DieKettenregel ist eine der Grundregeln derDifferentialrechnung. Mit ihr wird dieAbleitung einerVerkettung zweier differenzierbarerFunktionen berechnet. InLagrange-Notation lautet die Kettenregel:

${\displaystyle [f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)}$

Die Kettenregel lässt sich verallgemeinern auf Funktionen, die sich als Verkettung mindestens zweier differenzierbarer Funktionen darstellen lassen. Auch eine solche Funktion ist wiederum differenzierbar, ihre Ableitung erhält man durch Multiplikation der Ableitungen aller ineinander verschachtelten Funktionen.

Die Kettenregel bildet einen Spezialfall dermehrdimensionalen Kettenregel für den eindimensionalen Fall.

Ihr Gegenstück in derIntegralrechnung ist dieIntegration durch Substitution.

Die Kettenregel scheint erstmals vonGottfried Wilhelm Leibniz verwendet worden zu sein. Er benutzte sie zur Berechnung der Ableitung von${\displaystyle \sqrt{a+bz+c{z}^2}}$ als Kompositum der Quadratwurzelfunktion und der Funktion${\displaystyle a+bz+c{z}^2}$. Er erwähnte sie erstmals in einer Denkschrift von 1676 (mit einem Vorzeichenfehler in der Berechnung). Die gängige Schreibweise der Kettenregel geht auf Leibniz zurück.^[1]Guillaume de l’Hôpital verwendete die Kettenregel implizit in seinerAnalyse des infiniment petits. Die Kettenregel taucht in keinem der Analysis-Bücher vonLeonhard Euler auf, obwohl sie über hundert Jahre nach Leibniz' Entdeckung geschrieben wurden.

Es wird angenommen, dass die erste „moderne“ Version der Kettenregel inLagranges „Théorie des fonctions analytiques“ von 1797 auftaucht; sie erscheint auch inCauchys „Résumé des Leçons données a L'École Royale Polytechnique sur Le Calcul Infinitesimal“ von 1823.^[1]

Seien${\displaystyle U,V}$offene Intervalle,${\displaystyle v:V\to \mathbb{R}}$ und${\displaystyle u:U\to \mathbb{R}}$ Funktionen mit${\displaystyle v(V)\subset U}$.

Die Funktion${\displaystyle v}$ sei im Punkt${\displaystyle x_0\in V}$ differenzierbar und${\displaystyle u}$ sei im Punkt${\displaystyle z_0:=v(x_0)\in U}$ differenzierbar.

Dann ist die „zusammengesetzte“ Funktion (Komposition)

${\displaystyle f=u\circ v:V\to \mathbb{R}}$

im Punkt${\displaystyle x_0}$ differenzierbar und es gilt:

${\displaystyle (u\circ v{)}^{\prime }(x_0)=u^{\prime }(v(x_0))\cdot v^{\prime }(x_0).}$

Im Zusammenhang mit der Kettenregel nennt man${\displaystyle u}$ auch dieäußere,${\displaystyle v}$ dieinnere Funktion von${\displaystyle f}$.

Praktische Merkregel: Die Ableitung einer durch Verkettung gebildeten Funktion im Punkt${\displaystyle x_0}$ ist die „äußere Ableitung“${\displaystyle u^{\prime }}$, ausgewertet an der Stelle${\displaystyle v(x_0)}$, mal der Ableitung der inneren Funktion${\displaystyle v^{\prime }}$, ausgewertet an der Stelle${\displaystyle x_0}$. Oder kurz: „Äußere Ableitung mal innere Ableitung“.

Es wird die durch${\displaystyle f(x)={\left(x^3+1\right)}^2}$ definierte Funktion${\displaystyle f}$ betrachtet.

Diese lässt sich darstellen als Verkettung der Funktion

${\displaystyle u(v)=v^2}$

mit der Funktion

${\displaystyle v(x)=x^3+1,}$

denn es gilt${\displaystyle f(x)=u(v(x))}$.Hierbei nennt man${\displaystyle u}$äußere und${\displaystyle v}$innere Funktion.

Für die Anwendung der Kettenregel benötigen wir die Ableitungen${\displaystyle u^{\prime }}$(äußere Ableitung) und${\displaystyle v^{\prime }}$(innere Ableitung):

${\displaystyle u^{\prime }(v)=2v}$

und

${\displaystyle v^{\prime }(x)=3x^2.}$

Da sowohl${\displaystyle u}$ als auch${\displaystyle v}$ differenzierbar sind, ist nach der Kettenregel auch${\displaystyle f=u\circ v}$ differenzierbar, und es gilt für ihre Ableitung:

${\displaystyle f{}^{\prime }(x)=u^{\prime }(v(x))v^{\prime }(x).}$

Nun ist${\displaystyle u^{\prime }(v(x))=2(x^3+1)}$, so dass wir insgesamt erhalten:

${\displaystyle f{}^{\prime }(x)=2(x^3+1)3x^2}$

Unter Zuhilfenahme von Farbe lässt sich die eingangs formulierte Merkregel auch im Formelbild wiedererkennen.

Man beachte, dass die Darstellung einer Funktion als Verkettung einer äußeren mit einer inneren Funktion keineswegs eindeutig sein muss. So lässt sich die Beispielfunktion auch als Verkettung der Funktionen${\displaystyle u(v)=(v+1{)}^2}$ und${\displaystyle v(x)=x^3}$ auffassen, denn auch für diese beiden Funktionen gilt:

${\displaystyle u(v(x))=(x^3+1{)}^2=f(x).}$

Die Anwendung der Kettenregel ist in diesem Fall rechnerisch aufwendiger, da zumindest der Term${\displaystyle (v+1{)}^2}$ ausmultipliziert werden muss.

Insgesamt lässt sich an diesem Beispiel die Kettenregel im Sinne derkonstruktivistischen Didaktik selbst entdecken. Ausmultiplizieren ergibt:

${\displaystyle f(x)=x^6+2x^3+1}$.

Nach Ableiten wird durch Ausklammern die innere Funktion${\displaystyle v(x)=x^3+1}$ herauspräpariert:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=6x^5+6x^2=6x^2(x^3+1)=2(x^3+1)\cdot 3x^2}$.

Hieraus lässt sich dann die Kettenregel vermuten, die dann noch in ihrer Allgemeingültigkeit bewiesen werden muss.

Für die Berechnung der Ableitung von${\displaystyle u\circ v}$ ist der Differenzenquotient${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}}$ zu berechnen. Erweitert man diesen Bruch mit${\displaystyle \mathrm{\Delta }v}$, so erhält man:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }v}\cdot \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x}}$.

Durch den Grenzübergang${\displaystyle \mathrm{\Delta }x\to 0}$ gehen die Differenzenquotienten in Differentialquotienten über. Geht${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$ gegen Null, dann auch${\displaystyle \mathrm{\Delta }v}$.Man erhält dann insgesamt für die Ableitung der verketteten Funktion:

Man definiert

Weil${\displaystyle u}$ in${\displaystyle z_0}$ differenzierbar ist, gilt

${\displaystyle \underset{z\to z_0}{lim}D(z,z_0)=u^{\prime }(z_0),}$

das heißt, die Funktion${\displaystyle z\mapsto D(z,z_0)}$ ist an der Stelle${\displaystyle z_0}$ stetig. Außerdem gilt für alle${\displaystyle z\in U}$:

${\displaystyle u(z)-u(z_0)=D(z,z_0)\cdot (z-z_0).}$

Wegen${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}v(x)=v(x_0)}$ folgt daraus:

Seien${\displaystyle U,V\subset \mathbb{C}}$offene Teilmengen, z. B.Gebiete,${\displaystyle v:V\to \mathbb{C}}$ und${\displaystyle u:U\to \mathbb{C}}$ Funktionen mit${\displaystyle v(V)\subseteq U}$.

Die Funktion${\displaystyle v}$ sei im Punkt${\displaystyle x_0\in V}$differenzierbar und${\displaystyle u}$ sei im Punkt${\displaystyle v(x_0)\in U}$ differenzierbar.

Dann ist die zusammengesetzte Funktion

${\displaystyle f:=u\circ v:V\to \mathbb{C},x\mapsto u(v(x))}$

im Punkt${\displaystyle x_0}$ differenzierbar und es gilt:

${\displaystyle (u\circ v{)}^{\prime }(x_0)=u^{\prime }(v(x_0))\cdot v^{\prime }(x_0).}$

Fazit: Die komplexe Kettenregel ist (einschließlich ihres Beweises) völlig analog zum Reellen.

Etwas komplizierter wird das Differenzieren, wenn mehr als zwei Funktionen verkettet sind. In diesem Fall wird die Kettenregelrekursiv angewendet. Beispielsweise ergibt sich bei Verkettung von drei Funktionen${\displaystyle u,v}$ und${\displaystyle w}$

${\displaystyle f(x)=u(v(w(x)))}$

die Ableitung

${\displaystyle f^{\prime }(x)=u^{\prime }(v(w(x)))\cdot (v(w(x)){)}^{\prime }=u^{\prime }(v(w(x)))\cdot v^{\prime }(w(x))\cdot w^{\prime }(x).}$

Im Allgemeinen hat die Funktion

${\displaystyle f=u_1\circ \cdots \circ u_n}$

die Ableitung

${\displaystyle f^{\prime }(x)=u_1^{\prime }(u_2(\cdots (u_n(x))))\cdot u_2^{\prime }(u_3(\cdots (u_n(x))))\cdots u_n^{\prime }(x),}$

wie sich durchvollständige Induktion beweisen lässt. Beim praktischen Berechnen der Ableitung multipliziert man also Faktoren, die sich folgendermaßen ergeben:

Den ersten Faktor erhält man dadurch, dass man die äußerste Funktion durch eine unabhängige Variable ausdrückt und ableitet. Anstelle dieser unabhängigen Variablen ist der Rechenausdruck für die restlichen (inneren) Funktionen einzusetzen.Der zweite Faktor wird entsprechend berechnet als Ableitung der zweitäußersten Funktion, wobei auch hier der Rechenausdruck für die zugehörigen inneren Funktionen einzusetzen ist. Dieses Verfahren setzt man fort bis zum letzten Faktor, der innersten Ableitung.

Als Beispiel kann wiederum die Funktion${\displaystyle f(x)=(x^3+1{)}^2}$ dienen. Diese lässt sich darstellen als Verkettung der drei Funktionen:

denn es gilt:

${\displaystyle u(v(w(x)))=u(w(x)+1)=u(x^3+1)=(x^3+1{)}^2=f(x).}$

Damit liefert die auf mehrfache Verkettungen verallgemeinerte Kettenregel mit

die Ableitung

${\displaystyle f{}^{\prime }(x)=u^{\prime }(v(w(x)))\cdot v^{\prime }(w(x))\cdot w^{\prime }(x)=2v(w(x))\cdot 1\cdot w^{\prime }(x)=2(x^3+1)\cdot 1\cdot 3x^2.}$

Eine Verallgemeinerung der Kettenregel fürhöhere Ableitungen ist dieFormel von Faà di Bruno. Sie ist wesentlich komplizierter und schwieriger zu beweisen.

Sind${\displaystyle u}$ und${\displaystyle v}$ zwei${\displaystyle n}$-mal differenzierbare Funktionen, deren Verkettung${\displaystyle f(x)=u(v(x))}$ definiert ist, so gilt

${\displaystyle f^{(n)}(x)=\sum _{(k_1,\dots ,k_n)\in T_n}\frac{n!}{k_1!\cdot \cdots \cdot k_n!}{u}^{(k_1+\cdots +k_n)}(v(x))\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{m=1}{k_m\ge 1}}^n{\left(\frac{1}{m!}{v}^{(m)}(x)\right)}^{k_m}.}$

Hierbei bezeichnet${\displaystyle f^{(n)}(x)}$ die${\displaystyle n}$-te Ableitung von${\displaystyle f}$ an der Stelle${\displaystyle x}$.Die Menge${\displaystyle T_n}$, über die summiert wird, enthält alle${\displaystyle n}$-Tupel${\displaystyle (k_1,\dots ,k_n)}$ ausnichtnegativen,ganzen Zahlen mit${\displaystyle 1k_1+2k_2+\cdots +n{k}_n=n}$.

Hier betrachtet man differenzierbare Funktionen (Abbildungen)${\displaystyle f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m}$. Die Ableitung einer solchen Abbildung im Punkt${\displaystyle x_0\in {\mathbb{R}}^n}$ ist dann eine lineare Abbildung${\displaystyle D{f}_{x_0}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m}$, die durch eine${\displaystyle (m\times n)}$-Matrix, dieJacobi-Matrix${\displaystyle J_f(x_0)}$ dargestellt werden kann.

Die Kettenregel besagt, dass die Verkettung von zwei differenzierbaren Abbildungen wieder differenzierbar ist. Ihre Ableitung erhält man, indem man die einzelnen Ableitungen verkettet. Die zugehörige Jacobi-Matrix ist dasMatrizenprodukt der einzelnen Jacobi-Matrizen.

Im Detail: Sind die Abbildungen${\displaystyle v:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^l}$ im Punkt${\displaystyle x_0\in {\mathbb{R}}^n}$ und${\displaystyle u:{\mathbb{R}}^l\to {\mathbb{R}}^m}$ im Punkt${\displaystyle v(x_0)\in {\mathbb{R}}^l}$ differenzierbar, so ist auch die Verkettung${\displaystyle u\circ v:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m}$ im Punkt${\displaystyle x_0}$ differenzierbar, und es gilt

${\displaystyle D(u\circ v{)}_{x_0}=D{u}_{v(x_0)}\circ D{v}_{x_0}}$

und

${\displaystyle J_{u\circ v}(x_0)=J_u(v(x_0))\cdot J_v(x_0).}$

In ähnlicher Form lässt sich eine Kettenregel fürFréchet-Ableitungen von Abbildungen zwischenBanachräumen und für dieAbleitungen (Differentiale, Tangentialabbildungen) von Abbildungen zwischendifferenzierbaren Mannigfaltigkeiten formulieren.

In vielenNaturwissenschaften wie derPhysik sowie in derIngenieurwissenschaft findet die Kettenregel breite Anwendung. Allerdings hat sich hier eine besondere Notation entwickelt, die von der mathematischen Notation der Kettenregel deutlich abweicht.

In physikalischer Literatur wird für die Ableitung einer Funktion${\displaystyle h}$ nach der Variable${\displaystyle x}$ in der Regel die Schreibweise

${\displaystyle h^{\prime }(x)=:\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}(x)}$

bevorzugt. Ist${\displaystyle h}$ eine Verkettung zweier Funktionen:${\displaystyle h=f\circ g}$ mit${\displaystyle y\mapsto f(y),x\mapsto g(x)}$, so präsentiert sich die Kettenregel in dieser Notation:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}y}(g(x))\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}(x)}$

Es ist zusätzlich gängige Konvention, die unabhängige Variable der Funktion${\displaystyle f}$ mit dem Funktionssymbol der inneren Funktion${\displaystyle g}$ zu identifizieren, dafür aber sämtliche Argumentklammern auszulassen:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}}$

Letztlich wird für die Verkettung${\displaystyle f\circ g}$ kein neues Symbol eingeführt, sondern die gesamte Verkettung mit der äußeren Funktion${\displaystyle f}$ identifiziert:${\displaystyle f=f\circ g}$.

Die Kettenregel nimmt dann das folgende Aussehen an:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}}$

Formal stellt sich die Kettenregel hier als eineErweiterung des „Bruches“${\displaystyle \mathrm{d}f/\mathrm{d}x}$ mit${\displaystyle \mathrm{d}g}$ dar, so dass es in physikalischer Fachliteratur (und auch in anderen Natur- und Ingenieurwissenschaften) gängig ist, die Kettenregel bei Anwendung nicht namentlich zu erwähnen. Stattdessen findet man oft Ersatzformulierungen, so ist etwa von der „Erweiterung von${\displaystyle \mathrm{d}f/\mathrm{d}x}$ mit${\displaystyle \mathrm{d}g}$“ die Rede, teilweise fehlt eine Begründung vollständig. Auch wenn dies für das ungeübte Auge nicht immer auf den ersten Blick erkennbar ist, steckt hinter all diesen Formulierungen ausnahmslos die Kettenregel der Differentialrechnung.

Obwohl die vorgestellte Notation mit einigen mathematischen Konventionen bricht, erfreut sie sich großer Beliebtheit und weiter Verbreitung, da sie es ermöglicht, mit Ableitungen (zumindest salopp) wie mit „normalen Brüchen“ zu rechnen. Viele Rechnungen gestaltet sie außerdem übersichtlicher, da Klammern entfallen und nur sehr wenige Symbole verwendet werden müssen. Vielfach stellt auch die durch eine Verkettung beschriebene Größe eine bestimmte physikalische Variable dar (z. B. eineEnergie oder eineelektrische Spannung), für die ein bestimmter Buchstabe „reserviert“ ist (etwa${\displaystyle E}$ für Energie und${\displaystyle U}$ für Spannung). Die obige Notation ermöglicht es, diesen Buchstaben in der gesamten Rechnung durchgängig zu verwenden.

Diekinetische Energie eines Körpers hängt von seinerGeschwindigkeit${\displaystyle v}$ ab:${\displaystyle E=f(v)}$. Hängt die Geschwindigkeit wiederum von derZeit ab,${\displaystyle v=g(t)}$, so ist auch die kinetische Energie des Körpers eine Funktion der Zeit, die durch die Verkettung

${\displaystyle E(t)=f(g(t))}$

beschrieben wird. Möchten wir die Änderung der kinetischen Energie nach der Zeit berechnen, so gilt nach der Kettenregel

${\displaystyle E^{\prime }(t)=f^{\prime }(g(t))g^{\prime }(t).}$

In physikalischer Literatur würde man die letzte Gleichung in folgender (oder ähnlicher) Gestalt vorfinden:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}.}$

Klarer Vorteil ist die durchgängige Verwendung von Funktionssymbolen, deren Buchstaben mit denen der zugrunde liegenden physikalisch relevanten Größe (${\displaystyle E}$ für Energie,${\displaystyle v}$ für Geschwindigkeit) übereinstimmen.

• Konrad Königsberger:Analysis 1. 6. Auflage. Springer, Berlin 2004,ISBN 3-540-40371-X.

• Video:Kettenregel.Jörn Loviscach 2010, zur Verfügung gestellt von derTechnischen Informationsbibliothek (TIB),doi:10.5446/9897.
• Video:Kettenregel.Jörn Loviscach 2011, zur Verfügung gestellt von derTechnischen Informationsbibliothek (TIB),doi:10.5446/9934.
• Video:Quotientenregel, Kettenregel angewendet.Jörn Loviscach 2012, zur Verfügung gestellt von derTechnischen Informationsbibliothek (TIB),doi:10.5446/10025.
• Video:Ableitung, Kettenregel.Jörn Loviscach 2012, zur Verfügung gestellt von derTechnischen Informationsbibliothek (TIB),doi:10.5446/10014.

1. ↑^abOmar Hernández Rodríguez, Jorge M. López Fernández:A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule. In:The Mathematics Enthusiast. 7. Jahrgang,Nr. 2, 2010,S. 321–332,doi:10.54870/1551-3440.1191 (englisch,umt.edu [abgerufen am 4. August 2019]). 

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