DieHyperexponentialverteilung ist eine stetigeWahrscheinlichkeitsverteilung.Anschaulich gesprochen ist sie eine Überlagerung mehrererExponentialverteilungen.

Seien${\displaystyle Y_i}$ (mit${\displaystyle i=1,\dots ,N}$)unabhängige, exponentialverteilteZufallsvariablen mit Raten${\displaystyle {\lambda }_i}$ und seien${\displaystyle p_i}$ Wahrscheinlichkeiten, deren Summe 1 ergibt.Dann heißt die Zufallsvariable${\displaystyle X}$ hyperexponentialverteilt, wenn sie folgendeWahrscheinlichkeitsdichte besitzt:^[1]

Bei einer Exponentialverteilung ist derVariationskoeffizient (Standardabweichung geteilt durch Erwartungswert) gleich 1.Die Bezeichnung „hyper“-exponential rührt daher, dass der Variationskoeffizient hier größer als 1 ist (sofern verschiedene${\displaystyle {\lambda }_i}$ auftreten). Im Unterschied dazu ist er bei derHypoexponentialverteilung kleiner als 1.Während die Exponentialverteilung das stetige Analogon zurgeometrischen Verteilung ist, ist die Hyperexponentialverteilungkein Analogon zurhypergeometrischen Verteilung.Die Hyperexponentialverteilung ist ein Beispiel für eineMischverteilung.

Als Anwendungsbeispiel kann die Auslastung eines Internetanschlusses dienen, über welchen entweder (mit Wahrscheinlichkeit${\displaystyle p}$ und Rate${\displaystyle {\lambda }_1}$) Internettelefonie oder (mit Wahrscheinlichkeit${\displaystyle q}$ und Rate${\displaystyle {\lambda }_2}$) Dateiübertragungen laufen, wobei${\displaystyle p+q=1}$.Die Gesamtauslastung ist dann hyperexponentialverteilt.

Eine gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung, inklusiveendlastiger Verteilungen, kann durch eine Hyperexponentialverteilung angenähert werden, indem rekursiv verschiedene Zeitskalen (${\displaystyle {\lambda }_i}$) mittels der sogenannten Prony-Methode angefittet werden.^[2]

Aus der Linearität des Integrals ergibt sich:

${\displaystyle \mathrm{E}[X]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}xf(x)dx=\sum _{i=1}^N{p}_i{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{\lambda }_i{e}^{-{\lambda }_{i}x}dx=\sum _{i=1}^N\frac{p_i}{{\lambda }_i}}$

und

${\displaystyle \mathrm{E}\left[X^2\right]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^{2}f(x)dx=\sum _{i=1}^N{p}_i{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2{\lambda }_i{e}^{-{\lambda }_{i}x}dx=\sum _{i=1}^N\frac{2}{{\lambda }_i^2}{p}_i.}$

Mit Hilfe desVerschiebungssatzes ergibt sich daraus die Varianz:^[3]

${\displaystyle \mathrm{Var}[X]=\mathrm{E}\left[X^2\right]-\mathrm{E}{\left[X\right]}^2=\sum _{i=1}^N\frac{2}{{\lambda }_i^2}{p}_i-{\left[\sum _{i=1}^N\frac{p_i}{{\lambda }_i}\right]}^2={\left[\sum _{i=1}^N\frac{p_i}{{\lambda }_i}\right]}^2+\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{p}_i{p}_j{\left(\frac{1}{{\lambda }_i}-\frac{1}{{\lambda }_j}\right)}^2.}$

Sofern nicht alle${\displaystyle {\lambda }_i}$ gleich groß sind, ist die Standardabweichung größer als der Erwartungswert.

Diemomenterzeugende Funktion ist

${\displaystyle \mathrm{E}\left[e^{tX}\right]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{tx}f(x)dx=\sum _{i=1}^N{p}_i{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{tx}{\lambda }_i{e}^{-{\lambda }_{i}x}dx=\sum _{i=1}^N\frac{{\lambda }_i}{{\lambda }_i-t}{p}_i.}$

• Phasenverteilung

1. ↑L. N. Singh, G. R. Dattatreya:Estimation of the Hyperexponential Density with Applications in Sensor Networks. In:International Journal of Distributed Sensor Networks. 3. Jahrgang,Nr. 3, 2007,S. 311,doi:10.1080/15501320701259925 (englisch). 
2. ↑A. Feldmann, W. Whitt:Fitting mixtures of exponentials to long-tail distributions to analyze network performance models. In:Performance Evaluation. 31. Jahrgang,Nr. 3–4, 1998,S. 245,doi:10.1016/S0166-5316(97)00003-5 (englisch,columbia.edu [PDF]). 
3. ↑H. T. Papadopolous, C. Heavey, J. Browne:Queueing Theory in Manufacturing Systems Analysis and Design. Springer, 1993,ISBN 978-0-412-38720-3,S. 35 (englisch,google.com). 

• Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung