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Höhe (Geodäsie)

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aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

AlsHöhe wird in derGeodäsie derlotrechte Abstand eines bestimmten Punktes von einerReferenzfläche bezeichnet. Befindet sich dieser Punkt an derErd- bzw. Geländeoberfläche, spricht man auch von derGeländehöhe oder dergeographischen Höhe. Mit der Höhe als dritter Koordinate – neben dergeographischen Breite undLänge bzw. demRechts- undHochwert eineskartesischen Koordinatensystems – kann die Lage eines jeden Punktes an, über oder unter der Erdoberfläche eindeutig beschrieben werden.

Die wichtigsten Höhendefinitionen:
● ellipsoidische Höhe h
● Normalhöhe H_N
● orthometrische Höhe H

Als Höhenreferenzfläche im Sinne derhöheren Geodäsie können verschiedene geometrische Figuren dienen, mit denen die Erdoberfläche modelliert werden kann. Beispiele sind dasGeoid, einQuasigeoid oder ein national gültiges, dem jeweiligen Land angepasstesReferenzellipsoid. Als Nullniveau einer solchen Bezugsfläche wurde meist jener mittlereMeeresspiegel festgelegt, der sich aus langjährigenPegelmessungen einer geeigneten Küstenstation ergab. Je nach Land oder Anwendung werden unterschiedliche Höhendefinitionen und unterschiedliche Nullniveaus verwendet (sieheHöhe über dem Meeresspiegel).

Höhendefinitionen

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Im Allgemeinen wird erwartet, dass

eine Höhe eine geometrische Größe ist und in Längeneinheiten gemessen wird und
zwischen Punkten gleicher Höhe kein Wasser fließt.

Höhen können durch die unterschiedliche Schwerkraft am Äquator und an den Polen aber nicht gleichzeitig geometrisch korrekt (1.) und physikalisch korrekt (2.) sein.

Um Punkt 2. zu erfüllen, müssen Punkte das gleicheSchwerepotential aufweisen und somit auf einerÄquipotentialfläche derSchwere liegen. Nur ist dieSchwerkraft an den Polen 1/189 stärker als am Äquator, so dass diese an den Polen um 1/189 enger zusammen liegen.

Daher werden einige rein geometrisch bzw. physikalisch definierte Höhen verwendet:

ellipsoidische Höhen (GPS-Höhen) als rein geometrische definierte Höhen, ausgedrückt in einerLängeneinheit,
geopotentielleKoten als rein physikalische Höhen, die Differenz zweierSchwerepotentiale.

BeimNivellement erhält man abweichende Höhendifferenzen, wenn man entlang verschiedener Wege nivelliert. Grund für diesen sogenanntentheoretischen Schleifenschlussfehler ist, dass die Höhenübertragung entlang der nicht parallelen Äquipotentialflächen erfolgt, die Differenzen aber in Metern gemessen werden. Um die Widersprüche zu beseitigen, ist für ausgedehnte Gebiete mit größeren Höhendifferenzen eine Berücksichtigung desSchwerefeldes notwendig. Für die Praxis sind verschiedene metrische Höhensysteme, die die Schwere berücksichtigen, entwickelt worden:

Normal-orthometrische bzw. normal-sphäroidische Höhen
Normalhöhen
Orthometrische Höhen.

Zwischen denHöhensystemen bestehen merkliche Unterschiede, die imHochgebirge Größenordnungen von Zentimetern bis Dezimetern pro Kilometer erreichen können. Die Unregelmäßigkeiten im Erdschwerefeld wurden seit Ende des19. Jahrhunderts unter den BegriffenLotabweichung bzw.Schwereanomalie undGeoid erforscht und heute ausreichend genau messtechnisch erfasst.

Ellipsoidische Höhen

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Geometrisch definierte Höhen werden heute als ellipsoidische Höheh bezeichnet. Sie geben den Abstand eines Punktes von einem geodynamisch definiertenReferenzellipsoid entlang der Ellipsoidnormalen an. Zwei Punkte gleicher ellipsoidischer Höhe liegen jedoch nicht auf derselbenÄquipotentialfläche, so dass zwischen ihnen Wasser fließen kann.

Ellipsoidische Höhen können direkt mittelsGPS bestimmt werden. Eine einfache Umrechnung von nivellierten in ellipsoidische Höhen ohne Kenntnis der Schwerestörungen ist nicht möglich. Alternativ können ellipsoidische Höhen durch Anlegen einesRaumpolygonzuges bestimmt werden.

Geopotentielle Koten

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Eine geopotentielle KoteC ist die negative Schwerepotentialdifferenz eines Oberflächenpunktes der Erde zumGeoid. Punkte mit einer gleichen geopotentiellen Kote bilden eineÄquipotentialfläche.

C=W_{0}-W_{P}=-\int _{P_{0}}^{P}{\vec {g}}\ \mathrm {d} {\vec {s}}

Da es sich um eine Schwerepotentialdifferenz handelt, ist dieSI-Einheit Joule proKilogramm (J/kg) bzw. (m²/s²).Zum Teil werden auchgeopotential units (gpu) als Einheit verwendet (1 gpu = 10 J/kg).Früher wurden geopotentielle Koten auch in der Einheitgeopotentieller Meter (gpm) und davon abgeleitetgeopotentieller Dekameter (gpdm) angegeben. 1 gpm = 10 gpdm entspricht 9,80665 J/kg. Der Betrag entspricht dem der dynamischen Höhe.Geopotentielle Koten können aus nivellierten Höhenunterschieden $\Delta n$ und Schweremessungen $g {\displaystyle g}$ bestimmt werden.

\Delta C=\int _{1}^{2}g\ \mathrm {d} n

bzw.

\Delta C=\sum _{i}g_{i}\cdot \Delta n_{i}

Dynamische Höhen

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Dynamische HöhenH_Dyn werden aus den Geopotentiellen Koten in der Regel mit derNormalschwere auf Meeresniveau bei 45° Breite $\gamma _{0}^{45}$ in die DimensionMeter umgerechnet. Sie drücken den Abstand aus, den die Äquipotentialflächen bei $\gamma _{0}^{45}$ hätten. Der tatsächliche (metrische) Abstand variiert allerdings aufgrund der geringeren Schwerebeschleunigung amÄquator gegenüber den Polen um etwa $5/1000$ .

H_{\text{Dyn}}={\frac {C}{\gamma _{0}^{45}}}

mit

\gamma _{0}^{45}=9{,}80665\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}}

Dynamische Höhen sind wegen der großen dynamischen Korrektionen für die geodätische Praxis unbrauchbar. Sie ergeben sich aber direkt durch eine Umskalierung der geopotentiellen Kote. Bedeutung haben sie in der synoptischen Meteorologie und Atmosphärenforschung (Hauptdruckflächen).

Orthometrische Höhen

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Die orthometrische HöheH resultiert aus dem Abstand entlang der gekrümmtenLotlinie zwischen einem Punkt auf der Erdoberfläche und demGeoid. Die geopotentiellen Knoten werden mit der mittleren Schwerebeschleunigung ${\bar {g}}$ entlang der Lotlinie umgerechnet. Die Schwere kann im Erdinneren nicht gemessen werden, so dass sie nur durch Aufstellen einer Hypothese über die Masseverteilung berechnet werden kann. Orthometrische Höhen sind somit hypothesenbehaftet. Punkte gleicher orthometrischer Höhe liegen in der Regel nicht auf der gleichen Niveaufläche.

H={\frac {C}{\bar {g}}}

mit

{\bar {g}}={\frac {1}{H}}\int _{0}^{H}g\ \mathrm {d} H

Die Abweichung zwischen der ellipsoidischen und der orthometrischen Höhe wirdGeoidundulation $N {\displaystyle N}$ genannt. Sie beträgt global bis zu 100 m, innerhalb der Schweiz z. B. maximal 5 m.

N=h-H

Normalhöhen

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Normalhöhe, Quasigeoid und Höhenanomalie

Normalhöhen $H_{N}$ beschreiben den Abstand eines Punktes entlang der leicht gekrümmten normalen Lotlinie (vgl. oberste Abb.) vomQuasigeoid. Sie wurden von dem sowjetischen GeophysikerMichail Sergejewitsch Molodenski entwickelt und sind – anders als orthometrische Höhen – hypothesenfrei bestimmbar:

H_{N}={\frac {C}{\bar {\gamma }}}

Dabei wird für die Umrechnung der geopotentiellenKoten die mittlereNormalschwere ${\bar {\gamma }}$ benutzt:

{\bar {\gamma }}={\frac {1}{H_{N}}}\int _{0}^{H_{N}}\gamma \,\mathrm {d} {H_{N}}

Die Abweichung zwischen der ellipsoidischen Höhe und der Normalhöhe wirdHöhenanomalie oder Quasigeoidhöhe $\zeta$ genannt und beträgt in Deutschland zwischen 36 und 50 m:

\zeta =h_{e}-H_{N}

Orthometrische und Normalhöhen unterscheiden sich wegen der Abweichung der tatsächlichen Schwere ${\bar {g}}$ von der Normalschwere ${\bar {\gamma }}$ . Die Unterschiede können im Hochgebirge bis zu einem Meter oder mehr betragen, imFlachland liegen sie oft nur im Millimeterbereich; in den alten Bundesländern betragen sie −5 bis +4 cm.

Normal-orthometrische Höhen

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Liegen keine Schweremessungen vor, kann die Schwerekorrektur der beobachteten Höhenunterschiede nur mit der Normalschwere durchgeführt werden. Die abgeleiteten Höhen nennt man dann normal-orthometrische Höhen odersphäroidisch-orthometrische HöhenH_Sph. Die Abweichungen zu Normalhöhen fallen gering aus, da sich die Korrekturen nur wegen des kleinen Anteils des Oberflächenfreiluftgradienten unterscheiden.

H_{\text{Sph}}={\frac {C^{*}}{\bar {\gamma }}}

mit

C^{*}=\int _{0}^{1}\gamma \ \mathrm {d} n

Korrektionen

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Die eigentliche Messgröße derHöhenmessung sind keineHöhen über dem Meeresspiegel, sondern Höhenunterschiede $\Delta H$ . Diese werden in derLandesvermessung üblicherweise durchNivellement bestimmt. Um die gemessenen Höhenunterschiede $d n {\displaystyle dn}$ in eine der Höhendefinitionen umzurechnen, sind Korrektionen $E {\displaystyle E}$ anzubringen.

\Delta H_{12}=H_{2}-H_{1}=\int _{1}^{2}\ \mathrm {d} n+E_{12}

Dynamische Korrektion

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Durch dynamische Korrektion lassen sich die nivellierten Höhenunterschiede in dynamische Höhenunterschiede umrechnen.

E_{12}=\int _{1}^{2}{\frac {g-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}\ \mathrm {d} n

Orthometrische Korrektion

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Bei der orthometrischen Korrektion kommen zum streng bestimmbaren dynamischen Anteil zwei hypothesenbehaftete ortsabhänge Anteile.

E_{12}=\int _{1}^{2}{\frac {g-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}\ \mathrm {d} n+{\frac {{\bar {g}}_{1}-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}H_{1}-{\frac {{\bar {g}}_{2}-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}H_{2}

Unter der Annahme der mittleren Erdkrustendichte von 2,67 g/cm³ gilt für die mittlere Schwere ${\bar {g}}$ :

{\bar {g}}=g+0{,}424\cdot 10^{-6}\,\mathrm {s} ^{-2}\,H

Normale Korrektion

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Analog dazu können mit der normalen Korrektion Normalhöhenunterschiede berechnet werden. Hier werden anstelle der mittleren Schweren ${\bar {g}}$ die hypothesefreien mittleren Normalschweren ${\bar {\gamma }}$ verwendet.

E_{12}=\int _{1}^{2}{\frac {g-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}\ \mathrm {d} n+{\frac {{\bar {\gamma }}_{1}-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}H_{1}-{\frac {{\bar {\gamma }}_{2}-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}H_{2}

Normal-orthometrische Korrektion

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Bei der normal-orthometrischen Korrektion wird anstelle der gemessenen Schwere $g {\displaystyle g}$ die Normalschwere $\gamma$ zur dynamischen Korrektion benutzt.

E_{12}=\int _{1}^{2}{\frac {\gamma -\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}\ \mathrm {d} n+{\frac {{\bar {\gamma }}_{1}-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}H_{1}-{\frac {{\bar {\gamma }}_{2}-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}H_{2}

Übersicht

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Name der Definition → Eigenschaft ↓	Geopotentielle Kote	Dynamische Höhe	Orthometrische Höhe	Normal- höhe	Normal-ortho- metrische Höhe	Nivellierte Höhe	Ellipsoidische Höhe
Kürzel	C	H_Dyn	H	H_N	H_Sph		h
Einheit	m²/s² = J/kg = 0,1 gpu	m ^{Anm. 1}	m
Bezugsfläche	Geoid			Quasigeoid			Referenzellipsoid
Bestimmung	Nivellement						GPS /Raumpolygon
Messung der lokalen Erdbeschleunigung notwendig?	ja				nein
Annahmen zur Dichteverteilung im Erdinneren notwendig?	nein		ja	nein
Nivellementschleifenschlussfehler	nein			nein auf der Oberfläche	ja (-)	ja (--)
Äquipotentialflächen	alle Höhen		bei Höhe 0	keine (genähert bei Höhe 0)	keine (-)	keine (--)	keine (---)

^{Anm. 1}

Die dynamische Höhe gibt nicht den Abstand von der Bezugsfläche an.

Roter Text: Nachteilige Eigenschaft der jeweiligen Höhendefinition. "(-), (--), (---)": Stärke der Nachteile.

Grüner Text: Vorteilhafte Eigenschaft der jeweiligen Höhendefinition.

Siehe auch

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Literatur

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Wolfgang Torge:Geodäsie. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin u. a. 2003,ISBN 3-11-017545-2.
S. Schneid, H. Meichle:Normalhöhen in Baden-Württemberg. Arbeiten zur Einführung von Höhen im System des Deutschen Haupthöhennetzes 1992 (DHHN92). InDVW Mitteilungen. Heft 2/2005, DVW Landesverein Baden-Württemberglv-bw.de (PDF; 4,4 MB)

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