.

${\displaystyle \mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\phi }^2}$

Herleitung für Kugelkoordinaten${\displaystyle ⟶}$

---

DieKoordinatentransformation für die Kugelkoordinaten lautet als Vektorgleichung:

${\displaystyle \overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\sin \theta \cos \phi \\ r\sin \theta \sin \phi \\ r\cos \theta \end{array}\right)}$.

Die lokalenBasisvektoren${\displaystyle {\overrightarrow{b}}_1,{\overrightarrow{b}}_2}$ und${\displaystyle {\overrightarrow{b}}_3}$ verlaufen tangential zu denKoordinatenlinien und ergeben sich somit aus der Koordinatentransformation durch partielle Ableitung nach den Koordinaten${\displaystyle r,\theta }$ und${\displaystyle \phi }$. Also gilt:

${\displaystyle {\overrightarrow{b}}_1=\frac{\mathrm{\partial }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\partial }r}=\left(\begin{array}{c}\sin \theta \cos \phi \\ \sin \theta \sin \phi \\ \cos \theta \end{array}\right),{\overrightarrow{b}}_2=\frac{\mathrm{\partial }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\partial }\theta }=\left(\begin{array}{c}r\cos \theta \cos \phi \\ r\cos \theta \sin \phi \\ -r\sin \theta \end{array}\right),{\overrightarrow{b}}_3=\frac{\mathrm{\partial }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\partial }\phi }=\left(\begin{array}{c}-r\sin \theta \sin \phi \\ r\sin \theta \cos \phi \\ 0\end{array}\right)}$.

Die Komponenten des metrischen Tensors${\displaystyle g=(g_{ij})}$ sind die Skalarprodukte dieser Basisvektoren:

${\displaystyle g_{ij}={\overrightarrow{b}}_i{\overrightarrow{b}}_j(i,j\in \{1,2,3\}}$.

Die Rechnung ergibt:

${\displaystyle g_{11}=1,g_{22}=r^2,und{g}_{33}=r^2{\sin }^2\theta }$.

Die übrigen Skalarprodukte sind null. Dies bedeutet, dass die Basisvektoren paarweise aufeinander senkrecht stehen: die Kugelkoordinaten bilden ein orthogonales Koordinatensystem.

Für das Linienelement ergibt sich somit

${\displaystyle \mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\phi }^2}$.

Die Herleitungen für die anderen Koordinatensysteme verlaufen entsprechend.

Der flacheMinkowski-Raum derspeziellen Relativitätstheorie beschreibt eine vierdimensionaleRaum-Zeit ohneGravitation. Räumliche Abstände und Zeitspannen hängen in diesem Raum von der Wahl einesInertialsystems ab; wenn man einen physikalischen Vorgang in zwei verschiedenen, gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen beschreibt, können sie verschiedene Werte annehmen.

Invariant unterLorentztransformationen ist hingegen der sogenannteViererabstand, der räumliche und zeitliche Abstände zusammenfasst. Unter Verwendung derLichtgeschwindigkeitc berechnet sich dieser Viererabstand aus räumlichem Abstand${\displaystyle \mathrm{d}\mathbf{r}}$ und Zeitspanne${\displaystyle \mathrm{d}t}$ als

${\displaystyle \mathrm{d}{s}^2=c^2{\left(\mathrm{d}t\right)}^2-{\left(\mathrm{d}\mathbf{r}\right)}^2}$

Im Minkowski-Raum wird der kontravariante Orts-Vierervektor definiert durch${\displaystyle x^{\mu }=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)}$.

Der metrische Tensor lautet in einer Konvention, die vor allem in derQuantenfeldtheorie verwendet wird (Signatur −2, also +,−,−,−)

.

In einer Konvention, die hauptsächlich in derAllgemeinen Relativitätstheorie benutzt wird (Signatur +2, also −,+,+,+), schreibt man

.

Dabei ist allerdings zu beachten, dass es sich hierbei trotz der allgemein verwendeten Bezeichnung weder um einen metrischen noch um einen pseudometrischen Tensor handelt, weil ernicht positiv (semi-) definit ist, was sofort aus der Signatur hervorgeht. Das heißt,${\displaystyle {\eta }_{\nu \mu }}$ stellt lediglich eine symmetrische Bilinearform bezüglich einer bestimmten Basis dar, keine positiv (semi-)definite symmetrische Bilinearform.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird der metrische Tensor durch Lösen derEinsteinschen Feldgleichungen gefunden. Er ist ortsabhängig und bildet daher einTensorfeld, da die Krümmung derRaumzeit an verschiedenen Punkten meist verschieden ist.

• Rainer Oloff:Geometrie der Raumzeit: Eine mathematische Einführung in die Relativitätstheorie. Springer-Verlag, 2013,ISBN 3-322-94260-0. 
• Chris Isham:Modern Differential Geometry for Physicists. Allied Publishers, 2002,ISBN 81-7764-316-9. 
• W. Werner:Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik.Band 1. Springer Vieweg,ISBN 978-3-658-25271-7. 

• Riemannsche Geometrie