In derMathematik ist einLipschitz-Gebiet – oder auch Gebiet mitLipschitz-Rand genannt – einGebiet imeuklidischen Raum, dessenRand in dem Sinne „ausreichend regulär“ ist, dass dieser lokal derGraph einerLipschitz-stetigen Funktion ist. Anwendung finden Lipschitz-Gebiete in derTheorie partieller Differentialgleichungen. Der Begriff ist nach dem deutschen MathematikerRudolf Lipschitz benannt.

Die hier beschriebenen Gebiete werden auch alsstarke Lipschitz-Gebiete bezeichnet, um eine Verwechselung mit den schwachen Lipschitz-Gebieten zu verhindern, die eine allgemeinere Klasse von Gebieten darstellen.

EinGebiet${\displaystyle \mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n}$ deseuklidischen Raums heißt (starkes) Lipschitz-Gebiet, falls sowohl positive Zahlen${\displaystyle \delta }$ und${\displaystyle M}$ existieren, als auch es einelokal endliche Überdeckung${\displaystyle (U_i{)}_i}$ des Randes${\displaystyle \mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }}$ gibt, so dass für jedes${\displaystyle U_i}$ eine reellwertige Funktion${\displaystyle f_i}$ von${\displaystyle n-1}$ Variablen existiert, so dass die folgenden Bedingungen gelten:^[1]

1. Für eine Zahl${\displaystyle R}$ hat jede Teilfamilie von${\displaystyle (U_i{)}_i}$ mit${\displaystyle R+1}$ Elementen die leere Menge als gemeinsameSchnittmenge.

2. Für jedes Paar an Punkten mit existiert ein${\displaystyle i}$, so dass

${\displaystyle x,y\in V:=\{a\in U_i:\mathrm{dist}(a,\mathrm{\partial }{U}_i)>\delta \}}$

gilt.

3. Jede Funktion${\displaystyle f_i}$ erfüllt eineLipschitz-Bedingung

mit derLipschitz-Konstanten${\displaystyle M}$.

4. Für einkartesisches Koordinatensystem${\displaystyle ({\xi }_{i,1},\dots ,{\xi }_{i,n-1})}$ in${\displaystyle U_j}$ ist die Menge${\displaystyle \mathrm{\Omega }\cap U_i}$ beschrieben durch

.

Falls${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ein beschränktes Gebiet ist, dann vereinfacht sich obige Definition zu einer einzigen Bedingung. Das beschränkte Gebiet${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ist genau dann ein Lipschitz-Gebiet, falls der Rand lokal ein Lipschitz-Rand ist. Das bedeutet, dass für jeden Randpunkt${\displaystyle x\in \mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }}$ eine Umgebung${\displaystyle U_i}$ existiert, so dass die Menge${\displaystyle \mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }\cap U_i}$ der Graph einer lipschitzstetigen Funktion ist.^[2]

• Jedes${\displaystyle C^k}$-Gebiet mit${\displaystyle k\ge 1}$ ist auch ein Lipschitz-Gebiet.^[2]
• Nach demSatz von Rademacher können an einem Lipschitz-Randfast überallTangentialvektoren gefunden werden.^[3]

• Die offeneKreisfläche ist ein${\displaystyle C^{\mathrm{\infty }}}$-Gebiet und damit auch ein Lipschitz-Gebiet.^[4]
• Die Fläche eines offenenRechtecks ist ein Lipschitz-Gebiet, aber kein${\displaystyle C^1}$-Gebiet.^[4]
• Geschlitzte Flächen, wie zum Beispiel die geschlitzte Kreisfläche

,

wobei${\displaystyle e_1}$ einBasisvektor der kanonischen Basis des${\displaystyle {\mathbb{R}}^d}$ ist, sind keine Lipschitz-Gebiete.^[4]

In der Theorie derSobolev-Räume tritt der Begriff des Lipschitz-Gebietes auf. So fordern beispielsweise einige Varianten desEinbettungssatzes von Sobolev, dass die untersuchten Gebiete Lipschitz-Gebiete sind. Somit sind auch viele Definitionsbereiche Lipschitz-Gebiete, die im Kontext gewisserpartieller Differentialgleichungen undVariationsproblemen untersucht werden.

1. ↑R. A. Adams:Sobolev spaces. 1. Auflage. Academic Press, New York, San Francisco, London 1975,ISBN 978-0-12-044150-1,S. 66. 
2. ↑^abR. A. Adams:Sobolev spaces. 1. Auflage. Academic Press, New York, San Francisco, London 1975,ISBN 978-0-12-044150-1,S. 67. 
3. ↑Giovanni Leoni:A First Course in Sobolev Spaces: Second Edition. 2. Auflage. American Mathematical Society, Pittsburgh 2017,ISBN 978-1-4704-2921-8,S. 274. 
4. ↑^abcPeter Knabner, Lutz Angerman:Numerical Methods for Elliptic and Parabolic Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York 2003,ISBN 978-1-4419-3004-0,S. 96. 

• Funktionalanalysis
• Theorie partieller Differentialgleichungen

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