DerHomomorphiesatz ist einmathematischerSatz aus dem Gebiet derAlgebra, der in entsprechender Form für Abbildungen zwischenGruppen,Vektorräumen undRingen gilt. Er stellt jeweils einen engen Zusammenhang zwischenGruppenhomomorphismen undNormalteilern,Vektorraumhomomorphismen undUntervektorräumen sowieRinghomomorphismen undIdealen her. Der Homomorphiesatz lautet:

Ist${\displaystyle f:A\to B}$ einHomomorphismus und${\displaystyle \ker (f)}$ derKern von${\displaystyle f}$, dann ist der Quotient${\displaystyle A/\ker (f)}$isomorph zumBild${\displaystyle f(A)}$.

Ist${\displaystyle f:\left(G,\circ \right)\to \left(H,\star \right)}$ einGruppenhomomorphismus, dann ist derKern${\displaystyle N:=\ker \left(f\right)}$ einNormalteiler von${\displaystyle G}$ und dieFaktorgruppe${\displaystyle G/N}$ ist isomorph zum Bild${\displaystyle f\left(G\right)}$. Ein entsprechenderIsomorphismus ist gegeben durch${\displaystyle \tilde{f}:G/N\to f(G);gN\mapsto f\left(g\right)}$.

Es reicht zu zeigen, dass die Abbildung${\displaystyle \tilde{f}}$ einGruppenisomorphismus ist.

${\displaystyle \tilde{f}}$ istwohldefiniert undinjektiv, da

${\displaystyle aN=bN\iff b^{-1}a\in N\iff f(b^{-1}a)=e\iff \tilde{f}(aN)=f(a)=f(b)=\tilde{f}(bN)}$

${\displaystyle \tilde{f}}$ ist einGruppenhomomorphismus, da für alle Nebenklassen${\displaystyle aN}$ und${\displaystyle bN}$ gilt:

${\displaystyle \tilde{f}\left(aN\circ bN\right)=\tilde{f}\left(abN\right)=f(ab)=f(a)\star f(b)=\tilde{f}(aN)\star \tilde{f}(bN)}$

${\displaystyle \tilde{f}}$surjektiv, da für jedes${\displaystyle g:=f\left(g^{\prime }\right)\in f\left(G\right)}$ gilt:${\displaystyle \tilde{f}\left(g^{\prime }N\right)=f\left(g^{\prime }\right)=g}$.

Hieraus folgt, dass${\displaystyle \tilde{f}:G/N\to f(G)}$ einGruppenisomorphismus ist, und somit${\displaystyle G/N\cong f\left(G\right)}$.

• Es stehe${\displaystyle \mathrm{GL}(n,K)}$ für dieallgemeine lineare Gruppe, dargestellt durchreguläre Matrizen über einemKörper${\displaystyle K}$. DieDeterminante

${\displaystyle det:\mathrm{GL}(n,K)\to K^{\ast }=K\setminus \{0\}}$

ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Kern aus derspeziellen linearen Gruppe${\displaystyle \mathrm{SL}(n,K)}$ der${\displaystyle n\times n}$-Matrizen mit Determinante${\displaystyle 1}$ besteht. Nach dem Homomorphiesatz gilt

${\displaystyle \mathrm{GL}(n,K)/\mathrm{SL}(n,K)\cong K^{\ast }}$.

Hieraus folgt insbesondere, dass im Gegensatz zur linearen Gruppe${\displaystyle \mathrm{GL}(n,K)}$ die Faktorgruppe${\displaystyle \mathrm{GL}(n,K)/\mathrm{SL}(n,K)}$ abelsch ist.

• Analog zeigt man:

${\displaystyle \mathrm{O}(n,K)/\mathrm{SO}(n,K)\cong \left\{-1,1\right\}}$

wobei${\displaystyle \mathrm{O}(n,K)}$ für dieorthogonale Gruppe und${\displaystyle \mathrm{SO}(n,K)}$ für die spezielle orthogonale Gruppe steht.

• Es stehe${\displaystyle S_n}$ für diesymmetrische Gruppe. DieSignum-Abbildung${\displaystyle \mathrm{sign}:S_n\to \left\{-1,1\right\}}$ definiert einenGruppenhomomorphismus mit${\displaystyle \ker \left(\mathrm{sign}\right)={\mathrm{Alt}}_n}$ (alternierende Gruppe), der für${\displaystyle n\ge 2}$ surjektiv ist. Nach dem Homomorphiesatz gilt also für${\displaystyle n\ge 2}$:

  ${\displaystyle S_n/{\mathrm{Alt}}_n\cong \left\{-1,1\right\}}$

Ist${\displaystyle f:R\to S}$ einRinghomomorphismus, dann ist der Kern${\displaystyle \ker (f)}$ einIdeal von${\displaystyle R}$ und derFaktorring${\displaystyle R/\ker (f)}$ ist isomorph zum Bild${\displaystyle \mathrm{im}(f)}$.

Der Beweis verläuft analog zumBeweis für Gruppen, es muss nur noch gezeigt werden:

${\displaystyle \tilde{f}\left(aN\cdot bN\right)=\tilde{f}\left(\left(a\cdot b\right)N\right)=f\left(a\cdot b\right)=f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)=\tilde{f}\left(aN\right)\cdot \tilde{f}\left(bN\right)}$

Ist${\displaystyle f}$ ein Vektorraumhomomorphismus, d. h. einelineare Abbildung von${\displaystyle V}$ nach${\displaystyle W}$, dann ist der Kern${\displaystyle \ker (f)}$ einUntervektorraum von${\displaystyle V}$ und derFaktorraum${\displaystyle V/\ker (f)}$ ist isomorph zum Bild${\displaystyle \mathrm{im}(f)}$.

Der Differentialoperator

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}:C^1(\mathbb{R})\to C^0(\mathbb{R}),f(x)\mapsto \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=f^{\prime }(x)}$

ist ein Homomorphismus vom Vektorraum der auf${\displaystyle \mathbb{R}}$ stetig differenzierbaren Funktionen${\displaystyle C^1(\mathbb{R})}$ in den Vektorraum der auf${\displaystyle \mathbb{R}}$ stetigen Funktionen${\displaystyle C^0(\mathbb{R})}$.Sein Kern ist die Menge der konstanten Funktionen, die hier als${\displaystyle \mathbb{R}}$ notiert wird. Nach dem Homomorphiesatz gilt

${\displaystyle C^1(\mathbb{R})/\mathbb{R}\cong C^0(\mathbb{R})}$

Der Isomorphismus ist dabei der induzierte Homomorphismus

${\displaystyle \widetilde{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}:C^1(\mathbb{R})/\mathbb{R}\to C^0(\mathbb{R}),f(x)+\mathbb{R}\mapsto f^{\prime }(x)}$.

Sein inverser Homomorphismus ist die unbestimmte Integration

${\displaystyle \int \cdot \mathrm{d}x:C^0(\mathbb{R})\to C^1(\mathbb{R})/\mathbb{R},g(x)\mapsto \int g(x)\mathrm{d}x=G(x)+\mathbb{R},}$

wobei${\displaystyle G(x)}$ eine beliebigeStammfunktion von${\displaystyle g(x)}$ ist.

• Homomorphiesatz für algebraische Strukturen:

Sind${\displaystyle (A,(f_i{)}_{i\in \{1,\dots ,n\}})}$ und${\displaystyle (B,(g_i{)}_{i\in \{1,\dots ,n\}})}$ zweialgebraische Strukturen gleicher Art und ist${\displaystyle \phi :A\to B}$ einHomomorphismus dieser Art mit Kern${\displaystyle {\theta }_{\phi }}$, so gilt${\displaystyle A/{\theta }_{\phi }\simeq \phi (A)}$.

• Der Satz gilt allgemein in jederabelschen Kategorie.
• Der Satz gilt beispielsweise auch in der Kategorie dertopologischen Gruppen; allerdings ist dasBild dann auch im kategoriellen Sinne zu verstehen, es handelt sich also im Allgemeinen nicht um das mengentheoretische Bild mit derinduzierten Topologie. Auch ist ein bijektiver stetiger Homomorphismus nur dann ein kategorieller Isomorphismus, wenn auch seine Umkehrung stetig ist, d. h. wenn er auch einHomöomorphismus ist.

• Christian Karpfinger, Kurt Meyberg:Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009,ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 54, S. 167–168

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• Satz (Mathematik)