In derStochastik ist dieKorrelationsmatrix einesymmetrische undpositiv semidefinite Matrix, die dieKorrelation zwischen den Komponenten einesZufallsvektors erfasst. Die Korrelationsmatrix kann aus derVarianz-Kovarianzmatrix erhalten werden und umgekehrt.

Die Korrelationsmatrix alsMatrix aller paarweisenKorrelationskoeffizienten der Elemente einesZufallsvektors${\displaystyle \mathbf{X}=(X_1,X_2,\dots ,X_n{)}^{\mathrm{\top }}}$ enthält Informationen über dieKorrelationen zwischen seinen Komponenten.^[1] Analog zurVarianz-Kovarianzmatrix${\displaystyle \mathbf{\Sigma }}$ ist dieKorrelationsmatrix definiert als^[2]

,

wobei${\displaystyle {\rho }_{ij}=\mathrm{Cov}(X_i,X_j)/\sqrt{\mathrm{Var}(X_i)\mathrm{Var}(X_j)}={\sigma }_{ij}/{\sigma }_i{\sigma }_j}$ derKorrelationskoeffizient zwischen${\displaystyle X_i}$ und${\displaystyle X_j}$ ist.

Beispielsweise beinhaltet die zweite Zeile von${\displaystyle \mathbf{P}}$ dieKorrelation von${\displaystyle X_2}$ mit jeder anderen${\displaystyle X}$-Variablen.Die Korrelationsmatrix in derGrundgesamtheit wird als${\displaystyle {\mathbf{P}}_{\rho }}$ bzw.${\displaystyle \mathbf{P}}$ und dieStichproben-Korrelationsmatrix als${\displaystyle \mathbf{R}}$ bezeichnet. Wenn man dieDiagonalmatrix${\displaystyle \mathbf{D}={\left(\mathrm{diag}(\mathbf{\Sigma })\right)}^{1/2}=\mathrm{diag}({\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_n)}$ definiert, dann erhält man${\displaystyle \mathbf{P}}$ durch${\displaystyle \mathbf{\Sigma }}$ und umgekehrt:

${\displaystyle \mathbf{P}={\mathbf{D}}^{-1}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{D}}^{-1}}$

oder äquivalent

${\displaystyle \mathbf{\Sigma }=\mathbf{D}\mathbf{P}\mathbf{D}}$.

• Sind alle Komponenten des Zufallsvektors${\displaystyle \mathbf{X}}$linear unabhängig, so ist${\displaystyle \mathbf{R}}$positiv definit.
• Auf derHauptdiagonalen wird die Korrelation der Größen mit sich selbst berechnet. Da der Zusammenhang der Größen strikt linear ist, ist die Korrelation auf der Hauptdiagonalen immer eins.
• Bei Stichprobenziehung aus einermehrdimensionalen Normalverteilung ist die Stichproben-Korrelationsmatrix${\displaystyle \mathbf{R}}$Maximum-Likelihood-Schätzer der Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit${\displaystyle \mathbf{P}}$.^[3]

EineSchätzung der Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit${\displaystyle \hat{\mathbf{P}}}$ erhält man, indem man die Korrelationskoeffizienten in der Grundgesamtheit${\displaystyle {\rho }_{ij}}$ durch dieempirischen Korrelationskoeffizienten (ihre empirischen Gegenstücke)${\displaystyle r_{ij}}$ ersetzt. Dies führt zurStichproben-Korrelationsmatrix${\displaystyle \mathbf{R}}$

.

• Kovarianzmatrix

1. ↑Ludwig Fahrmeir,Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx:Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013,ISBN 978-3-642-34332-2, S. 646 ff.
2. ↑Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje:Linear models in statistics. John Wiley & Sons, 2008, S. 77.
3. ↑Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje:Linear models in statistics. John Wiley & Sons, 2008, S. 247.

• Matrix
• Deskriptive Statistik