Kwon spielte auf der Junior Tour von 2011 bis 2015 und erreichte dort Anfang 2015 mit einem kombinierten 46. Rang in der Rangliste seine beste Platzierung. Einmal stand er dabei auch in einemGrand-Slam-Turnier: 2015 bei denAustralian Open, als er in Einzel und Doppel jeweils früh verlor.
Bis zum Ende seiner Juniorenkarriere spielte er einige wenige Turniere der drittklassigenITF Future Tour, ehe er Mitte 2015 erstmals ein Turnier derATP Challenger Tour inSeoul dank einerWildcard spielte. Bis Ende des Jahres gelangen ihm die ersten drei Future-Titel, davon einer im Doppel, womit er das Jahr trotzdem nicht innerhalb der Top 1000 abschließen konnte. 2016 gewann er weitere vier Futures und stand schließlich inGimcheon erstmals in einem Challenger-Halbfinale. Fortan hatte er damit genugWeltranglistenpunkte gesammelt, um dauerhaft bei Challengers anzutreten. Sowohl in Einzel als auch im Doppel verbesserte er sich in der Weltrangliste stark und stand zum Saisonende im Einzel in den Top 300. 2017 spielte er sich beim Challenger inYokohama ohne Satzverlust durch die Qualifikation bis ins Finale, wo erYūichi Sugita unterlag. Im Mai kam er inSeoul erneut bis ins Finale und unterlag dortThomas Fabbiano. Durch weitere passable Ergebnisse stand er Ende des Jahres auf Platz 168. Dabei spielte er inWimbledon undNew York in der Qualifikation von zwei Grand-Slam-Turnieren und hatte Anfang 2017 seine Premiere imDavis Cup für diesüdkoreanische Davis-Cup-Mannschaft. 2018 konnte er sich in denAsia-Pacific Wildcard Playoffs durchsetzen, einer Ausscheidung um eine Wildcard bei denAustralian Open. Dort unterlag erJan-Lennard Struff glatt in drei Sätzen.
Ab 2025 muss Kwon den 18-monatigenMilitärdienst für Südkorea ableisten. Voraussichtlich ab Mitte 2026 kann er wieder an Turnieren teilnehmen.[1]
Im Davis Cup, in dem Kwon seit 2017 für Südkorea spielt, hat er eine Bilanz von 3:3.
Anmerkung: Bei diesem Artikel wird der Familienname vor den Vornamen der Person gesetzt. Dies ist die übliche Reihenfolge im Koreanischen.Kwon ist hier somit der Familienname,Soon-woo ist der Vorname.