Dieinverse Matrix,reziproke Matrix,Kehrmatrix oder kurzInverse einerquadratischen Matrix ist in derMathematik eine ebenfalls quadratische Matrix, die mit der Ausgangsmatrix multipliziert dieEinheitsmatrix ergibt. Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine Inverse; die invertierbaren Matrizen werdenreguläre Matrizen genannt. Eine reguläre Matrix ist dieDarstellungsmatrix einerbijektivenlinearen Abbildung und die inverse Matrix stellt dann dieUmkehrabbildung dieser Abbildung dar. Die Menge der regulären Matrizen fester Größe bildet mit derMatrizenmultiplikation alsVerknüpfung dieallgemeine lineare Gruppe. Die inverse Matrix ist dann das jeweiligeinverse Element in dieser Gruppe.

Die Berechnung der Inverse einer Matrix wird auch alsInversion oderInvertierung der Matrix bezeichnet. Die Invertierung einer Matrix kann mit demGauß-Jordan-Algorithmus oder über dieAdjunkte der Matrix erfolgen. Die inverse Matrix wird in derlinearen Algebra unter anderem bei der Lösunglinearer Gleichungssysteme, beiÄquivalenzrelationen von Matrizen und bei Matrixzerlegungen verwendet.

Ist${\displaystyle A\in R^{n\times n}}$ einereguläre Matrix mit Einträgen aus einemunitären Ring${\displaystyle R}$ (in der Praxis meist demKörper derreellen Zahlen), dann ist die zugehörige inverse Matrix${\displaystyle A^{-1}\in R^{n\times n}}$ diejenige Matrix, für die

${\displaystyle A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I}$

gilt, wobei der Malpunkt ${\displaystyle \cdot }$  dieMatrizenmultiplikation darstellt und${\displaystyle I}$ dieEinheitsmatrix der Größe${\displaystyle n\times n}$ ist. Ist${\displaystyle R}$ einkommutativer Ring, Körper oderSchiefkörper, so sind die beiden Bedingungen äquivalent, das heißt eine rechtsinverse Matrix ist auch linksinvers und umgekehrt.

Die Inverse der reellen${\displaystyle (2\times 2)}$-Matrix

ist

,

denn es gilt

Die Menge der regulären Matrizen fester Größe über einem unitären Ring${\displaystyle R}$ bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine (im Allgemeinennichtkommutative)Gruppe, dieallgemeine lineare Gruppe${\displaystyle \mathrm{GL}(n,R)}$. In dieser Gruppe ist die Einheitsmatrix dasneutrale Element und die inverse Matrix dasinverse Element. Als solches ist die Inverse einer Matrix eindeutig definiert und sowohl links- als auch rechtsinvers. Insbesondere ergibt die Inverse der Einheitsmatrix wieder die Einheitsmatrix, also

${\displaystyle I^{-1}=I}$,

und die Inverse der inversen Matrix wieder die Ausgangsmatrix, das heißt

${\displaystyle {\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A}$.

Die Matrizen${\displaystyle A}$ und${\displaystyle A^{-1}}$ werden daher auch zueinander invers genannt. Das Produkt zweier regulärer Matrizen ist wieder regulär und die Inverse des Produkts ist das Produkt der jeweiligen Inversen, allerdings in umgekehrter Reihenfolge:

${\displaystyle {\left(A\cdot B\right)}^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}}$.

Kann eine Matrix als Produkt leicht invertierbarer Matrizen dargestellt werden, so kann auf diese Weise die Inverse der Matrix schnell ermittelt werden. Für die Inverse des Produkts mehrerer Matrizen gilt die allgemeine Produktformel

${\displaystyle {\left(A_1\cdot A_2\cdots A_k\right)}^{-1}=A_k^{-1}\cdots A_2^{-1}\cdot A_1^{-1}}$

mit${\displaystyle k\in \mathbb{N}}$. Damit gilt speziell für die Inverse einerMatrixpotenz

${\displaystyle {\left(A^k\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^k}$.

Diese Matrix wird auch durch${\displaystyle A^{-k}}$ notiert.

Für die Inverse einer Matrix mit Einträgen aus einem Körper${\displaystyle K}$ gelten folgende weitere Eigenschaften. Für die Inverse desProdukts einer Matrix mit einem Skalar${\displaystyle c\in K}$ mit${\displaystyle c\ne 0}$ gilt

${\displaystyle (cA{)}^{-1}=c^{-1}{A}^{-1}}$.

Die Inverse dertransponierten Matrix ist gleich der Transponierten der Inversen, also

${\displaystyle {\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T}$.

Gleiches gilt auch für die Inverse eineradjungierten komplexen Matrix

${\displaystyle {\left(A^H\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^H}$.

Diese beiden Matrizen werden gelegentlich auch durch${\displaystyle A^{-T}}$ und${\displaystyle A^{-H}}$ notiert.^[1] Für denRang der Inversen gilt

${\displaystyle \mathrm{rang}\left(A^{-1}\right)=\mathrm{rang}(A)=n}$

und für ihreDeterminante

${\displaystyle \det \left(A^{-1}\right)=(detA{)}^{-1}}$.

Ist${\displaystyle \lambda }$ einEigenwert von${\displaystyle A}$ zumEigenvektor${\displaystyle x}$, so ist${\displaystyle {\lambda }^{-1}}$ ein Eigenwert von${\displaystyle A^{-1}}$ ebenfalls zum Eigenvektor${\displaystyle x}$.

Die Inverse einer reellenDiagonalmatrix mitDiagonalelementen${\displaystyle d_1,\dots ,d_n\ne 0}$ ergibt sich durch Bildung derKehrwerte aller Diagonalelemente, denn

${\displaystyle \mathrm{diag}\left(d_1,\dots ,d_n\right)\cdot \mathrm{diag}\left(d_1^{-1},\dots ,d_n^{-1}\right)=\mathrm{diag}\left(1,\dots ,1\right)=I}$.

Manche reguläre Matrizen behalten ihre Zusatzeigenschaften unter Inversion. Beispiele hierfür sind:

• obere und untereDreiecksmatrizen sowie strikt obere und untere Dreiecksmatrizen
• positiv definite undnegativ definite Matrizen
• symmetrische,persymmetrische,bisymmetrische undzentralsymmetrische Matrizen
• unimodulare undganzzahlige unimodulare Matrizen

Zur Berechnung der Inversen einer Matrix${\displaystyle A}$ (auch als Inversion oder Invertierung der Matrix bezeichnet) nutzt man, dass deren${\displaystyle j}$-ten Spalten${\displaystyle {\hat{a}}_j}$ jeweils die Lösungen der linearen Gleichungssysteme${\displaystyle A\cdot {\hat{a}}_j=e_j}$ mit dem${\displaystyle j}$-ten Einheitsvektor als rechter Seite sind. Numerische Verfahren wie derGauß-Jordan-Algorithmus führen dann zu effizienten Algorithmen zur Berechnung der Inversen. Daneben lassen sich unter Verwendung der Adjunkten einer Matrix auch explizite Formeln für die Inverse herleiten.

Im Folgenden wird angenommen, dass die Einträge der Matrix aus einemKörper stammen, damit die entsprechenden Rechenoperationen stets durchführbar sind.

Ausgeschrieben lautet die Matrixgleichung${\displaystyle A\cdot A^{-1}=I}$ mit${\displaystyle A=(a_{ij})}$ und${\displaystyle A^{-1}=({\hat{a}}_{ij})}$

.

Die${\displaystyle j}$-te Spalte der Inversen${\displaystyle {\hat{a}}_j={\left({\hat{a}}_{1j},{\hat{a}}_{2j},\dots ,{\hat{a}}_{nj}\right)}^T}$ ergibt sich damit als Lösung deslinearen Gleichungssystems

${\displaystyle A\cdot {\hat{a}}_j=e_j}$,

wobei${\displaystyle e_j}$ der${\displaystyle j}$-teEinheitsvektor ist. Die Inverse einer Matrix${\displaystyle A}$ ist demnach spaltenweise in der Form

${\displaystyle A^{-1}=\left({\hat{a}}_1|{\hat{a}}_2|\dots |{\hat{a}}_n\right)}$

aus den Lösungen${\displaystyle n}$ linearer Gleichungssysteme mit jeweils${\displaystyle A}$ als Koeffizientenmatrix und einem Einheitsvektor als rechter Seite zusammengesetzt.

Die Inverse einer Matrix kann nun effizient mit demGauß-Jordan-Algorithmus berechnet werden. Die Idee bei diesem Verfahren ist es, die${\displaystyle n}$ linearen Gleichungssysteme${\displaystyle A\cdot {\hat{a}}_j=e_j}$ simultan zu lösen. Hierzu wird zunächst die Koeffizientenmatrix${\displaystyle A}$ um die Einheitsmatrix${\displaystyle I}$ erweitert und man schreibt dann

.

Nun wird die Matrix${\displaystyle A}$ mit Hilfeelementarer Zeilenumformungen auf obereDreiecksgestalt gebracht, wobei die Einheitsmatrix${\displaystyle I}$ mit umgeformt wird:

.

An dieser Stelle kann entschieden werden, ob die Matrix${\displaystyle A}$ überhaupt eine Inverse besitzt. Die Matrix${\displaystyle A}$ ist nämlich genau dann invertierbar, wenn die Matrix${\displaystyle D}$ keine Null auf der Hauptdiagonalen enthält. Ist dies der Fall, so kann die Matrix${\displaystyle D}$ mit weiteren elementaren Zeilenumformungen zunächst aufDiagonalgestalt gebracht werden und dann durch entsprechende Skalierungen in die Einheitsmatrix überführt werden. Schließlich erhält man die Form

,

wobei auf der rechten Seite dann die gesuchte Inverse${\displaystyle A^{-1}}$ steht.

Als Beispiel werde die Inverse der reellen${\displaystyle (2\times 2)}$-Matrix

gesucht. Mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus ergeben sich die Rechenschritte

.

Hierbei wird zunächst die${\displaystyle 2}$ unterhalb der Diagonale eliminiert, was durch Subtraktion des Doppelten der ersten Zeile von der zweiten Zeile erfolgt. Anschließend wird die${\displaystyle 2}$ oberhalb der Diagonale zu null gesetzt, was durch Addition des Doppelten der zweiten Zeile zur ersten Zeile geschieht. Im letzten Schritt wird dann das zweite Diagonalelement auf eins normiert, was eine Multiplikation der zweiten Zeile mit${\displaystyle -1}$ erfordert. Die Inverse von${\displaystyle A}$ ist demnach

.

Als weiteres Beispiel werde die Inverse der reellen${\displaystyle (3\times 3)}$-Matrix

gesucht. Zunächst werden hier die beiden${\displaystyle 2}$-en in der ersten Spalte eliminiert, was jeweils durch Subtraktion des Doppelten der ersten Zeile erfolgt. Nachdem in der zweiten Spalte nun dasPivotelement gleich${\displaystyle 0}$ ist, wird zur Elimination der${\displaystyle -3}$ die zweite mit der dritten Zeile vertauscht und man erhält die obere Dreiecksform:

.

Auch diese Matrix ist also invertierbar. Nun muss lediglich die verbleibende${\displaystyle 2}$ oberhalb der Diagonalen zu null gesetzt werden, was durch Addition des Zweidrittelfachen der zweiten Zeile zur ersten Zeile geschieht. Schließlich muss noch die zweite Zeile durch${\displaystyle -3}$ dividiert werden und man erhält als Ergebnis:

.

Die Inverse von${\displaystyle A}$ ist demnach

.

Dass durch den Gauß-Jordan-Algorithmus tatsächlich die inverse Matrix berechnet wird, kann wie folgt nachgewiesen werden. Sind${\displaystyle N_1,\dots ,N_m}$Elementarmatrizen, mit denen die Matrix${\displaystyle A}$ in die Einheitsmatrix umgeformt wird, dann gilt

${\displaystyle I=N_m\cdots N_2\cdot N_1\cdot A}$.

Werden nun beide Seiten dieserGleichung von rechts mit der Matrix${\displaystyle A^{-1}}$ multipliziert, folgt daraus

${\displaystyle A^{-1}=N_m\cdots N_2\cdot N_1\cdot I}$.

Wird demnach eine Matrix${\displaystyle A}$ durch Multiplikation von links mit einer Reihe von Elementarmatrizen in die Einheitsmatrix umgewandelt, so ergibt die Multiplikation der Einheitsmatrix mit diesen Elementarmatrizen in der gleichen Reihenfolge gerade die Inverse${\displaystyle A^{-1}}$.

DieLaufzeit desGauß-Jordan-Algorithmus für die Inversion einer${\displaystyle (n\times n)}$-Matrix beträgt${\displaystyle O(n^3)}$.^[2]

Mit Hilfe derCramerschen Regel lässt sich die Lösung des linearen Gleichungssystems${\displaystyle A\cdot {\hat{a}}_j=e_j}$ auch explizit durch

${\displaystyle {\hat{a}}_{ij}=\frac{det{A}_i}{detA}}$

angeben, wobei die Matrix${\displaystyle A_i}$ durch Ersetzen der${\displaystyle i}$-ten Spalte mit dem Einheitsvektor${\displaystyle e_j}$ entsteht. Wird nun die Determinante im Zähler mit Hilfe desLaplaceschen Entwicklungssatzes nach der${\displaystyle i}$-ten Spalte entwickelt, ergibt sich

${\displaystyle {\hat{a}}_{ij}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot det{A}_{ji}}{detA}}$,

wobei${\displaystyle A_{ij}}$ dieUntermatrix von${\displaystyle A}$ ist, die durch Streichung der${\displaystyle i}$-ten Zeile und${\displaystyle j}$-ten Spalte entsteht (man beachte in obiger Formel die Vertauschung der Reihenfolge von${\displaystyle i}$ und${\displaystyle j}$). Die Unterdeterminanten${\displaystyle det{A}_{ij}}$ werden auch alsMinoren von${\displaystyle A}$ bezeichnet. Die Zahlen

${\displaystyle {\tilde{a}}_{ij}=(-1{)}^{i+j}\cdot det{A}_{ij}}$

heißen auch Kofaktoren von${\displaystyle A}$ und bilden als Matrix zusammengefasst die Kofaktormatrix${\displaystyle \mathrm{cof}A=({\tilde{a}}_{ij})}$. Die Transponierte der Kofaktormatrix wird auchAdjunkte${\displaystyle \mathrm{adj}A}$ von${\displaystyle A}$ genannt. Mit der Adjunkten hat die Inverse einer Matrix dann die explizite Darstellung

${\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{detA}\cdot \mathrm{adj}A}$.

Diese Darstellung gilt auch für Matrizen mit Einträgen aus einemkommutativen Ring mit Eins, sofern${\displaystyle detA}$ eineEinheit in dem Ring darstellt.

Für${\displaystyle (2\times 2)}$-Matrizen ergibt sich damit die explizite Formel

.

Für${\displaystyle (3\times 3)}$-Matrizen ergibt sich entsprechend die Formel

,

wobei${\displaystyle detA}$ mit derRegel von Sarrus angegeben werden kann. Auch für größere Matrizen können auf diese Weise explizite Formeln für die Inverse hergeleitet werden; ihre Darstellung und Berechnung erweist sich jedoch schnell als sehr aufwändig.

Die Inverse der folgenden reellen${\displaystyle (2\times 2)}$-Matrix ergibt sich zu

und die Inverse der folgenden reellen${\displaystyle (3\times 3)}$-Matrix zu

.

Ist einequadratischeBlockmatrix gegeben, wobei${\displaystyle A}$ und dasSchur-Komplement${\displaystyle M/A:=D-C{A}^{-1}B}$ von${\displaystyle A}$ in${\displaystyle M}$ eine reguläre Matrix ist, dann ist auch${\displaystyle M}$ eine reguläre Matrix und es gilt

Daraus folgt für die inverse Matrix

Wenn${\displaystyle D}$ und dasSchur-Komplement${\displaystyle M/D:=A-B{D}^{-1}C}$ von${\displaystyle D}$ in${\displaystyle M}$ eine reguläre Matrix ist, gilt entsprechend

und für die inverse Matrix^[3]

Mithilfe dieser Formel kann die inverse Matrix einerquadratischen (${\displaystyle k\times k}$)-Blockmatrix${\displaystyle A\in R^{n\times n}}$ mit Blöcken der Dimension${\displaystyle b\times b}$ effizient berechnet werden. Es ist also${\displaystyle n=k\cdot b}$. DieLaufzeit für die Inversion beträgt${\displaystyle O(k^2\cdot b^3\cdot 4^k)}$. Im Vergleich dazu beträgt dieLaufzeit für denGauß-Jordan-Algorithmus${\displaystyle O(n^3)=O(k^3\cdot b^3)}$.^[4]

Speziell für einequadratische,reguläre Matrix lässt sich das Inverse mithilfe ihrescharakteristischen Polynomes berechnen:

Sei${\displaystyle A\in K^{n\times n}}$ eine quadratische Matrix, und${\displaystyle {\chi }_A(t)={\alpha }_0+{\alpha }_1\cdot t^1+\dots +{\alpha }_n\cdot t^n}$ dascharakteristische Polynom von${\displaystyle A}$. Dann ist${\displaystyle A}$ genau dann regulär, wenn${\displaystyle {\alpha }_0\ne 0}$ ist, da${\displaystyle {\alpha }_0}$ gleich derDeterminante von${\displaystyle A}$ ist, und es gilt

${\displaystyle A^{-1}=\frac{-1}{det(A)}\left({\alpha }_1{I}_n+{\alpha }_{2}A+\dots +{\alpha }_n{A}^{n-1}\right)}$

Das Einsetzen der Matrix in das Polynom verläuft analog zum Einsetzen einer reellen Zahl, nur dass hier dieRechenregeln für Matrizen gelten.${\displaystyle I_n}$ bezeichnet dieEinheitsmatrix mit${\displaystyle n}$ Zeilen und Spalten.

Ausgenutzt wurde hierbei derSatz von Cayley-Hamilton, welcher besagt, dass sich immer${\displaystyle 0}$ ergibt, wenn man eine Matrix in ihrcharakteristisches Polynom einsetzt. Für${\displaystyle A\in K^{n,n}}$ mit ihrem charakteristischen Polynom${\displaystyle {\chi }_A(t)={\alpha }_0+{\alpha }_1\cdot t^1+\dots +{\alpha }_n\cdot t^n}$ gilt also immer:

${\displaystyle {\chi }_A(A)=0⟺{\alpha }_0\cdot I_n+\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\cdot A^i=0⟺-{\alpha }_0\cdot I_n=A\cdot \sum _{i=1}^n{\alpha }_i\cdot A^{i-1}⟺A^{-1}={\displaystyle -\frac{\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\cdot A^{i-1}}{{\alpha }_0}}}$

Sei. Dann ist ihr charakteristisches Polynom${\displaystyle {\chi }_A(t)=t^3-10\cdot t^2+3\cdot t+8}$.

Einsetzen in die Formel ergibt:

Wobei hier die Zusammenhänge${\displaystyle {\alpha }_0=det(A)}$ (siehecharakteristisches Polynom) sowie${\displaystyle A^0=I_n}$(sieheEinheitsmatrix) ausgenutzt wurden.

Generell werden in derNumerik lineare Gleichungssysteme der Form${\displaystyle Ax=b}$ nicht über die Inverse durch

${\displaystyle x=A^{-1}b}$,

sondern mit speziellen Verfahren für lineare Gleichungssysteme gelöst (sieheNumerische lineare Algebra). Der Berechnungsweg über die Inverse ist zum einen wesentlich aufwändiger und zum anderen wenigerstabil. Gelegentlich kann es jedoch erforderlich sein, die Inverse einer Matrix explizit zu ermitteln. Insbesondere bei sehr großen Matrizen wird dann aufNäherungsverfahren zurückgegriffen. Ein Ansatz hierfür ist dieNeumann-Reihe, mit der die Inverse einer Matrix durch die unendlicheReihe

${\displaystyle A^{-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(I-A{)}^k}$

dargestellt werden kann, sofern die Reihe konvergiert. Wird diese Reihe nach endlich vielen Termen abgeschnitten, erhält man eine näherungsweise Inverse. Für spezielle Matrizen, wieBandmatrizen oderToeplitz-Matrizen, gibt es eigene effiziente Berechnungsverfahren zur Ermittlung der Inversen.

Mit Hilfe der inversen Matrix können folgende Klassen von Matrizen charakterisiert werden:

• Für eineselbstinverse Matrix ist die Inverse gleich der Ausgangsmatrix, das heißt${\displaystyle A^{-1}=A}$.
• Für eineorthogonale Matrix ist die Inverse gleich der Transponierten, das heißt${\displaystyle A^{-1}=A^T}$.
• Für eineunitäre Matrix ist die Inverse gleich der Adjungierten, das heißt${\displaystyle A^{-1}=A^H}$.

Weitere Matrizen, deren Inverse explizit angegeben werden kann, sind neben Diagonalmatrizen unter anderemFrobeniusmatrizen,Hilbertmatrizen undTridiagonal-Toeplitz-Matrizen.

Sind${\displaystyle V}$ und${\displaystyle W}$ zwei${\displaystyle n}$-dimensionaleVektorräume über dem Körper${\displaystyle K}$, dann wird die zu einer gegebenenbijektivenlinearen Abbildung${\displaystyle f:V\to W}$ zugehörigeinverse Abbildung${\displaystyle f^{-1}:W\to V}$ durch

${\displaystyle f^{-1}\circ f=f\circ f^{-1}=\mathrm{id}}$

charakterisiert, wobei${\displaystyle \mathrm{id}}$ dieidentische Abbildung darstellt. Ist nun${\displaystyle \{v_1,\dots ,v_n\}}$ eineBasis für${\displaystyle V}$ und${\displaystyle \{w_1,\dots ,w_n\}}$ eine Basis für${\displaystyle W}$, dann gilt für die zugehörigenAbbildungsmatrizen${\displaystyle A_f\in K^{n\times n}}$ und${\displaystyle A_{f^{-1}}\in K^{n\times n}}$ die Beziehung

${\displaystyle A_{f^{-1}}=A_f^{-1}}$.

Die Abbildungsmatrix der inversen Abbildung ist demnach gerade die Inverse der Abbildungsmatrix der Ausgangsabbildung.

Ist${\displaystyle V}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper${\displaystyle K}$, dann ist der zugehörigeDualraum${\displaystyle V^{\ast }}$ der Vektorraum derlinearen Funktionale${\displaystyle V\to K}$. Ist${\displaystyle \{v_1,\dots ,v_n\}}$ eine Basis für${\displaystyle V}$, dann wird die zugehörigeduale Basis${\displaystyle \{v_1^{\ast },\dots ,v_n^{\ast }\}}$ von${\displaystyle V^{\ast }}$ mit Hilfe desKronecker-Deltas durch

${\displaystyle v_i^{\ast }(v_j)={\delta }_{ij}}$

für${\displaystyle i,j=1,\dots ,n}$ charakterisiert. Ist nun${\displaystyle A_v=(x_1\mid \dots \mid x_n)}$ die Matrix bestehend aus denKoordinatenvektoren der Basisvektoren, dann ergibt sich die zugehörige duale Matrix${\displaystyle A_{v^{\ast }}=(x_1^{\ast }\mid \dots \mid x_n^{\ast }{)}^T}$ als

${\displaystyle A_{v^{\ast }}=A_v^{-1}}$.

Die Basismatrix der dualen Basis ist demnach gerade die Inverse der Basismatrix der primalen Basis.

Inverse Matrizen werden in der linearen Algebra unter anderem auch verwendet:

• bei Äquivalenzrelationen, beispielsweise derÄhnlichkeit und derÄquivalenz von Matrizen
• bei Normalformen von Matrizen, beispielsweise derJordan-Normalform oder derFrobenius-Normalform
• bei Matrixzerlegungen, beispielsweise derSingulärwertzerlegung
• bei der Berechnung derKondition regulärer Matrizen

• Pseudoinverse, eine Verallgemeinerung der Inversen auf singuläre und nichtquadratische Matrizen
• Sherman-Morrison-Woodbury-Formel, eine Formel für die Inverse einer Rang-k-modifizierten Matrix
• Diagonalisierung, die Umwandlung einer Matrix in Diagonalform durch eine Ähnlichkeitstransformation
• Smith-Normalform, die Diagonalisierung einer Matrix mit Einträgen aus einem Hauptidealring

• Siegfried Bosch:Lineare Algebra. Springer, 2006,ISBN 3-540-29884-3. 
• Gene Golub, Charles van Loan:Matrix Computations. 3. Auflage. Johns Hopkins University Press, 1996,ISBN 0-8018-5414-8. 
• Roger Horn, Charles R. Johnson:Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990,ISBN 0-521-38632-2. 
• Jörg Liesen,Volker Mehrmann:Lineare Algebra. 3. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2021,ISBN 978-3-662-62741-9,doi:10.1007/978-3-662-62742-6. 
• Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler:Numerische Mathematik. 8. Auflage. Vieweg & Teubner, 2011,ISBN 978-3-8348-1551-4. 

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• Kh. D. Ikramov:Inversion of a matrix. In:Michiel Hazewinkel (Hrsg.):Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag undEMS Press, Berlin 2002,ISBN 1-55608-010-7 (englisch,encyclopediaofmath.org). 
• Eric W. Weisstein:Matrix Inverse. In:MathWorld (englisch).
• akrowne: Matrix inverse. In:PlanetMath. (englisch)

1. ↑G. W. Stewart:Matrix Algorithms. Volume 1:Basic Decompositions. SIAM, 1998,S. 38. 
2. ↑Universität Leipzig:Lineare Gleichungssysteme und lineare Unterräume
3. ↑Stephen M. Watt, University of Western Ontario:Pivot-Free Block Matrix Inversion
4. ↑Iria C. S. Cosme, Isaac F. Fernandes, Joao L. de Carvalho, Samuel Xavier-de-Souza:Memory-Usage Advantageous Block Recursive Matrix Inverse

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