Radialsymmetrie ist eine Form derSymmetrie, bei der ein Objekt invariant gegenüber allen Rotationen (also allen Winkeln und allen Achsen durch dasSymmetriezentrum) und Spiegelungen ist. Für einBezugssystem ist also nur derKoordinatenursprung, nicht aber die Ausrichtung von Bedeutung, wenn man ein radialsymmetrisches Objekt beschreiben will. Im dreidimensionalen Fall nennt man die Radialsymmetrie auchKugelsymmetrie, daKugeln (genauer: auch konzentrische Kombinationen von Kugeloberflächen) die einzigen radialsymmetrischen dreidimensionalen Objekte sind. Funktionen und Vektorfelder, die Radialsymmetrie aufweisen, werdenRadialfelder genannt.

Eine Teilmenge${\displaystyle D\subset {\mathbb{R}}^n}$ wird radialsymmetrisch (oder kugelsymmetrisch) genannt, wenn sie durch Drehungen undDrehspiegelungen nicht verändert wird. Das heißt, die Menge${\displaystyle D}$ ist also radialsymmetrisch, wenn sie invariant unter derorthogonalen Gruppe ist.^[1]

In derPhysik und derDifferentialgeometrie spielen radialsymmetrische Felder eine besondere Rolle. Allen radialsymmetrischen Feldern ist gemein, dass sie invariant gegenüber linearen, längenerhaltendenKoordinatentransformationen sind. Je nachdem, ob es sich umSkalarfelder,Vektorfelder oderTensorfelder handelt, gibt es auch andere Eigenschaften, um diese Felder eindeutig zu charakterisieren.^[2]

Ein Skalarfeld${\displaystyle f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}}$ ist genau dann radialsymmetrisch, wenn man es als Funktion${\displaystyle \tilde{f}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ schreiben kann, die nur vom Abstand zum Koordinatenursprung abhängt:

${\displaystyle f(\overrightarrow{r})=\tilde{f}(\Vert \overrightarrow{r}\Vert )}$.

Eine äquivalente Definition eines radialsymmetrischen Skalarfelds, die näher an der Ausgangsdefinition des Artikels ist, lautet

${\displaystyle f(Ax)=f(x)}$

für alleorthogonalen Abbildungen${\displaystyle A\in O(n)}$.^[2]

Ein Vektorfeld${\displaystyle \overrightarrow{A}}$ ist genau dann radialsymmetrisch, wenn dessen Beträge nur vom Abstand zumKoordinatenursprung abhängen und das Feld stets in radialer Richtung zeigt. Es lässt sich also eine skalare Funktion${\displaystyle f}$ finden, so dass^[2]

${\displaystyle \overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=f(\Vert \overrightarrow{r}\Vert )\cdot {\overrightarrow{e}}_r}$

gilt, dabei ist${\displaystyle {\overrightarrow{e}}_r=\overrightarrow{r}/\Vert \overrightarrow{r}\Vert }$ der zugehörigeEinheitsvektor in radialer Richtung.^[3] Ein Beispiel für ein radialsymmetrisches Vektorfeld ist daselektrische Feld einer Punktladung.

DerGradient eines radialsymmetrischen Skalarfeldes${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f(\overrightarrow{r})}$ ist ein radialsymmetrisches Vektorfeld. Beispielsweise ist dasGravitationspotential

${\displaystyle \phi (\overrightarrow{r})=-\frac{GM}{r}}$

ein radialsymmetrisches Skalarfeld. Sein Gradient, dieSchwerebeschleunigung

${\displaystyle g(\overrightarrow{r})=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\phi (\overrightarrow{r})=-\frac{GM}{r^2}\cdot {\overrightarrow{e}}_r}$

ist das zugehörige Vektorfeld.

1. ↑Claus Müller:Analysis of Spherical Symmetries in Euclidean Spaces. 1. Auflage. Springer-Verlag, New York 1998,ISBN 978-0-387-94949-9,S. 10. 
2. ↑^abcC.M. Dafermos, Milan Pokorny:Handbook of Differential Equations: Evolutionary Equations, Volume 5. 1. Auflage. North Holland, 2009,ISBN 978-0-444-53222-0,S. 353. 
3. ↑Klaus Weltner:Mathematik für Physiker 2. 15. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008,ISBN 978-3-540-68199-1,S. 21. 

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