Messbare Funktionen (englischmeasurable functions) werden in derMaßtheorie untersucht, einem Teilbereich derMathematik, der sich mit der Verallgemeinerung von Längen- und Volumenbegriffen beschäftigt. Von messbaren Funktionen wird verlangt, dass dasUrbild gewisser Mengen wieder in einem bestimmtenMengensystem liegt. Messbare Funktionen spielen eine wichtige Rolle in derStochastik und der Maßtheorie, da durch sieZufallsvariablen undBildmaße konstruiert werden können.

Gegeben seien zweiMessräume${\displaystyle (X_1,{\mathcal{A}}_1)}$ und${\displaystyle (X_2,{\mathcal{A}}_2)}$, das heißt je eineGrundmenge und eineσ-Algebra auf dieser Menge, sowie eine Funktion (bzw. Abbildung)

${\displaystyle f:X_1\to X_2}$.

${\displaystyle f}$ heißt nun einemessbare Funktion (bzw.messbare Abbildung), wenn das${\displaystyle f}$-Urbild jedermessbaren Menge${\displaystyle A_2\in {\mathcal{A}}_2}$ eine messbare Menge von${\displaystyle {\mathcal{A}}_1}$ ist.

Formalisiert lautet diese Bedingung:

${\displaystyle f^{-1}(A_2)\in {\mathcal{A}}_1}$, für alle${\displaystyle A_2\in {\mathcal{A}}_2}$^{[A 1]}, wobei${\displaystyle f^{-1}(A_2):=\{x\in X_1:f(x)\in A_2\}.}$

Eine solche Funktion (bzw. Abbildung) wird auch als${\displaystyle {\mathcal{A}}_1}$-${\displaystyle {\mathcal{A}}_2}$-messbar bezeichnet. Falls klar ist, welche Messräume beteiligt sind, sagt man oft auch einfach,${\displaystyle f}$ seimessbar.

Eine Funktion heißtBorel-messbar (Lebesgue-messbar), wenn sie bezüglich zweierBorelscher σ-Algebren (Lebesguescher σ-Algebren) messbar ist. Teilweise werden auch Mischformen (Lebesgue-Borel-messbar oderBorel-Lebesgue-messbar) verwendet. Zu beachten ist, dass keinMaß definiert sein muss, um eine messbare Funktion zu definieren.

• Sind zwei Messräume${\displaystyle (X_1,{\mathcal{A}}_1)}$ und${\displaystyle (X_2,{\mathcal{A}}_2)}$ gegeben, und ist${\displaystyle {\mathcal{A}}_2=\{\mathrm{\varnothing },X_2\}}$ die triviale σ-Algebra, so ist jede Funktion${\displaystyle f:X_1\to X_2}$${\displaystyle {\mathcal{A}}_1}$-${\displaystyle {\mathcal{A}}_2}$-messbar, unabhängig von der Wahl der Funktion und der σ-Algebra${\displaystyle {\mathcal{A}}_1}$. Dies liegt daran, dass immer${\displaystyle f^{-1}(\mathrm{\varnothing })=\mathrm{\varnothing }}$ und${\displaystyle f^{-1}(X_2)=X_1}$ gilt. Diese Mengen sind aber immer in der σ-Algebra${\displaystyle {\mathcal{A}}_1}$ enthalten. Wählt man hingegen als σ-Algebra diePotenzmenge${\displaystyle {\mathcal{A}}_1=\mathcal{P}(X_1)}$, so ist ebenfalls jede Funktion${\displaystyle f:X_1\to X_2}$${\displaystyle {\mathcal{A}}_1}$-${\displaystyle {\mathcal{A}}_2}$-messbar, unabhängig von der Wahl der Funktion und der σ-Algebra${\displaystyle {\mathcal{A}}_2}$. Dies liegt daran, dass jedes Urbild${\displaystyle f^{-1}(A)}$ immer in der Potenzmenge liegt, da diese per Definition jede Teilmenge der Obermenge enthält.
• Jedekonstante Funktion, also jede Funktion der Form${\displaystyle f(x_1)=c}$ für alle${\displaystyle x_1\in X_1}$, ist messbar. Ist nämlich${\displaystyle A\in {\mathcal{A}}_2}$, so ist

Da die Grundmenge und dieleere Menge in jeder beliebigen σ-Algebra enthalten sind, sind sie insbesondere in${\displaystyle {\mathcal{A}}_1}$ enthalten und die Funktion ist messbar.

• Sind${\displaystyle (X_1,{\mathcal{A}}_1)}$ und${\displaystyle (\{0,1\},\mathcal{P}(\{0,1\}))}$ Messräume, dann ist für beliebiges${\displaystyle M\in {\mathcal{A}}_1}$ dieIndikatorfunktion${\displaystyle f={\chi }_M}$ eine${\displaystyle {\mathcal{A}}_1}$-${\displaystyle \mathcal{P}(\{0,1\})}$-messbare Funktion. Es gilt dann${\displaystyle f^{-1}(\{1\})=M}$ und${\displaystyle f^{-1}(\{0\})=X_1\setminus M}$ sowie${\displaystyle f^{-1}(\mathrm{\varnothing })=\mathrm{\varnothing }}$ und${\displaystyle f^{-1}(\{0,1\})=X_1}$. Diese Mengen sind aber nach Voraussetzung in der σ-Algebra enthalten.

Der Begriff der Messbarkeit wird durch die Definition der Integration vonHenri Lebesgue motiviert:Für dieLebesgue-Integration einer Funktion${\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ bezüglich desLebesgue-Maßes muss Mengen der Form${\displaystyle f^{-1}([a,b])}$ ein Maß zugeordnet sein. Beispiele für Funktionen, für die dies nicht möglich ist, sindIndikatorfunktionen vonVitali-Mengen.Die Definition der Lebesgue-Integration für beliebige Maßräume führt dann zu obiger Definition der messbaren Funktion.

Der Begriff der messbaren Funktion hat Parallelen zur Definition derstetigen Funktion. Eine Funktion zwischentopologischen Räumen${\displaystyle X_1}$ und${\displaystyle X_2}$ ist genau dann stetig, wenn die Urbilder offener Mengen von${\displaystyle X_2}$ wiederum offene Mengen von${\displaystyle X_1}$ sind. Die von den offenen Mengenerzeugte σ-Algebra ist dieborelsche σ-Algebra. Eine stetige Funktion ist also messbar bezüglich der Borel-σ-Algebren von${\displaystyle X_1}$ und${\displaystyle X_2,}$ kurzborel-messbar. Eine gewisse Umkehrung dieser Aussage ist derSatz von Lusin.

Messbare Funktionen spielen alsZufallsvariablen eine wichtige Rolle in derWahrscheinlichkeitstheorie.

Oftmals ist eine σ-Algebra viel zu groß, um jede Menge aus ihr direkt angeben zu können oder das Urbild jeder Menge zu überprüfen. Die Überprüfung einer Funktion auf Messbarkeit wird aber dadurch erleichtert, dass man dies nur auf den Urbildern eines Erzeugers machen muss. Ist also${\displaystyle {\mathcal{E}}_2}$ ein Erzeuger von${\displaystyle {\mathcal{A}}_2}$, sprich ist${\displaystyle \sigma ({\mathcal{E}}_2)={\mathcal{A}}_2}$, so ist die Funktion${\displaystyle f}$ genau dann messbar, wenn

${\displaystyle f^{-1}(E)\in {\mathcal{A}}_1}$

für alle${\displaystyle E\in {\mathcal{E}}_2}$ gilt.

Daraus folgt direkt, dass stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen, die mit der borelschen σ-Algebra versehen sind, immer messbar sind, da Urbilder offener Mengen immer offen sind. Da die borelsche σ-Algebra aber von den offenen Mengen erzeugt wird und demnach die Urbilder des Erzeugers wieder im Erzeuger liegen, folgt die Messbarkeit.

Zu jeder Abbildung${\displaystyle f:X_1\to X_2}$, wobei${\displaystyle X_2}$ mit der σ-Algebra${\displaystyle {\mathcal{A}}_2}$ versehen ist, lässt sich eine kleinste σ-Algebra angeben, bezüglich derer die Funktion${\displaystyle f}$ messbar ist. Diese σ-Algebra nennt man dann dieInitial-σ-Algebra der Funktion und bezeichnet sie mit${\displaystyle \sigma (f)}$ oder mit${\displaystyle \mathcal{I}(f)}$. Sie lässt sich auch für beliebige Familien von Funktionen${\displaystyle (f_i{)}_{i\in I}}$ definieren. Sie ist dann die kleinste σ-Algebra, bezüglich derer alle${\displaystyle f_i}$ messbar sind, und wird dann mit${\displaystyle \sigma (f_i:i\in I)}$ oder${\displaystyle \mathcal{I}(f_i:i\in I)}$ bezeichnet. Für eine einzelne Funktion${\displaystyle f}$ ist aufgrund der Operationsstabilität des Urbildes bereits${\displaystyle f^{-1}({\mathcal{A}}_2)}$ die Initial-σ-Algebra.

Sind${\displaystyle (X_1,{\mathcal{A}}_1)}$,${\displaystyle (X_2,{\mathcal{A}}_2)}$ und${\displaystyle (X_3,{\mathcal{A}}_3)}$ Messräume und ist${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal{A}}_1}$-${\displaystyle {\mathcal{A}}_2}$-messbar und${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal{A}}_2}$-${\displaystyle {\mathcal{A}}_3}$-messbar, so ist die Funktion${\displaystyle h(x)=g(f(x))}$${\displaystyle {\mathcal{A}}_1}$-${\displaystyle {\mathcal{A}}_3}$-messbar.Unter Umständen kann auch aus der Messbarkeit von verknüpften Funktionen auf die Messbarkeit ihrer Teilfunktionen geschlossen werden:Sind${\displaystyle f_i}$ Funktionen von${\displaystyle (X_2,{\mathcal{A}}_2)}$ nach${\displaystyle (X_i,{\mathcal{A}}_i)}$ und ist${\displaystyle {\mathcal{A}}_2=\mathcal{I}(f_i)}$ die Initial-σ-Algebra, dann ist eine Funktion${\displaystyle f}$ von${\displaystyle (X_1,{\mathcal{A}}_1)}$ nach${\displaystyle (X_2,{\mathcal{A}}_2)}$ genau dann messbar, wenn${\displaystyle f_i\circ f}$ für alle${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle A_1}$-${\displaystyle A_i}$-messbar ist.

DasFaktorisierungslemma ist ein maßtheoretischer Hilfssatz, der die Messbarkeit von Funktionen bezüglich einer am Urbildraum von einer anderen Funktion induzierten sigma-Algebra charakterisiert.

Lemma (Faktorisierunglemma): Es seien${\displaystyle (X_2,{\mathcal{A}}_2)}$ ein Messraum und${\displaystyle f:X_1\to X_2}$ eine Abbildung. Es bezeichne${\displaystyle \sigma (f):=f^{-1}({\mathcal{A}}_2)}$ die von${\displaystyle f}$ und${\displaystyle {\mathcal{A}}_2}$ erzeugte σ-Algebra auf${\displaystyle X_1}$. Es sei nun${\displaystyle (X_3,{\mathcal{A}}_3)}$ ein weiterer Messraum und${\displaystyle g:X_1\to X_3}$ eine weitere Abbildung. Dann sind äquivalent:

(1) Die Abbildung${\displaystyle g}$ ist${\displaystyle (X_1,\sigma (f))-(X_3,{\mathcal{A}}_3)}$-messbar.

(2) Es existiert eine messbare Funktion${\displaystyle \tilde{g}:(X_2,{\mathcal{A}}_2)\to (X_3,{\mathcal{A}}_3)}$ mit

${\displaystyle g=\tilde{g}\circ f}$.

Man sagt in diesem Fall, dass die Abbildung${\displaystyle g}$ über${\displaystyle f}$messbar faktorisiert wird.

Informell in Worten beschrieben besagt das Faktorisierungslemma, dass eine Funktion genau dann bezüglich einer induzierten${\displaystyle \sigma }$-Algebra am Urbildraum messbar ist, wenn messbar faktorisiert werden kann.

Die${\displaystyle (X_1,\sigma (f))-(X_3,{\mathcal{A}}_3)}$-messbaren Funktionen${\displaystyle g}$ sind also genau jene, die im Bild desPullback-Operators${\displaystyle .\circ f}$, der${\displaystyle (X_2,{\mathcal{A}}_2)-(X_3,{\mathcal{A}}_3)}$-messbaren Funktionen liegen.

Das Faktorisierungslemma wird bei einigen weitreichendenstochastischen Konstruktionen und Sätzen dermathematischen Statistik verwendet. Zum Beispiel wird das Lemma in der Wahrscheinlichkeitstheorie bei der Konstruktion derfaktorisierten bedingten Erwartung eingesetzt, die ein Schritt auf dem Weg zurregulären bedingten Verteilung ist, und in der Statistik fürsuffiziente Statistiken zur Datenreduktion.

Für eine Abbildung${\displaystyle f}$ von einem Messraum${\displaystyle (X,\mathcal{A})}$ nach${\displaystyle (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))}$ gilt, dass${\displaystyle f}$ genau dann messbar ist, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist

• ${\displaystyle \{f\le a\}\in \mathcal{A}\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}}$,
• ,
• ${\displaystyle \{f\ge a\}\in \mathcal{A}\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}}$,
• ${\displaystyle \{f>a\}\in \mathcal{A}\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}}$.

Dabei ist${\displaystyle \{f\le a\}}$ als Abkürzung für

${\displaystyle \{x\in X\mid f(x)\le a\}=f^{-1}((-\mathrm{\infty },a])}$

zu verstehen. Es würde auch ausreichen, wenn${\displaystyle a}$ nur alle rationalen Zahlen durchliefe, denn die angegebenen Intervalle bilden immer ein Erzeugendensystem der borelschen σ-Algebra.

Die folgenden Funktionen${\displaystyle g:(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))\to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))}$ sind beispielsweise messbar:

${\displaystyle g(x)=max(0,x)=:x^{+}}$

${\displaystyle g(x)=min(0,x)=:x^{-}}$

${\displaystyle g(x)=|x|}$

${\displaystyle g(x)=\mathrm{sgn}(x)}$.

Ist außerdem eine Funktion${\displaystyle f:(X_1,{\mathcal{A}}_1)\to ({\mathbb{R}}^n,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^n))}$ gegeben, so ist sie genau dann messbar, wenn jede ihrer Komponentenfunktionen${\displaystyle f_i}$${\displaystyle \mathcal{A}}$-${\displaystyle \mathcal{B}(\mathbb{R})}$-messbar ist.

Sind${\displaystyle f,g}$ messbare Funktionen von${\displaystyle (X_1,{\mathcal{A}}_1)}$ nach${\displaystyle ({\mathbb{R}}^n,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^n))}$, so sind auch${\displaystyle f+g}$ und${\displaystyle f-g}$ messbar. Ist${\displaystyle h}$ messbar von${\displaystyle (X_1,{\mathcal{A}}_1)}$ nach${\displaystyle (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))}$, so ist${\displaystyle f\cdot h}$ messbar. Vereinbart man die Konvention${\displaystyle \frac{x}{0}=0}$, so ist sogar${\displaystyle \frac{f}{h}}$ messbar.

Ist eine Funktionenfolge${\displaystyle (X_1,{\mathcal{A}}_1)}$-${\displaystyle (\overline{\mathbb{R}},\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}}))}$-messbarer Funktionen${\displaystyle (f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}}$ gegeben, so sind auch das Infimum, das Supremum sowie der Limes inferior und der Limes superior dieser Folge wieder messbar.

Jede positive messbare Funktion lässt sich durch einemonoton wachsende Funktionenfolge voneinfachen Funktionen (also Linearkombinationen von Indikatorfunktionen von messbaren Mengen) approximieren. Eine Funktionenfolge, die das leistet, ist beispielsweise

${\displaystyle f_n(x)=min(2^{-n}\lfloor 2^{n}f(x)\rfloor ;n)}$.

Diese Approximationseigenschaft wird bei der Konstruktion desLebesgue-Integrals genutzt, welches zuerst nur für einfache Funktionen definiert wird und dann auf alle messbaren Funktionen fortgesetzt wird.

Eine (reelle) Lebesgue-Borel-messbare Funktion ist nicht unbedingt Borel-Borel-messbar. Auch ist eine Lebesgue-Borel-messbare Funktion nicht unbedingt Lebesgue-Lebesgue-messbar. Die Verkettung zweier Lebesgue-Borel-messbarer Funktionen ist also nicht zwangsläufig wiederum Lebesgue-Borel-messbar.^[1][2]

Ist eine Funktion in einemmetrischen Raum punktweiserLimes vonElementarfunktionen, d. h. messbaren Funktionen mit endlichem Bild, so heißt sie„stark messbar“.

• Jede messbare Funktion mitseparablem Bild ist stark messbar.
• Jede stark messbare Funktion ist messbar.

Starke Messbarkeit und Messbarkeit unterscheiden sich nur voneinander, wenn der Zielraum nicht-separabel ist. Dies ist beispielsweise bei der Definition von verallgemeinerten Integralen wie demBochner-Integral der Fall.

Messbare Funktionen, deren Umkehrabbildung ebenfalls messbar ist, werdenbimessbare Funktionen genannt.

Eine Teilmenge eines Messraums heißtmessbar, wenn sie Element derσ-Algebra des Messraums ist und ihr somit potentiell einMaß zugeordnet werden kann.Des Weiteren existiert noch dieMessbarkeit nach Carathéodory von Mengenbezüglich eines äußeren Maßes. Hier wird nur einäußeres Maß benötigt.

• Heinz Bauer:Maß- und Integrationstheorie (= De Gruyter Lehrbuch). 2., überarbeitete Auflage.de Gruyter, Berlin, New York 1992,ISBN 3-11-013625-2 (MR1181881). 
• Ehrhard Behrends:Maß- und Integrationstheorie (= Hochschultext).Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo 1987,ISBN 3-540-17850-3 (MR1028059). 
• Jürgen Elstrodt:Maß- und Integrationstheorie (= Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik). 7., korrigierte und aktualisierte Auflage.Springer-Verlag, Heidelberg, Dordrecht, London, New York 2011,ISBN 978-3-642-17904-4,doi:10.1007/978-3-642-17905-1. 
• Achim Klenke:Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013,ISBN 978-3-642-36017-6. 
• Henri Lebesgue:Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives. Gauthier-Villars, Paris 1904.
• M. Loève:Probability Theory I (= Graduate Texts in Mathematics.Band 45). 4. Auflage. Springer Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1977,ISBN 3-540-90210-4 (MR0651017). 
• Klaus D. Schmidt:Maß und Wahrscheinlichkeit (= Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik).Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2009,ISBN 978-3-540-89729-3,doi:10.1007/978-3-540-89730-9. 

• Eintragmeßbare Funktion im Lexikon der Mathematik (2017)
• Eintragmeßbare Abbildung im Lexikon der Mathematik (2017)
• Measurable mapping in derEncyclopedia of Mathematics

1. ↑Robert B. Ash, Catherine Doléans-Dade:Probability and measure theory. 2nd edition. Academic Press, San Diego CA u. a. 2000,ISBN 0-12-065202-1, S. 41.
2. ↑Vladimir I. Bogachev:Measure theory. Band 1. Springer, Berlin u. a. 2007,ISBN 978-354-03451-3-8, S. 193.

1. ↑ Es ist also (in verkürzter Schreibung)${\displaystyle f^{-1}({\mathcal{A}}_2)\subseteq {\mathcal{A}}_1}$

• Maßtheorie