DasIsing-Modell ist ein vonErnst Ising auf Anregung seines DoktorvatersWilhelm Lenz 1924^[1] erstmals genauer untersuchtesGittermodell in dertheoretischen Physik. Es beschreibt insbesondere denFerromagnetismus inFestkörpern (Kristallen). Das Ising-Modell zählt zu den meistuntersuchten Modellen derstatistischen Physik. Ising-Modelle können mitMonte-Carlo-Simulationen untersucht werden oder durch die Beschreibung alszellulärer Automat.

In dem Modell wird angenommen, dass dieSpins, welche dasmagnetische Moment der Atome oder Ionen bestimmen, nur zwei diskrete Zustände annehmen können (Spinwert${\displaystyle \pm 1}$). Die Richtung im Raum bleibt aber offen; es handelt sich also umVektoren (um imklassischen Bild zu bleiben, bzw.quantenmechanisch umVektoroperatoren).

Der allgemeine Energieausdruck (oderHamiltonoperator) für eine solche Situation ist durch dasHeisenberg-Modell gegeben:

${\displaystyle \hat{\mathcal{H}}=-\frac{1}{2}\sum _{i,j}{J}_{ij}{\overrightarrow{s}}_i\cdot {\overrightarrow{s}}_j-\overrightarrow{H}\cdot \sum _{i=1}^N{\overrightarrow{s}}_i\text{(Heisenberg-Modell)}}$ . ^[2]

Hierbei bezeichnet

• ${\displaystyle {\overrightarrow{s}}_i}$ einen (mehrkomponentigen) Spin des Atoms am Platz${\displaystyle i}$ desKristallgitters,
• ${\displaystyle J_{ij}}$ dieKopplungskonstante (Stärke der Austauschkopplungs-Wechselwirkung) zwischen den Spins an den Plätzen${\displaystyle i}$ und${\displaystyle j}$,
• der Punkt${\displaystyle \cdot }$ dasSkalarprodukt
• ${\displaystyle \overrightarrow{H}}$ dieStärke des Magnetfeldes.

Beim Ising-Modell dagegen wird die Zahl der Spinkomponenten auf Eins reduziert (d. h. parallel oder antiparallel zu einer ausgezeichneten Achse – hier${\displaystyle z}$-Achse):${\displaystyle s_i^z=\pm 1}$:

${\displaystyle \hat{\mathcal{H}}=-\frac{1}{2}\sum _{i,j}{J}_{ij}{s}_i^z{s}_j^z-H_z\sum _{i=1}^N{s}_i^z\text{(Ising-Modell)}}$ .

Oft wird zusätzlich angenommen, dass${\displaystyle J_{ij}}$ nur für benachbarte Spins ungleich Null ist. Ist die Austauschkopplung positiv, so spricht man von einerferromagnetischen Kopplung; ist sie negativ, so wird sieantiferromagnetisch genannt. Bei Ferromagneten bzw. Antiferromagneten dominiert das jeweiligeVorzeichen; bei denSpingläsern kommen beide Vorzeichen gleich häufig vor.

Durch geeignete Wahl der Wechselwirkungen können u. a. Spingläser (hierbei ist${\displaystyle J_{ij}}$ eine Zufallsgröße), verdünnte Magnete mit interessantenkritischen Eigenschaften oder auch räumlich modulierte magnetische Strukturen (hierbei liegen konkurrierende Kopplungen${\displaystyle J_{ij}}$ vor, sieheANNNI-Modell^[3]) modelliert werden. Im Allgemeinen beschreibt das Ising-Modell diemagnetischen Ordnungen bei tiefenTemperaturen, die bei höheren Temperaturen jedoch durchthermische Fluktuationen aufgebrochen werden, wobei einPhasenübergang stattfindet. Eine umfassende theoretische Analyse von Phasenübergängen liefert die Theorie derRenormierungsgruppen, für dieKenneth G. Wilson 1982 den Nobelpreis für Physik erhielt.

Bei der eindimensionalen Ising-Kette mit hinreichend kurzreichweitigen Wechselwirkungen beobachtet man jedochkeinen Phasenübergang. Dies hatte schon Ernst Ising in seiner Doktorarbeit mit Bedauern feststellen müssen. Fälschlicherweise vermutete er, dass dies auch für zwei und mehr Dimensionen zutrifft, was zunächst allgemein akzeptiert wurde. Die Argumentation hierfür ist, dass die Energie einerInsel aus Spins mit antiparalleler Ausrichtung zum Rest der Kette nur von der Kopplungskonstante abhängt, jedoch nicht von der Größe der Insel. Die Entropie eines Systems hängt jedoch vomBinomialkoeffizient zwischen Zahl der Inseln und Systemgröße ab. Im thermodynamischen Gleichgewicht ist diefreie Energie immer minimal. Es folgt dann direkt, dass ein ungeordnetes (paramagnetisches) System eine niedrigere freie Energie hat und eine ferromagnetische Phase deshalb nicht existieren kann.

Rudolf Peierls zeigte jedoch 1936,^[4] dass in zwei Dimensionen sehr wohl ein Phasenübergang vorlag. 1941 bestimmtenHendrik Anthony Kramers undGregory Wannier^[5] durch einDualitätsargument diekritische Temperatur. Die exakte Lösung des zweidimensionalen Ising-Modells mit Wechselwirkungen zwischen nächsten Nachbarn und bei verschwindendem Magnetfeld wurde erstmals 1944 vonLars Onsager berechnet.^[6] Weitere Verbesserungen stammten vonBruria Kaufman (teilweise mit Onsager zusammen) undChen Ning Yang, der 1952 die spontane Magnetisierung exakt berechnete.^[7] Einekombinatorische Behandlung stammt vonMark Kac undJohn Clive Ward (1952),^[8] und der Beweis der Äquivalenz zu einemFermionenmodell vonElliott Lieb, Theodore David Schultz undDaniel Charles Mattis (1964).^[9]

Für das dreidimensionale Ising-Modell mit Wechselwirkungen zwischen benachbarten Spins gibt es keineanalytisch-exakte Lösung. Seine Eigenschaften kann man jedoch mit Hilfe derMolekularfeldnäherung (oderLandau-Theorie),Monte-Carlo-Simulationen,Reihenentwicklungen oder anderennumerischen Lösungsverfahren berechnen.

Das Ising-Modell gilt wegen seiner konzeptionellen Einfachheit und seiner vielfältigen Eigenschaften als „Drosophila“ der statistischen Physik. Es hat darüber hinaus Anwendungen in vielen Bereichen der Naturwissenschaften gefunden, bis hin zur Biologie und Hirnforschung. Die nahezu programmatische Aussage vonMichael E. Fisher ‚Ising models still thrive‘ (etwa: ‚Ising-Modelle sind noch im Wachsen‘) wird wohl noch für viele Jahre gültig bleiben. Auch dient es für viele Konzepte der statistischen Physik als simples Beispiel.

Verallgemeinerungen des Ising-Modells liefern dasBlume-Capel-Modell, dasPotts-Modell und dasMarkow-Netzwerk.

Die wesentlichen Eigenschaften des Ising-Modells lassen sich erläutern anhand des zweidimensionalen Ising-Modells mit Wechselwirkung nur zwischen direkten Nachbarn (links, rechts, oben, unten) in Abwesenheit eines externen Magnetfelds (${\displaystyle H_z=0}$).

In diesem speziellen Fall kann die Energie eines Zustands beschrieben werden durch:

mit

• der konstanten Anzahl${\displaystyle N_{\mathrm{N}}}$ der möglichen Nachbarpaare
• der Anzahl${\displaystyle N_{\mathrm{A}}}$ Nachbarpaare mitunterschiedlicher Ausrichtung, die von der Ausrichtung der einzelnen Spins abhängt (${\displaystyle N_{\mathrm{A}}\le N_{\mathrm{N}}}$).

Die konstante Energie${\displaystyle -J{N}_{\mathrm{N}}}$ desGrundzustands trägt nicht zumthermodynamischen Verhalten des Systems bei. Entgegengesetzte Nachbarspins liefern einen Energiebeitrag${\displaystyle 2J}$, parallele Spins liefern keinen Beitrag.

Das Bild zeigt symbolisch einen winzigen „Magneten“ aus 25 „Eisen-Atomen“. Eisenatome verhalten sich wie kleine Magnete. Das Magnetfeld des Gesamtmagneten ist die Summe der Magnetfelder, die von den einzelnen Atomen ausgehen, wobei die Felder entgegengesetzt ausgerichteter Atome einander aufheben.

Fünf der Atome (schwarz) sind hier in eine Richtung ausgerichtet, die restlichen 20 (weiß) in die andere Richtung. Die Nettomagnetisierung ist somit${\displaystyle 5-20=-15}$ Einheiten. Ein bestimmtes Schwarz-Weiß-Muster bezeichnet man als denZustand des Magneten.

Die${\displaystyle N_{\mathrm{A}}=14}$ roten Kanten zeigen entgegengesetzt ausgerichtete Nachbarn. Jede rote Kante entspricht einer im Magneten gespeichertenEnergiemenge, die${\displaystyle 2J}$ genannt wird (dies steht hiernicht für die EnergieeinheitJoule, sondern für eine Kenngröße des jeweiligen Materials).

Jede rote Kante vermindert dieWahrscheinlichkeit, den Zustand in der Natur anzutreffen, und zwar umso mehr, je kälter es ist. Man berechnet dies, indem man die Wahrscheinlichkeit für den Zustand „alle Atome gleichgerichtet“ für jede rote Kante einmal mit${\displaystyle \exp \left(-\frac{2J}{T{k}_{\mathrm{B}}}\right)}$ multipliziert. Dabei ist der Nenner das Produkt aus der Temperatur inKelvin und derBoltzmann-Konstanten.

Beispiel: An einem warmen Sommertag (27 Grad Celsius, d. h. ca. 300 K) bewirkt in einem Material, dessen${\displaystyle 2J}$-Wert 0,0595 Elektronenvolt beträgt, jede rote Kante eine Wahrscheinlichkeitsminderung um den Faktor 10. Bei Abkühlung auf minus 123 Grad Celsius, d. h. ca. 150 K, ist der Faktor schon 100 und bei minus 173 Grad, d. h. ca. 100 K, sogar 1000.

Das Gesagte betrifft die Wahrscheinlichkeit eines individuellen Zustandes, die meist sehr klein ist. Meist gibt es aber auch eine sehr große Zahl von Zuständen, die eine bestimmte Magnetisierungsstärke des Magneten (Anzahl schwarzer Quadrate minus Anzahl weißer Quadrate) herstellen (man denke an die zahlreichen Möglichkeiten, einen Lottoschein auszufüllen).

Die große Zahl von Zuständen kann die kleine Wahrscheinlichkeit des einzelnen Zustandes ausgleichen. Tatsächlich gibt es in der Regel bei gegebener Temperatur eine bestimmte Magnetisierungsstärke, die alle anderen an Wahrscheinlichkeit deutlich übertrifft. Diese Magnetisierung wird fast ausschließlich angetroffen. Mit zunehmender Temperatur verschiebt sie sich von „voll magnetisiert“ zu „entmagnetisiert“.

Um ein Gefühl für die Bedeutung des oben gesagten zu finden, betrachte man zuerst die Grenzfälle sehr geringer und sehr hoher Temperatur. Entgegen der Intuition werden die Berechnungen dabei nicht etwa durch große Zahlen erschwert, sondern so einfach, dass man schon durch „Kopfrechnung“ zu Ergebnissen kommt.

Bei extrem tiefen Temperaturen (Temperatur nähert sich demabsoluten Nullpunkt) wird der Wahrscheinlichkeitsfaktor${\displaystyle \exp \left(-\frac{2J}{T{k}_{\mathrm{B}}}\right)}$ so klein, dass kein Zustand außer „alle schwarz“ oder „alle weiß“ jemals angetroffen werden kann. Der Magnet nimmt somit seine volle Magnetisierung an.

Bei extrem hohen Temperaturen hingegen wird der Wahrscheinlichkeitsfaktor der Zahl 1 immer ähnlicher, so dass er zu keinerWahrscheinlichkeitsminderung führt und alle Zustände gleich wahrscheinlich werden. Dann gilt für jede Magnetisierung die reine Anzahl der sie realisierenden Zustände, und die ist für „50 % weiß – 50 % schwarz“ am höchsten. Der Magnet ist effektiv entmagnetisiert.

Der abgebildete Zustand mit einem abweichenden Atom weist vier rote Kanten auf. Bei einem${\displaystyle 2J}$-Wert von 0,0017 eV ist dieser eine Zustand zehnmal weniger wahrscheinlich als die Vollmagnetisierung (bei 27 Grad Celsius). Allerdings gibt es 25 Möglichkeiten, genau ein Atom abweichen zu lassen, und so ist eine Magnetisierung von 24 Einheiten (25 – 1 entgegengesetzt) 2,5-mal so wahrscheinlich wie die Vollmagnetisierung.

Der Zusammenbruch des Magnetismus tritt schon bei einer endlichen Temperatur auf, der kritischen Temperatur${\displaystyle T_C}$. Dies zu begründen erfordert umfangreiche mathematische Analysen, die hier nicht ausgeführt werden können.

Nahe der kritischen Temperatur treten „interessante“ Muster (bezüglich der Schwarz-Weiß-Verteilung) auf.

Auf dem Weg vom absoluten Nullpunkt zu unendlicher Temperatur gelangt man von perfekter Ordnung zu perfektemRauschen.

Dazwischen findet man „interessante“Muster. Bezüglich des Magnetisierungswertes bildet sich ein Kompromiss zwischen geringer Wahrscheinlichkeit und großer Anzahl eines Zustands: Eine beliebig herausgegriffene kompakte Struktur weist zwar weniger rote Kanten auf (und ist daher wahrscheinlicher) als eine beliebig herausgegriffene aufgelockerte Struktur; weil es aber mehr aufgelockerte Strukturen gibt, kann die Eigenschaft „aufgelockert“ insgesamt wahrscheinlicher sein. Man wird also einen Kompromiss vorfinden, der weder ganz kompakt noch ganz zerrissen ist, eben eine „interessante“ Struktur.

Analog kann man argumentieren bezüglich derStreuung schwarzer und weißer Quadrate, wenn Temperaturund Magnetisierung gegeben sind.

Die ursprüngliche Interpretation des Isingmodells ist die „magnetische“: Die Spinwerte zeigen nach „oben“ bzw. nach „unten“. Aber auch für anderebinäre Probleme bietet sich das Isingmodell an.

Ein prominentes Beispiel ist das „Ising-Gittergas“, das zur Modellierung vonFlüssigkeiten benutzt werden kann: Man betrachtet hierbei ein Gitter, dessen Plätze entweder „besetzt“ oder „unbesetzt“ sein können, je nachdem, ob der dem Gitterplatz zugeordnete Isingspin den Wert +1 oder −1 hat.

Mit dem Isingmodell können auchSpingläser beschrieben werden, nämlich mit der Energie${\displaystyle \hat{H}=-\frac{1}{2}\sum s_i{J}_{ik}{s}_k}$, wobei die${\displaystyle s}$-Variablen die Ising-Spins bedeuten und die${\displaystyle J_{ik}}$ feste, aber zufällige Werte annehmen.

Darüber hinaus existiert eine Interpretation dieses Hamiltonoperators als ein stark vereinfachtes Modell derQuantenchromodynamik in derElementarteilchenphysik: Man kann die${\displaystyle s}$-Variablen alsQuarks und die${\displaystyle J_{ik}}$ alsGluonen interpretieren, wenn man beide Größen fluktuieren lässt. Allerdings muss man in diesem Fall zum Hamiltonoperator noch die alsWilson-Loop-Variablen bezeichneten Gluon-Gluon-Kopplungen der Form${\displaystyle J_{ik}{J}_{kl}{J}_{lm}{J}_{mi}}$ hinzufügen.

Man erhält danneichinvariante Modelle, welche mit unkorrelierten binären Größen${\displaystyle {ϵ}_i=\pm 1}$ und${\displaystyle {ϵ}_k=\pm 1}$ den gekoppeltenEichtransformationen${\displaystyle s_i\to s_i{ϵ}_i}$ ,${\displaystyle s_k\to s_k{ϵ}_k}$ ,${\displaystyle J_{ik}\to {ϵ}_i{J}_{ik}{ϵ}_k}$ genügen; d. h. der Hamiltonoperator bleibt bei diesen Transformationen invariant, so wie dieLagrangefunktion der Quantenchromodynamik gegenüber Transformationen mit den Elementen der Gruppe SU(3) invariant bleibt, die hier durch die${\displaystyle ϵ}$-Variablen ersetzt sind.

Mit diesem Modell – einer ArtIsing Lattice QCD – wurde dieGittereichtheorie eingeführt. Die relevante Veröffentlichung dazu stammt vonFranz Wegner. ^[10]

Eine weitere Anwendungsmöglichkeit ist die Simulation von Phasenübergängen durchNukleation. Homogene Nukleation entspricht bei der Modellierung ziemlich exakt dem Ferromagnetismus, für heterogene Nukleation müssen einige kleine Änderungen vorgenommen werden.

${\displaystyle \hat{\mathcal{H}}=-J\frac{1}{2}\sum _{i,j}{\overrightarrow{s}}_i\cdot {\overrightarrow{s}}_j-\overrightarrow{H}\cdot \sum _{i=1}^N{\overrightarrow{s}}_i-J_s\frac{1}{2}\sum _{i,j}^{\text{Wand}}{\overrightarrow{s}}_i\cdot {\overrightarrow{s}}_j}$^[11]

Die erste Summe ist in diesem Fall wieder die Interaktion zwischen Nachbarn, die neu hinzugekommene zweite Summation über${\displaystyle i,j}$ steht jedoch für die Interaktion mit einer Begrenzungsfläche.^[13]Es zeigt sich, dass im Bereich derartiger Begrenzungsflächen ein Kern kritischer Größe um ein Vielfaches schneller entsteht.

Basierend darauf wurden auch Simulationen zur Nukleation aufporöser Oberfläche durchgeführt. Ihr Ergebnis war, dass eine bestimmte Größe der Poren gegeben sein muss, um schnellstmögliche Nukleation zu gewährleisten (in der Regel ist dies bei unregelmäßigen Poren am ehesten gegeben): Bei großen Poren ist der Anteil an Begrenzungsflächen kleiner, dadurch entsteht länger kein Nukleationskern kritischer Größe in der Pore; wenn die Pore hingegen klein ist, so ist die Initiation eines Phasenübergangs vom oberen Rand weg weniger wahrscheinlich.^[14]

1. ↑E. Ising,Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus, Zeitschrift für Physik, Band 31, 1925, S. 253–258
2. ↑Bezüglich der Mitnahme des Faktors 1/2 gibt es unterschiedliche Konventionen (oft wird er fortgelassen)
3. ↑W.Selke:The ANNNI model. In:Physics Reports 170, 1988, S. 213–264,doi:10.1016/0370-1573(88)90140-8
4. ↑R.Peierls, Ising’s model of ferromagnetism, Proc. Cambridge Phil. Soc., Band 32, 1936, S. 477–481
5. ↑H.A.Kramers,G.Wannier, Statistics of the two dimensional Ferromagnet, 2 Teile, Phys. Rev., Band 60, 1941, S. 252–262, 263–276
6. ↑L.Onsager, Crystal Statistics I, Physical Review, Band 65, 1944, S. 117–149
7. ↑C. N. Yang, The spontaneous magnetization of the two dimensional Ising model, Phys. Rev., Band 85, 1952, S. 808–816
8. ↑M. Kac,J.C. Ward, Physical Review Bd. 88, 1952, S. 1332
9. ↑T.D. Schultz,E. Lieb,D.C. Mattis, Two dimensional Ising model as a soluble model of many fermions, Rev. Mod. Phys., Band 36, Juli 1964, S. 856–871
10. ↑F. Wegner,Duality in Generalized Ising Models and Phase Transitions without Local Order Parameter, J. Math. Phys.12 (1971) 2259-2272. Reprinted inClaudio Rebbi (Hrsg.):Lattice Gauge Theories and Monte Carlo Simulations, World Scientific, Singapore (1983), S. 60–73. (Abstract)
11. ↑A. J. Page, R. P. Sear:Heterogeneous nucleation in and out of pores. In:Physical review letters. Band 97, Nummer 6, August 2006, S. 065701,doi:10.1103/PhysRevLett.97.065701,PMID 17026175. (Variablennamen und Vorzeichen angepasst um Konsistenz auf der Seite zu gewährleisten)
12. ↑Berechnet mitGitHub
13. ↑Sofern die Begrenzungsfläche Nukleation nicht direkt begünstigt (${\displaystyle J_s=0}$), ist die einzige Änderung, die man für die derart geänderte Hamiltonfunktion durchführen muss, den Spin aller Atome, die zur Wand gehören, auf 0 zu ändern.
14. ↑D.Frenkel:Physical chemistry: Seeds of phase change. In:Nature. 443, 2006, S. 641,doi:10.1038/443641a.

• Barry Cipra:An introduction to the Ising model, American Mathematical Monthly, Band 94, 1987, S. 937–959,pdf
• Barry McCoy,Tai Tsun Wu:The two dimensional Ising model, Harvard University Press 1973
• John Kogut:An introduction to lattice gauge theory and spin systems, Rev. Mod. Phys., Band 51, 1979, S. 659–713
• Richard Feynman:Statistical mechanics, Benjamin 1972
• Kerson Huang:Statistical mechanics, Wiley 1987
• Stephen G. Brush:History of the Lenz-Ising model, Rev. Mod. Phys., Band 39, 1967, S. 883–893

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• Modellierung und Simulation