Dasideale Simplex ist ein Begriff aus derGeometrie und beschreibt einSimplex mit „Ecken im Unendlichen“.

Es bezeichne${\displaystyle H^n}$ den${\displaystyle n}$-dimensionalenhyperbolischen Raum und${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{\mathrm{\infty }}{H}^n}$ seinenGeodätischen Rand.

Ein ideales Simplex ist eingeodätisches Simplex in${\displaystyle \overline{H^n}:=H^n\cup {\mathrm{\partial }}_{\mathrm{\infty }}{H}^n}$, dessen Ecken in${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{\mathrm{\infty }}{H}^n}$ liegen.

Man kann zeigen, dass es zu jedem Tupel${\displaystyle (v_0,\dots ,v_k)\in ({\mathrm{\partial }}_{\mathrm{\infty }}{H}^n{)}^{k+1}}$ ein ideales${\displaystyle k}$-Simplex mit Ecken${\displaystyle v_0,\dots ,v_k}$ gibt.

Alle idealen Dreiecke in derhyperbolischen Ebene (oder in einem höher-dimensionalen hyperbolischen Raum) sind isometrisch. Das ist eine unmittelbare Folgerung aus der Tatsache, dass die Gruppe${\displaystyle PSL(2,\mathbb{R})}$ der orientierungserhaltendenIsometrien der hyperbolischen Ebene${\displaystyle 3}$-fach transitiv auf${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{\mathrm{\infty }}{H}^2=\mathbb{R}{P}^1}$ wirkt.

Nicht-entartete ideale Tetraeder im 3-dimensionalen hyperbolischen Raum werden bis auf Isometrie durch dasDoppelverhältnis ihrer${\displaystyle 4}$ Ecken klassifiziert. Auch das ist eine unmittelbare Folgerung aus der Tatsache, dass die Gruppe${\displaystyle PSL(2,\mathbb{C})}$ der orientierungserhaltendenIsometrien des hyperbolischen Raumes${\displaystyle 3}$-fach transitiv auf${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{\mathrm{\infty }}{H}^3=\mathbb{C}{P}^1}$ wirkt.

Ein ideales Simplex mit Ecken${\displaystyle (v_0,\dots ,v_k)\in ({\mathrm{\partial }}_{\mathrm{\infty }}{H}^n{)}^{k+1}}$ heißtregulär, wenn es zu jederPermutation${\displaystyle \pi }$ der Ecken eine Isometrie${\displaystyle g:H^n\to H^n}$ mit${\displaystyle g(v_i)=\pi (v_i)}$ gibt.

Die idealen${\displaystyle n}$-Simplizes maximalen Volumens sind genau die regulären idealen Simplizes.^[1][2] Insbesondere gibt es eine obere Schranke für das Volumen idealer Simplizes im hyperbolischen Raum.

Allgemeiner kann man ideale Simplizes in einfach zusammenhängenden Räumen nichtpositiver Schnittkrümmung ebenfalls als geodätische Simplizes mit Ecken imRand im Unendlichen definieren.

In einfach zusammenhängenden Räumen negativer Schnittkrümmung gibt es zu jedem Tupel von Punkten im Rand im Unendlichen wieder ein ideales Simplex mit diesen Ecken. Bei lediglich nichtpositiver Schnittkrümmung muss das im Allgemeinen nicht der Fall sein.

• Benedetti, Riccardo; Petronio, Carlo:Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Berlin etc.: Springer-Verlag. (1992)
• Ratcliffe, John G.:Foundations of hyperbolic manifolds. 2nd ed. Graduate Texts in Mathematics 149. New York, NY: Springer (ISBN 0-387-33197-2) (2006).
• Ballmann, Werner; Gromov, Mikhael; Schroeder, Viktor:Manifolds of nonpositive curvature. Progress in Mathematics, 61. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser. (1985)

1. ↑Haagerup, Uffe; Munkholm, Hans J.:Simplices of maximal volume in hyperbolic n-space. (English) Acta Math. 147, 1-11 (1981).
2. ↑Peyerimhoff, Norbert:Simplices of maximal volume or minimal total edge length in hyperbolic space. J. Lond. Math. Soc., II. Ser. 66, No. 3, 753-768 (2002).

• Geometrie