Immathematischen Teilgebiet derGruppentheorie versteht man unter demGruppenexponenten${\displaystyle \exp (G)}$ einerGruppe${\displaystyle (G,\cdot ,e)}$ die kleinstenatürliche Zahl${\displaystyle n>0}$, für die${\displaystyle g^n=e}$ (Potenz eines Gruppenelements) für alle Gruppenelemente${\displaystyle g}$ gilt.^[1] Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man,${\displaystyle G}$ habe Exponent${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ (sie muss dann auch unendlicheOrdnung haben).

• Nach demSatz von Lagrange ist der Gruppenexponent für eine endliche Gruppe einTeiler derGruppenordnung und somit insbesondere endlich.
• In einerzyklischen Gruppe stimmt der Gruppenexponent mit derGruppenordnung überein.
• Die Gruppenordnung stimmt genau dann mit dem Gruppenexponenten überein, wenn alleSylowgruppen der Gruppe zyklisch sind.^[2]
• Der Gruppenexponent ist daskleinste gemeinsame Vielfache (kgV) derOrdnung aller Gruppenelemente.
• Der Gruppenexponent einerUntergruppe ist ein Teiler des Exponenten der ganzen Gruppe.

• Für die primenRestklassengruppen${\displaystyle (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }}$ erhält man den Gruppenexponenten durch dieCarmichael-Funktion.
• Der Gruppenexponent von${\displaystyle (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }}$ mit einerPrimzahl${\displaystyle p}$ ist gleich der Gruppenordnung${\displaystyle p-1}$.
• Der Gruppenexponent von${\displaystyle (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}{)}^{\times }}$ ist 2 (vergleiche: Die Gruppenordnung ist 4).
• Der Körper${\displaystyle {\mathbb{F}}_q}$ mit${\displaystyle q=p^k}$ Elementen, aufgefasst als additive Gruppe, hat Gruppenordnung${\displaystyle q}$ und Gruppenexponent${\displaystyle p}$ (vergleicheCharakteristik eines Körpers).
• Unendliche Gruppen mit endlichem Exponenten sind bspw. derPolynomring${\displaystyle {\mathbb{F}}_p[X]}$ und deralgebraische Abschluss von${\displaystyle {\mathbb{F}}_p}$, jeweils (wegen der Primzahlcharakteristik${\displaystyle p}$) in der additiven Verknüpfung.
• Jedes Element${\displaystyle m/n+\mathbb{Z}}$ der (unendlichen)Torsionsgruppe${\displaystyle \mathbb{Q}/\mathbb{Z}}$ hat dieendliche Ordnung${\displaystyle n}$, wenn${\displaystyle n>0}$ gilt und${\displaystyle m}$ zu${\displaystyle n}$teilerfremd ist. Da dieElementordnungen aber nicht beschränkt sind, ist${\displaystyle \exp (\mathbb{Q}/\mathbb{Z})=\mathrm{\infty }}$.

• Torsion (Algebra)

1. ↑Wikiversity. Abgerufen am 13. August 2012.
2. ↑matheplanet.com:Beitrag No. 7 vonGockel. Abgerufen am 13. August 2012.

• Theorie endlicher Gruppen