DasLawson-Kriterium (nachJohn Lawson^[1]) ist einephysikalische Bedingung dafür, dass eine in einemPlasma ablaufendeKernfusionsreaktion sich selbst trägt, d. h. sich in einermakroskopischen Brennstoffmenge selbsttätig aufrechterhält. Vereinfacht gesagt muss der im Plasma bleibende Anteil der freigesetztenFusionsleistung mindestens so groß sein wie die Verlustleistung des Plasmas.

Das Kriterium wurde ursprünglich für die Fusion vonDeuterium undTritium (DT) formuliert, kann aber grundsätzlich auch auf andere Fusionsbrennstoffe verallgemeinert werden. Die Art des Plasmaeinschlusses, etwaFusion mittels magnetischen Einschlusses oderTrägheitsfusion, spielt dafür keine Rolle.^[2]

Alle Versuche, das Lawson-Kriterium in einer kontrollierten Reaktion zu erreichen, scheiterten bisher (2016) daran, dass die Plasmavolumina zu klein waren und zu schnell abkühlten, um einen dauerhaft ablaufenden Fusionsprozess zu ermöglichen. Erreicht werden sollte es mit dem Ursprungsentwurf fürITER, der in dieser Größe jedoch nicht bewilligt wurde. Bei seinem NachfolgerDEMO soll es möglich werden. Auch bei Trägheitsfusionsexperimenten wurde die Erfüllung des Kriteriums, die Zündung, noch nicht erreicht.

Das Kriterium ergibt sich aus einem Gleichgewicht. In einem DT-Plasma muss der von den entstehendenAlphateilchen getragene Anteil${\displaystyle P_{f,\alpha }}$ der Fusionsleistung gleich der Verlustleistung${\displaystyle P_v}$ des Plasmas sein.

Die bei der Fusionsreaktion freigesetztenNeutronen verlassen, da sie elektrisch neutral sind, das Plasma sofort, und ihre kinetische Energie von 14,1 MeV dient dann der Energiegewinnung. Die elektrisch geladenen Alphateilchen geben dagegen durch Stöße ihre Bewegungsenergie von 3,5 MeV noch im Plasma ab, sie heizen also das Plasma mit einer Leistung${\displaystyle P_{f,\alpha }}$. Gleichzeitig verliert das Plasma Energie durch Bremsstrahlung und Transport; dies ist die Verlustleistung${\displaystyle P_v}$. Im Gleichgewicht ist${\displaystyle P_{f,\alpha }=P_v}$. Erfüllt ein DT-Plasma diese Bedingung, „zündet“ es, „brennt“ dann ohne Energiezufuhr weiter und liefert seinerseits Energie als kinetische Neutronenenergie. InKernwaffen und auch inTrägheitsfusions-Reaktoren muss das Kriterium erfüllt sein. In Magneteinschluss-Fusionsreaktoren muss es dagegen nicht vollständig erfüllt werden; eine gewisse ständig nötige Fremdheizung (mit z. B. einigen Prozent der gewonnenen Neutronenenergie) hätte sogar den Vorteil, eine zusätzliche Steuermöglichkeit der Reaktion zu bieten.^[3]

Die Alphateilchen-Leistung beträgt bei einem DT-Plasma

${\displaystyle P_{f,\alpha }=n_1{n}_2⟨\sigma v⟩ϵV}$

mit denTeilchendichten${\displaystyle n_i}$ der beiden Reaktionspartner, der über die Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen gemitteltenKernreaktionsrate${\displaystyle ⟨\sigma v⟩}$ (Teilchengeschwindigkeit multipliziert mit dem geschwindigkeitsabhängigenWirkungsquerschnitt), dem auf das Alphateilchen entfallenden Teil der freiwerdenden Energie pro Fusion${\displaystyle ϵ}$ und dem Plasmavolumen${\displaystyle V}$.

Die im Plasma enthaltene thermische Energie ist

${\displaystyle W=3n_e{k}_{\mathrm{B}}TV}$

mit der Elektronendichte${\displaystyle n_e}$, derBoltzmannkonstante${\displaystyle k_{\mathrm{B}}}$ und der Temperatur${\displaystyle T}$.

Strahlungs- und Teilchentransportvorgänge bewirken eine Verlustleistung${\displaystyle P_v}$. Der Quotient aus der thermischen Energie und der Verlustleistung hat die Dimension einer Zeit und wird alsEnergieeinschlusszeit${\displaystyle {\tau }_E}$ bezeichnet:

${\displaystyle {\tau }_E=\frac{W}{P_v}}$.

Zum Erreichen des selbsttätigen Brennens muss gelten:

${\displaystyle P_{f,\alpha }\ge P_v}$.

Mit der Annahme, dass beide Reaktionspartner in gleichen Mengen vorhanden sind, also die gleiche Teilchendichte haben und quasi vollständig ionisiert sind

${\displaystyle n_1=n_2\approx \frac{1}{2}{n}_e\leftrightarrow n_1{n}_2=\frac{n_e^2}{4}}$

folgt dasLawson-Kriterium:

${\displaystyle n_e{\tau }_E\ge \frac{12k_{\mathrm{B}}T}{⟨\sigma v⟩ϵ}}$.

Bei vorgegebener Temperatur ergibt sich also der Mindestwert des Produkts aus Teilchendichten und Energieeinschlusszeit${\displaystyle {\tau }_E}$ für die selbsttätig brennende Fusionsreaktion. Dieses Produkt ist eine Funktion der Temperatur und Kernreaktionsrate, die für jede Fusionsreaktion etwas anders verläuft, aber immer ein absolutes Minimum hat. Für die DT-Reaktion beispielsweise erhält man

${\displaystyle n_e{\tau }_E\ge 1,5\cdot {10}^{20}{\mathrm{m}}^{-3}\mathrm{s}}$

wobei das Minimum bei einer Temperatur von ungefähr 25 keV liegt.

Anstelle von${\displaystyle n_e{\tau }_E}$ wird meistens das sogenannte Tripelprodukt${\displaystyle n_e{\tau }_{E}T}$ als Maß für das Erreichen der Zündbedingung verwendet. Das Lawson-Kriterium lautet dann

${\displaystyle n_e{\tau }_{E}T\ge \frac{12k_{\mathrm{B}}{T}^2}{⟨\sigma v⟩ϵ}}$.

Dieses hat den Vorteil, dass das Minimum von${\displaystyle n_e{\tau }_{E}T}$ als Funktion der Temperatur bei ca. 14 keV liegt (mit${\displaystyle n_e{\tau }_{E}T=2,8\cdot {10}^{21}{\mathrm{m}}^{-3}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{V}}$), dem Wert, der ungefähr notwendig ist, um einen Fusionsreaktor zu betreiben.

Insbesondere hoch ionisierte Verunreinigungen im Plasma (z. B.${\displaystyle {\mathrm{C}}^{6+},{\mathrm{F}\mathrm{e}}^{20+}}$) führen zu einem Energieverlust durchBremsstrahlung. Der für eine Zündung notwendige Wert des Tripelproduktes liegt dadurch höher.

Die Bremsstrahlungsverluste sind gegeben durch

${\displaystyle P_B=c_1{n}_e^2{Z}_{\text{eff}}\sqrt{T}V}$

mit der Konstanten${\displaystyle c_1=1,59\cdot {10}^{-40}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^3{\mathrm{K}}^{-\frac{1}{2}}}$ und der effektiven Ladung${\displaystyle Z_{\text{eff}}=\frac{1}{n_e}\sum _s{Z}_s^2{n}_s}$ (die Summe läuft über alle Ionenspezies des Plasmas).

Für eine selbstständig ablaufende Fusionsreaktion ergibt sich damit aus der Bedingung${\displaystyle P_{f,\alpha }\ge P_v+P_B}$ (wobei${\displaystyle P_v}$ hier nur den Verlust durch Transportvorgänge beschreibt) das Kriterium

${\displaystyle n_e{\tau }_{E}T\ge \frac{12k_{\mathrm{B}}{T}^2}{⟨\sigma v⟩ϵ-4c_1{Z}_{\text{eff}}\sqrt{T}}}$.

Ohne Verunreinigungen, d. h.${\displaystyle Z_{\text{eff}}=1}$, ergibt sich damit am Minimum der Wert${\displaystyle n_e{\tau }_{E}T=3\cdot {10}^{21}{\mathrm{m}}^{-3}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{V}}$. Enthält das Plasma z. B. 0,5 % Verunreinigung durch${\displaystyle {\mathrm{F}\mathrm{e}}^{20+}}$, d. h.${\displaystyle Z_{\text{eff}}=2,9}$, so erhöht sich der Wert des Tripelproduktes am Minimum auf${\displaystyle n_e{\tau }_{E}T=3,3\cdot {10}^{21}{\mathrm{m}}^{-3}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{V}}$. Es wird also schwieriger, die für eine Zündung notwendigen Bedingungen zu erreichen.

• J. D. Lawson:Some Criteria for a Power Producing Thermonuclear Reactor. In:Proceedings of the Physical Society. Section B. 70, 1957, S. 6–10,doi:10.1088/0370-1301/70/1/303. Erweiterte Version des A.E.R.E. report GP/R 1807, December 1955, declassified April 9th 1957

1. ↑J D Lawson:Some Criteria for a Power Producing Thermonuclear Reactor. In:Proceedings of the Physical Society. Section B.Band 70,Nr. 1, 1. Januar 1957,ISSN 0370-1301,S. 6–10,doi:10.1088/0370-1301/70/1/303 (englisch,iop.org [abgerufen am 11. Februar 2024]). 
2. ↑T. J. M. Boyd, J. J. Sanderson:The Physics of Plasmas. Cambridge University Press, 2003,ISBN 0-521-45290-2, Seite 3–4
3. ↑Weston M. Stacey:Fusion. An Introduction to the Physics and Technology of Magnetic Confinement Fusion. Wiley-VCH, 2010,ISBN 978-3-527-40967-9,eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche, Seite 8–9

• Kernfusion