Dievertikale Linienmethode (engl.method of lines, MOL) ist ein Verfahren zum Lösen (parabolischer)partieller Differentialgleichungen, bei welcher alle bis auf eine Dimension (üblicherweise die Zeitvariable)diskretisiert werden. Durch die Diskretisierung ergibt sich damit an Stelle der ursprünglichen partiellen Differentialgleichung ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen, welches mit adäquaten Mitteln behandelt werden kann.Von besonderem Interesse ist dienumerische Version, auch „NMOL“ genannt. Hierbei erfolgt die Lösung des durch die Diskretisierung erhaltenen Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen zum Beispiel durch die Anwendung vonEin- oderMehrschrittverfahren, insbesondereRunge-Kutta-Verfahren. Diese Tatsache zeigt bereits die Grenzen der Einsatzmöglichkeiten dieses Verfahrens: Um Ein- oder Mehrschrittverfahren anwenden zu können, muss das sich nach der Diskretisierung ergebende Problem einAnfangswertproblem erster Ordnung darstellen, was wiederum bedeutet, dass das ursprüngliche Problem in wenigstens einer Variablen ein Anfangswertproblem erster Ordnung sein muss.

Diesem Verfahren steht diehorizontale Linienmethode gegenüber, welche besser unter dem NamenRothe-Methode bekannt ist (benannt nachErich Rothe). Die Idee bei der Rothe-Methode für parabolische Anfangs-Randwertprobleme besteht darin, zuerst eine Diskretisierung hinsichtlich der Zeit vorzunehmen, um somit das Problem direkt zu einem Anfangswertproblem im Funktionenraum umzuformulieren.

Die Idee bei der (vertikalen) Linienmethode für parabolische Anfangs-Randwertprobleme besteht darin, zuerst eine Diskretisierung hinsichtlich der räumlichen Variablen und danach das resultierende Problem hinsichtlich der Zeit zu diskretisieren.Im Fall einer konformen Approximation, sei${\displaystyle V:=H_0^1}$ (sieheSobolev-Räume),${\displaystyle H:=L^2(\mathrm{\Omega })}$ (sieheL^p-Räume) und${\displaystyle u_0\in H}$. Das verallgemeinerte Problem einer parabolischen Differentialgleichung bedeutet nun: Man finde ein${\displaystyle u\in W_2^1(0,T;V,H)}$ mit${\displaystyle u(0)=u_0\in H}$, so dass:

${\displaystyle \frac{d}{dt}(u(t),v)+A(u(t),v)=(f(t),v)\mathrm{\forall }v\in V}$,

wobei${\displaystyle A(,)}$ eine beschränkte, V-elliptische Bilinearform auf${\displaystyle V\times V}$ und${\displaystyle f\in L_2(0,T;V^{\ast })}$ ist.

Wenn die räumliche Diskretisierung mitfiniten Elementen erfolgt, dann erhalten wir für${\displaystyle V_n\subset V}$ (Finite-Element-Funktionenraum) das diskrete Problem:

${\displaystyle \frac{d}{dt}(u_n(t),v_n)+A(u_n(t),v_n)=(f(t),v_n)\mathrm{\forall }{v}_n\in V_n}$,

wobei${\displaystyle u_n(0)=u_n^0}$ eine Approximation von${\displaystyle u_0\text{ in }{V}_n}$.

Sei nun${\displaystyle \{{\varphi }_1\dots {\varphi }_n\}}$ eine Basis von${\displaystyle V_n}$ und${\displaystyle u_n(x,t)=\sum _{i=1}^N{c}_i(t){\varphi }_i(x)}$. Dann ergeben sich als Galerkingleichungen für das oben beschriebene diskrete Problem:

${\displaystyle \sum _{i=1}^N{c}_i^{\prime }(t)({\varphi }_i,{\varphi }_j)+\sum _{i=1}^N{c}_i(t)A({\varphi }_i,{\varphi }_j)=(f(t),{\varphi }_j),\mathrm{\forall }j=1\dots ,N}$,

mit${\displaystyle c_i(0)={\gamma }_i^0,\text{ wobei }{u}_n^0=\sum _{i=1}^N{\gamma }_i^0\varphi (x)}$.

Damit erhalten wir eine Differentialgleichung der Form

${\displaystyle D{\hat{c}}^{{}^{\prime }}(t)+A\hat{c}(t)=\hat{f}(t)}$,

wobei${\displaystyle D:=(d_{ij})}$ mit${\displaystyle d_{ij}=({\varphi }_j,{\varphi }_i)}$,${\displaystyle A:=(a_{ij})}$ mit${\displaystyle a_{ij}=A({\varphi }_j,{\varphi }_i)}$ und${\displaystyle f_j=(f(t),{\varphi }_j)}$ bzw.${\displaystyle \hat{c}:=(c_i)}$ und${\displaystyle \hat{f}:=(f_i)}$.

Wir gehen wieder von der verallgemeinerten Form

${\displaystyle \frac{d}{dt}(u_n(t),v_n)+A(u_n(t),v_n)=(f(t),v_n)\mathrm{\forall }{v}_n\in V_n}$,

mit${\displaystyle u(0)=u_0\in H}$ und${\displaystyle u\in W_2^1(0,T;V,H)}$ aus. Dann wird das Zeitintervall in${\displaystyle p}$ Teilintervalle mit der Gitterweite${\displaystyle \tau }$ zerlegt. Es sei diesmal${\displaystyle {\varphi }_i}$ die Hütchenfunktion in der Zeit, das heißt bei einer zeitlichen Diskretisierung mit den Gitterpunkten${\displaystyle \{t_0,\dots ,t_p\}}$ gilt

.

Dann wird eine Näherung für${\displaystyle u(x,t)}$ beschrieben durch die Rothe-Funktion

${\displaystyle u^{\tau }(x,t)=\sum _{i=1}^p{z}_i(x){\varphi }_i(t)}$.

Unter Verwendung desimpliziten Eulerverfahrens löst man nun in jedem Zeitschritt das Ortsproblem

${\displaystyle \left(\frac{z_{i+1}-z_i}{{\tau }_i},v\right)+A(z_{i+1},v)=(f_{i+1},v)}$,

wobei${\displaystyle {\tau }_i=t_{i+1}-t_i}$. Auch die Verwendung anderer Integrationsverfahren ist möglich; da die Probleme jedoch meistens steif sind, sollte ein implizites Verfahren bevorzugt werden.

• William E. Schiesser:The Numerical Method of Lines. Integration of partial differential Equations. Academic Press, San Diego u. a. 1991,ISBN 0-12-624130-9
• William E. Schiesser:Computational mathematics in Engineering and Applied Science. ODEs, DAEs, and PDEs. CRC Press, Boca Raton FL u. a. 1994,ISBN 0-8493-7373-5.

• Beschreibung in der Mathematica 5.2 Dokumentation (engl.) (Memento vom 8. Februar 2009 imInternet Archive)
• Beschreibung der Methode von Michael B. Cutlip und Mordechai Shacham (engl.) (PDF; 92 kB)

• Theorie partieller Differentialgleichungen