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Halbring (algebraische Struktur)

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Halbring

berührt die Spezialgebiete

ist Spezialfall von

  • Links-Halbring

umfasst als Spezialfälle

EinHalbring ist in derMathematik die Verallgemeinerung deralgebraischen Struktur einesRinges, in der dieAddition nicht mehr einekommutative Gruppe, sondern nur noch einekommutativeHalbgruppe sein muss.

Halbringe werden ebenso mit nicht-kommutativer Addition sowie mit (absorbierender)0{\displaystyle 0} und/oder1{\displaystyle 1} definiert, die Definitionen in der Literatur sind nicht einheitlich.

Definitionen

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Halbring

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EinHalbring (engl.:Semiring) ist einealgebraische Struktur(H,+,⋅){\displaystyle (H,+,\cdot )} mit einer (nichtleeren)MengeH{\displaystyle H} und mit zweizweistelligen Verknüpfungen+:H×H→H{\displaystyle +\colon H\times H\to H} (Addition) und⋅:H×H→H{\displaystyle \cdot \colon H\times H\to H} (Multiplikation), für die gilt:

  1. (H,+){\displaystyle (H,+)} ist einekommutativeHalbgruppe.
  2. (H,⋅){\displaystyle (H,\cdot )} ist eine Halbgruppe.
  3. Es gelten dieDistributivgesetze, d. h. für allea,b,c∈H{\displaystyle a,b,c\in H} gilt
(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c{\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}   sowie  c⋅(a+b)=c⋅a+c⋅b.{\displaystyle c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b.}[1]

Ist auch(H,⋅){\displaystyle (H,\cdot )} kommutativ, so spricht man von einemkommutativen Halbring.

Nullelement

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Besitzt ein Halbring(H,+,⋅){\displaystyle (H,+,\cdot )} einneutrales Element0∈H{\displaystyle 0\in H} bezüglich der Addition, d. h.

0+a=a+0=a{\displaystyle 0+a=a+0=a} für allea∈H,{\displaystyle a\in H,}

so nennt man dieses dasNullelement oder kurz dieNull des Halbringes.

Die Null0{\displaystyle 0} eines Halbringes heißtabsorbierend (bezüglich der Multiplikation), falls

0⋅a=a⋅0=0{\displaystyle 0\cdot a=a\cdot 0=0} für allea∈H.{\displaystyle a\in H.}

Ein Halbring(H,+,0,⋅){\displaystyle (H,+,0,\cdot )} mit einer absorbierenden Null heißt auchHemiring.[2]

Einselement

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Wenn ein Halbring einneutrales Element1∈H{\displaystyle 1\in H} bezüglich der Multiplikation enthält, also

1⋅a=a⋅1=a{\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a} für allea∈H,{\displaystyle a\in H,}

dann nennt man dieses dasEinselement oder kurz dieEins des Halbringes.

Ein Hemiring(H,+,0,⋅,1){\displaystyle (H,+,0,\cdot ,1)} mit einer Eins1≠0{\displaystyle 1\neq 0} heißt auchBewertungshalbring.[3]

Dioid

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Ein Hemiring(D,+,0,⋅,1){\displaystyle (D,+,0,\cdot ,1)} mit Eins undidempotenter Addition wird alsDioid bezeichnet, d. h. bei einem Dioid sind(D,+,0){\displaystyle (D,+,0)} und(D,⋅,1){\displaystyle (D,\cdot ,1)} u. a.Monoide.

Beispiele

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Literatur

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Anmerkungen und Einzelnachweise

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  1. ↑Man sagt auch:⋅{\displaystyle \cdot } distribuiert über+{\displaystyle +}.
  2. ↑D. R. La Torre:On h-ideals and k-ideals in hemirings.Publ. Math. Debrecen 12, 219–226 (1965)[1][2].
  3. ↑Hebisch, Weinert; S. 257

Weblinks

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