DasLebesgue-Maß[ləˈbɛg]  (nachHenri Léon Lebesgue) ist dasMaß imeuklidischen Raum, das geometrischen Objekten ihren Inhalt (Länge, Flächeninhalt, Volumen …) zuordnet. Es ist ein Spezialfall desLebesgue-Stieltjes-Maßes^[1] und dient zur Konstruktion desLebesgue-Integrals.

Das Lebesgue-Maß ist aus der Sicht der modernen Mathematik der natürliche Begriff für Flächeninhalt und Volumen. Dieses Konzept ist das Endprodukt einer ganzen Reihe von Ideen, die versuchten, Begriffe wie Flächeninhalt und Volumen mathematisch exakt zu fassen. Erst mit dem Lebesgue-Maß kann dieser Prozess als abgeschlossen gelten. Das Lebesgue-Maß ordnet nicht nur einfachen geometrischen Objekten, sondern auch viel allgemeineren Mengen einschließlich alleroffenen undabgeschlossenen Mengen einen Inhalt zu. Die Existenz nicht Lebesgue-messbarer Mengen (etwa derVitali-Mengen) lässt sichnicht-konstruktiv unter Verwendung desAuswahlaxioms beweisen.

DasLebesgue-Borel-Maß auf derBorel-σ-Algebra${\displaystyle \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)}$ (auch alsBorel-Lebesgue-Maß oder nurBorel-Maß bezeichnet) ist das eindeutigeMaß${\displaystyle \lambda }$ mit der Eigenschaft, dass es${\displaystyle n}$-dimensionalenHyperrechtecken ihr${\displaystyle n}$-dimensionalesVolumen zuordnet:

${\displaystyle \lambda ([a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n])=(b_1-a_1)\cdot \dots \cdot (b_n-a_n)}$.

Das heißt, es ist das Maß, dasIntervallen ihre Länge zuordnet (im Eindimensionalen),Rechtecken ihren Flächeninhalt zuordnet (im Zweidimensionalen),Quadern ihr Volumen zuordnet (im Dreidimensionalen) usw. Durch diese Bedingung wird der Inhalt${\displaystyle \lambda (B)}$ beliebiger Borel-Mengen eindeutig festgelegt. Die Borel-Mengen werden auchBorel-messbar oderB-messbar genannt. Das Borel-Maß istbewegungsinvariant und normiert, aber nichtvollständig.Die Existenz des Lebesgue-Borel-Maßes wurde im Eindimensionalen zum ersten Mal vonÉmile Borel 1895 bewiesen, eine modernere Konstruktion über denMaßerweiterungssatz geht aufConstantin Carathéodory (1918) zurück.^[2]

DasLebesgue-Maß ist dasvollständige Maß${\displaystyle \lambda }$, das man aus diesem Maß erhält, wenn man zu${\displaystyle \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)}$ alle Mengen${\displaystyle A}$ hinzufügt, die zwischen zwei Borel-Mengen liegen (${\displaystyle B_1\subset A\subset B_2}$), welche denselben Inhalt haben, genauer${\displaystyle \lambda (B_2\setminus B_1)=0}$, und so${\displaystyle \lambda (A)}$ festlegen. Die Mengen, für die das Lebesgue-Maß auf diese Weise definiert ist, heißenLebesgue-messbar (oderL-messbar). Sie bilden in der Folge dieLebesgue-${\displaystyle \sigma }$-Algebra.

Es lässt sich zeigen, dass die Menge der L-messbaren Mengen${\displaystyle \mathcal{L}({\mathbb{R}}^n)}$ wesentlichgrößer als die Menge der B-messbaren Mengen ist:^[3][4]

${\displaystyle \mathrm{card}(\mathcal{L}({\mathbb{R}}^n))=\mathrm{card}(\mathrm{Pot}({\mathbb{R}}^n))=2^{\mathrm{card}({\mathbb{R}}^n)}=2^{\mathrm{card}(\mathbb{R})}>\mathrm{card}(\mathbb{R})=\mathrm{card}({\mathbb{R}}^n)=\mathrm{card}(\mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)),}$

wobei${\displaystyle \mathrm{card}}$ fürKardinalität und${\displaystyle \mathrm{Pot}}$ für die Potenzmenge einer Menge steht.

Mengen, deren Lebesgue-Maß gleich 0 ist, werdenLebesgue-Nullmengen genannt.Abzählbare Mengen wie z. B. die Menge derrationalen Zahlen sind Lebesgue-Nullmengen. Ein Beispiel für eineüberabzählbare Lebesgue-Nullmenge ist dasCantorsche Diskontinuum.^[5] Gilt eine mathematische Aussage für ein Gebiet mit Ausnahme einer Lebesgue-Nullmenge innerhalb des Gebietes, so sagt man: Die Aussage giltLebesgue-fast überall.

Das Lebesgue-Maß ist dasHaar-Maß auf derlokalkompaktentopologischen Gruppe${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ mit derAddition, die Existenz folgt daher bereits aus der Existenz des Haarmaßes. Insbesondere ist estranslationsinvariant, das bedeutet, dass sich das Maß einer Menge unterTranslation nicht ändert. Zudem ist es invariant unterSpiegelungen undDrehungen${\displaystyle R}$, also sogar invariant unterIsometrien in${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$

${\displaystyle \lambda (x)=\lambda (x_0+Rx),R^{T}R=I_n.}$

Das Lebesgue-Maß istσ-endlich undregulär.

Eine Teilmenge${\displaystyle A}$ des${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ ist Lebesgue-messbar genau dann, wenn sie die folgendecharakteristische Eigenschaft aufweist:^[6]

Zu jeder vorgegebenenSchranke${\displaystyle \epsilon >0}$ gibt es im${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ stets eineoffene Menge${\displaystyle U}$ sowie eineabgeschlossene Menge${\displaystyle F}$ mit

${\displaystyle F\subseteq A\subseteq U}$und.

Eine mögliche Definition des Lebesgue-Maßes ist die Konstruktion vonCarathéodory. Sei${\displaystyle \mathcal{D}}$ die Menge derdyadischen Elementarzellen und${\displaystyle \mathrm{vol}(A_i)}$ das Volumen von${\displaystyle A_i}$; da diese Mengen nur aus Produkten von Intervallen bestehen, definiert man das Volumen einfach als Produkt der einzelnen Seitenlängen.${\displaystyle \mathcal{D}}$ ist einHalbring und${\displaystyle \mathrm{vol}}$ ein${\displaystyle \sigma }$-endlicherInhalt, also einPrämaß. Dieses Prämaß wird auch dasLebesguesche Prämaß genannt. Nach demMaßerweiterungssatz von Carathéodory lässt es sich eindeutig zu einem Maß auf der erzeugten${\displaystyle \sigma }$-Algebra, das sind gerade die Borel-Mengen, fortsetzen. Diese Fortsetzung ist das Lebesgue-Borel-Maß.

Konkret lässt sich der Beweis wie folgt führen (der Beweis des allgemeinen Maßerweiterungssatzes geht in den wesentlichen Punkten analog): Für eine gegebene Menge${\displaystyle A\subseteq {\mathbb{R}}^n}$ definiert man

${\displaystyle {\lambda }^{\ast }(A):=inf\left\{\sum _{i\ge 1}\mathrm{vol}(A_i):A\subseteq \bigcup _{i\ge 1}{A}_i,A_i\in \mathcal{D}\right\}}$.

Die Funktion${\displaystyle {\lambda }^{\ast }}$ ist auf der gesamtenPotenzmenge${\displaystyle \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)}$ definiert und einmetrisches äußeres Maß, jedoch keinMaß. Um zu einem Maß zu kommen, kann man wie folgt von der Potenzmenge zu einem kleinerenMengensystem übergehen.

Eine Menge${\displaystyle A\in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)}$ ist${\displaystyle {\lambda }^{\ast }}$-messbar, wenn für alle${\displaystyle B\in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)}$ gilt:

${\displaystyle {\lambda }^{\ast }(B)={\lambda }^{\ast }(A\cap B)+{\lambda }^{\ast }(B\setminus A)}$

(sieheMessbarkeit nach Carathéodory).

Alle bezüglich${\displaystyle {\lambda }^{\ast }}$ messbaren Mengen aus${\displaystyle \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)}$ bilden eineσ-Algebra${\displaystyle \mathcal{A}}$ und${\displaystyle {\lambda }^{\ast }}$ darauf einMaß, d. h.,${\displaystyle \lambda :={\lambda }^{\ast }{|}_{\mathcal{A}}}$ ist ein Maß.

• Lebesgue-Integral
• L^p-Raum
• Maßproblem

1. ↑Norbert Kusolitsch:Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014,ISBN 978-3-642-45386-1,S. 68,doi:10.1007/978-3-642-45387-8. 
2. ↑Olav Kallenberg:Foundations of Modern Probability. 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 2002,ISBN 0-387-95313-2, S. 570.
3. ↑Michael Leinert:Integration und Maß. Vieweg, Braunschweig u. a. 1995,ISBN 3-528-06385-8, 4.20.
4. ↑Beispiele für nicht B-messbare L-messbare Mengen sind zum ersten Mal von Suslin gegeben worden. Er hat dabei das System der sogenanntenanalytischen Mengen entwickelt, das eine echte Erweiterung des Systems der Borelschen Mengen ist und komplett im System der L-messbaren Mengen liegt.
5. ↑Das cantorsche Diskontinuum ist auch eine borelsche Nullmenge. Da das Lebesgue-Maß vollständig ist, sind alle Untermengen des cantorschen Diskontinuums L-messbar. Daraus folgt die erste von den oben erwähnten Ungleichungen – nämlich, dass das System der L-messbaren Mengen echt mächtiger als dasKontinuum ist.
6. ↑Jürgen Elstrodt:Maß- und Integrationstheorie., 7., korrigierte und aktualisierte, Springer, Heidelberg u. a. 2011,ISBN 978-3-642-17904-4, S. 67.

• Maß (Mathematik)